Cours

Chapitre C : PGCD, PPCM.
Table des matières
I.
Diviseurs communs à deux entiers
1
II.
PGCD de deux entiers
2
III.
Calcul par l’algorithme d’euclide
3
IV.
Calcul par la décomposition en facteurs premiers
3
V.
Propriétés
3
VI.
PPCM de deux entiers
3
VII. Propriétés du PPCM de deux entiers
4
Nota Bene 1.
• Dans ce chapitre a et b sont, sauf mention explicite du contraire,
des entiers relatifs.
• On rappelle que D(a) désigne l’ensemble des diviseurs de a.
• Le terme ”entier” désignera un entier relatif.
• On rappelle les axiomes de construction de N dont onse servira dans certaines
démonstrations de ce chapitre :
N est un ensemble non vide vérifiant les trois propriétés axiomatiques suivantes :
(A1) Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
(A2) Toute partie non vide et majorée de N a un plus grand élément.
(A3) N n’a pas de plus grand élément.
Les trois axiomes précédents seront donc les seuls résultats admis dans la suite de
ce cours d’arithmétique.
1
I.
Diviseurs communs à deux entiers
Définition 2. Les diviseurs communs à deux entiers a et b sont les entiers relatifs qui
divisent à la fois a et b. On note D(a, b) l’ensemble de ces diviseurs communs.
Exemple 3. Ainsi, D(12, 18) = {1, 2, 3, 6, −1, −2, −3, −6}.
Remarque 4. Ainsi, il est clair qu’on a : D(a, b) = D(a) ∩ D(b), D(a, b) = D(b, a),
D(a, a) = D(a), D(a, 0) = D(a) et D(1, a) = {−1, 1}.
On a alors la propriété fondamentale suivante, dont la démonstration est basée sur
le fait que si un entier divise deux entiers u et w alors il divise aussi leur somme et leur
différence :
Propriété 5. D(a, b) = D(a − kb, b) pour tout entier k.
On en déduit les conséquences suivantes :
Corollaire 6. Si b est non nul, D(a, b) = D(r, b) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Corollaire 7. Soit b non nul, b divise a, si, et seulement si, D(a, b) = D(b). .
Exemple 8. En appliquant ce qui précède, on a : D(60, 18) = D(60 − 3 × 18, 18) =
D(6, 18) = D(6).
II.
PGCD de deux entiers
Définition et Théorème 9. Si a et b sont deux entiers relatifs non tous les deux nuls,
l’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément. On l’appelle
”plus grand commun diviseur de a et b” et on le note P GCD(a, b) (ou parfois a ∧ b).
Exemple 10. Le PGCD de 12 et 18 est 6.
Remarque 11.
• Si a et b sont tous deux nuls, comme D(0, 0) = Z, alors on a pas
l’existence de ce plus grand élément et on ne peut pas parler du PGCD de a et b.
• Si a ou b sont non nuls, on peut préciser que forcément 0 < P GCD(a, b) ≤
min(|a|, |b|).
• Sous la même hypothèse, on a : P GCD(a, b) = P GCD(b, a) (commutativité) et
P GCD(a, b) = P GCD(|a|, |b|) donc on se ramène en général à a et b positifs.
• P GCD(1, b) = 1 et, pour b non nul, P GCD(0, b) = |b|.
• (définition) Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. Par
exemple, 15 et 22.
On a alors l’analogue pour le PGCD de la propriété 5 et de ses corollaires :
Proposition 12. Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls,
alors pour tout entier relatif k :
P GCD(a, b) = P GCD(a − kb, b) .
En particulier, si b est non nul : P GCD(a, b) = P GCD(r, b), où r est le
reste de la division euclidienne de a par b, et b est un diviseur (non nul)
de a si, et seulement si, P GCD(a, b) = |b|.
2
Exemple 13. 1) En appliquant ce qui précède, on a : P GCD(60, −18) = P GCD(60, 18) =
P GCD(60 − 3 × 18, 18) = P GCD(6, 18) = 6.
2) De même, on montre que, pour tout entier naturel n, 2n2 + n + 2 et 2n + 1 sont
premiers entre eux.
III.
Calcul par l’algorithme d’euclide
Proposition 14. (algorithme d’Euclide)
Soient a et b deux entiers tels que 0 < b ≤ a. L’algorithme suivant appelé
algorithme d’Euclide permet en un nombre fini d’étapes de calculer le
PGCD de a et b :
(1) Calculer le reste de r dans la division euclidienne de a par b.
(2) Si r = 0, P GCD(a, b) = b.
