Cours d`Analyse Fonctionnelle - IMJ-PRG

Cours d’Analyse Fonctionnelle
Thierry De Pauw

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The drawing on the front is c Courtney Gibbons
brownsharpie.courtneygibbons.org

Table des matières
1 Espaces vectoriels topologiques 4
1.1 Espaces vectoriels sur Rou C.................... 4
1.2 Espacesmétriques .......................... 8
1.3 Espacesnormés............................ 14
1.4 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Espaces localement convexes 37
2.1 Semi-normes ............................. 37
2.2 Fonctionsd’essai ........................... 43
2.3 Théorèmes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Applications.............................. 52
2.5 Topologies faible et préfaible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Espaces de Fréchet et de Banach 61
3.1 Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Complétion .............................. 64
3.3 Théorème de Baire et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Fonctions continues nulle part dérivables . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Espaces normés de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Séries dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Espaces de Lebesgue 86
4.1 Rappels ................................ 86
4.2 Modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 Espaces de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Dualité ................................105
4.5 Sous-espaces denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6 Fubini, Tonelli, et support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

TABLE DES MATIÈRES 3
4.8 Approximation de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.9 Régularisation.............................140
5 Compacité 143
5.1 Espaces métriques ou topologiques compacts . . . . . . . . . . . 143
5.2 Théorème de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3 Théorème de Ascoli-Arzelà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4 ThéorèmedeWeil ..........................152
6 Distributions et espaces de Sobolev 153
6.1 Distributions .............................153
6.2 Régularisation.............................157
6.3 Fonctions et distributions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A Ensembles dénombrables 174

Chapitre 1
Espaces vectoriels topologiques
1.1 Espaces vectoriels sur Rou C
1.1.1 1.1.1. — On ne considérera que des espaces vectoriels Xsur le corps K=Rdes
réels ou le corps K=Cdes complexes. Dans ce contexte, les éléments de Ksont
appelés des scalaires. On rappelle que Xest muni d’une opération d’addition
X×X→X: (x1, x2)7→ x1+x2
qui est associative, commutative, qui possède un élément neutre 1noté 0, et telle
qu’à chaque x∈Xest associé un unique élément −x∈Xtel que x+ (−x)=0.
On vérifie que −x= (−1)x, le membre de droite étant défini par l’opération de
multiplication par un scalaire
K×X→X: (λ, x)7→ λx
qui vérifie les propriétés suivantes : 1x=x;λ1(λ2x)=(λ1λ2)x;λ(x1+x2) =
λx1+λx2; et (λ1+λ2)x=λ1x+λ2x. Un espace vectoriel n’est jamais vide
puisque 0∈X. On dit que Xest non trivial si X6={0}.
Un espace vectoriel Xsur Cpeut aussi être considéré comme espace vectoriel
sur Ren restreignant la multiplication par un scalaire, initialement définie sur
C×X, à R×X.
Si A⊆X,B⊆X,x∈Xet λ∈K, on fera usage des notations suivantes :
x+A=X∩ {x+a:a∈A}
x−A=X∩ {x−a:a∈A}
A+B=X∩ {a+b:a∈Aet b∈B}
λA =X∩ {λa :a∈A}.
1. La notation 0 est ambigüe puisqu’elle désigne à la fois l’élément neutre pour l’addition
dans Ret dans C, mais aussi dans tous les espaces vectoriels que nous allons considérer.