(3) Si r 6= 0, remplacer a par b, b par r et recommencer à partir de (1).
Quand b ne divise pas a, on dit que P GCD(a, b) est le dernier reste non nul de
l’algorithme d’Euclide.
Exemple 15. On montre ainsi que P GCD(240, 36) = 12.
IV.
Calcul par la décomposition en facteurs premiers
Proposition 16. Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2.
• S’ils n’ont aucun facteur premier commun, P GCD(a, b) = 1.
• Sinon, P GCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun étant affecté du plus petit exposant
avec lequel il figure dans leur décomposition.
Exemple 17. Par cette méthode, on obtient : P GCD(1008, 540) = 36.
V.
Propriétés
Propriété 18. Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
1. (diviseurs communs et pgcd) Les diviseurs communs à a et b sont les
diviseurs de P GCD(a, b) (i.e. D(a, b) = D(P GCD(a, b)) ).
2. (homogénéité) Pour tout k ∈ N⋆ , P GCD(ka, kb) = kP GCD(a, b).
3. (propriété caractéristique) Soit d un entier naturel, d = P GCD(a, b) si,
et seulement si, a = da′ et b = db′ avec a′ et b′ entiers premiers entre
eux.
On a alors la conséquence suivante de la dernière de ces propriétés :
a
Conséquence : Toute fraction peut s’écrire sous forme irréductible en divisant son
b
numérateur et son dénominateur par P GCD(a, b).
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VI.
PPCM de deux entiers
De la même manière qu’au début du chapitre avec l’ensemble des diviseurs d’un
entier, on peut s’intéresser à ses multiples et on notera ici, pour tout entier a, M(a)
l’ensemble des multiples strictement positifs de a. De plus, un multiple commun de
deux entiers a et b est un entier à la fois multiple de a et b.
Définition et Théorème 19. Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. L’ensemble
des multiples communs strictement positifs de a et b admet un plus petit élément noté
P P CM (a, b) et appelé plus petit commun multiple de a et b.
Exemple 20. P P CM (9, 12) = 36.
11 5
+ , on peut alors remarquer que le résultat
9 12
est une fraction irréductible (on peut montrer que ceci est un phénomène général si les
fractions de départ sont sous forme irréductibles).
On peut utiliser ce P P CM pour calculer
Remarque 21.
• Si a ou b est nul, alors, par exemple pour a nul, M(0)∩M(b) = ∅
et on ne peut pas parler du P P CM de a et b.
• P P CM (a, b) = P P CM (b, a) = P P CM (|a|, |b|) donc, on se ramènera en général
à a et b positifs.
• Si a est un entier non nul, P P CM (a, a) = P P CM (a, 1) = |a|.
• Soit a et b deux entiers non nuls, b divise a si, et seulement si, P P CM (a, b) = |a|.
VII.
Propriétés du PPCM de deux entiers
Propriété 22. Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
1. (diviseurs communs et ppcm) L’ensemble des multiples communs de a
et b est l’ensemble des multiples de P P CM (a, b).
2. (relation pgcd-ppcm)
P GCD(a, b) × P P CM (a, b) = |a| × |b|.
3. (homogénéité) Pour tout k ∈ N⋆ , P P CM (ka, kb) = kP P CM (a, b).
Remarque 23. Vu la seconde propriété, si a et b sont premiers entre eux, alors leur
PPCM est leur produit.
La seconde propriété nous donne une méthode de calcul du P P CM après avoir
obtenu le P GCD. De plus, on peut calculer le P P CM par une méthode analogue à la
seconde méthode de calcul du P GCD :
Proposition 24. Soient a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2. P P CM (a, b)
est égal au produit des facteurs premiers figurant dans la décomposition de l’un deux
nombres, chacun étant affecté du plus grand (ou du seul) exposant avec lequel il figure
dans leur décomposition.
Exemple 25. On peut utiliser une des méthodes décrites précédemment pour montrer
que P P CM (1008, 540) = 15120.
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PGCD,PPCM : démonstrations
Définition du PGCD
Exemple 26. Pour a = 12 et b = 18, on a :
D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} ,
D(18) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 18} .
Donc
D(a) ∩ D(b) = {1; 2; 3; 4; 6}
et le plus grand élément de ce dernier ensemble, 6, est donc le PGCD de 12 et 18.
Remarque 27.
1. Implicitement la définition suppose l’existence et l’unicité du PGCD.
Les deux sont faciles à prouver : pour l’existence, il suffit d’utiliser le fait que
D(a) ∩ D(b) est une partie non vide de N donc qu’elle a un plus petit élément ;
pour l’unicité, raisonner par l’absurde.
Première méthode de calcul : décomposition en facteurs premiers
On suppose dans ce paragraphe a et b entiers et supérieurs ou égaux à 2 (ce qui
permet de parler de leur décomposition en produit de facteurs premiers). On aura besoin
pour la suite des deux résultats suivants :
Lemme 28. Soient n un entier non nul et différent de 1 et p un nombre premier. Si
pα divise n alors p est un des facteurs de la décomposition en facteurs premiers de n et
son exposant dans cette décomposition est supérieur ou égal à α.
Démonstration. En effet, comme pα divise n, il existe un entier k tel que :
n = kpα .
Si k = 1 alors la propriété à obtenir est évidente. On peut donc supposer k 6= 1. Dans
ce cas, k possède une décomposition en produit de facteurs premiers :
k = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβs s ,
où p1 < p2 < . . . ps sont des nombres premiers et β1 , β2 , . . . βs sont des entiers non nuls.
Donc :
n = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβs s × pα .
Dans cette dernière expression, on a deux cas :
a) Si il existe j entier, avec 1 ≤ j ≤ s, tel que p = pj alors, on a :
β +α
n = pβ1 1 pβ2 2 . . . pj j
. . . pβs s .
Le membre de gauche est une décomposition en produit de facteurs premiers. Par
unicité d’une telle décomposition, on en déduit que c’est la décomposition en produit
de facteurs premiers de n donc on a bien la conclusion souhaitée dans ce cas.
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b) Sinon, on peut poser ps+1 = p et βs+1 = α et on a :
β
s+1
n = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβs s ps+1
.
Le membre de gauche est, à renumérotation près (pour avoir les pi par ordre croissant), une décomposition en produit de facteurs premiers de n. Par unicité d’une
telle décomposition, on en déduit que c’est la décomposition en produit de facteurs
premiers de n donc on a bien la conclusion souhaitée dans ce cas aussi.
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Lemme 29. L’entier d est un diviseur commun de a et b si, et seulement si, il s’écrit
comme produit de facteurs premiers communs à a et b, chacun à un exposant inférieur
à celui qu’il a dans la décomposition en facteurs premiers de a et de b.
Démonstration. Dans le cas où d = 1, la propriété est évidemment vérifiée. On suppose
dans la suite que d 6= 1.
• CN : on suppose que d est un diviseur commun de a et b. Comme d est un entier
supérieur ou égal à deux, il a une décomposition en produit de facteurs premiers :
d = q1β1 q2β2 . . . qsβs ,
où q1 < q2 < . . . qs sont des nombres premiers et β1 , β2 , . . . βs sont des entiers non
nuls.
Comme d divise a, il existe un entier k tel que :
a = kd .
Donc :
a = kq1β1 q2β2 . . . qsβs .
β
Ainsi, pour tout j entier, avec 1 ≤ j ≤ s, qj j divise a. Donc, vu le lemme précédent,
qj est un facteur de la décomposition en produit de facteurs premiers de a et βj
est inférieur à l’exposant de qj dans cette décomposition.
On peut raisonner de même en remplaçant a par b. Au total, on a montré que,
pour tout j entier, avec 1 ≤ j ≤ s :
qj est un facteur dans la décomposition en facteur premier de a et de b et βj est
inférieur à l’exposant de qj dans chacune de ces décompositions.
• CS : Soit d un entier s’écrivant comme produit de facteurs premiers communs
de a et de b avec des exposants inférieurs ou égaux à ceux qu’ils ont dans la
décomposition en produit de facteurs premiers de a et de b. Ainsi, si a a pour
décomposition en produit de facteurs premiers :
a = pα1 1 pα2 2 . . . pαs s ,
où p1 < p2 < . . . ps sont des nombres premiers et α1 , α2 , . . . αs sont des entiers non
nuls, alors, on peut écrire d de la façon suivante :
d = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβs s ,
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où p1 < p2 < . . . ps sont des nombres premiers et β1 , β2 , . . . βs sont des entiers
éventuellement nuls tels que : β1 ≤ α1, β2 ≤ α2, . . .βs ≤ αs.
Donc, en posant :
k = pα1 1 −β1 pα2 2 −β2 . . . pαs s −βs ,
il est clair que :
a = kd
avec k entier, donc que d divise q.
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Le résultat principal de cette partie est le suivant :
Théorème 30. Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs
de a et b avec, pour chacun, un exposant égal au minimum de celui qu’il a dans la
décomposition en produit de facteurs premiers de a et de b.
Démonstration.
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