Cours

Chapitre C : PGCD, PPCM.
Table des mati`eres
I. Diviseurs communs `a deux entiers 1
II. PGCD de deux entiers 2
III. Calcul par l’algorithme d’euclide 3
IV. Calcul par la d´ecomposition en facteurs premiers 3
V. Propri´et´es 3
VI. PPCM de deux entiers 3
VII. Propri´et´es du PPCM de deux entiers 4
Nota Bene 1. •Dans ce chapitre aet bsont, sauf mention explicite du contraire,
des entiers relatifs.
•On rappelle que D(a)d´esigne l’ensemble des diviseurs de a.
•Le terme ”entier” d´esignera un entier relatif.
•On rappelle les axiomes de construction de Ndont onse servira dans certaines
d´emonstrations de ce chapitre :
Nest un ensemble non vide v´erifiant les trois propri´et´es axiomatiques suivantes :
(A1) Toute partie non vide de Na un plus petit ´el´ement.
(A2) Toute partie non vide et major´ee de Na un plus grand ´el´ement.
(A3) Nn’a pas de plus grand ´el´ement.
Les trois axiomes pr´ec´edents seront donc les seuls r´esultats admis dans la suite de
ce cours d’arithm´etique.
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I. Diviseurs communs `a deux entiers
D´efinition 2. Les diviseurs communs `a deux entiers aet bsont les entiers relatifs qui
divisent `a la fois aet b. On note D(a, b)l’ensemble de ces diviseurs communs.
Exemple 3. Ainsi, D(12,18) = {1,2,3,6,−1,−2,−3,−6}.
Remarque 4. Ainsi, il est clair qu’on a : D(a, b) = D(a)∩ D(b),D(a, b) = D(b, a),
D(a, a) = D(a),D(a, 0) = D(a)et D(1, a) = {−1,1}.
On a alors la propri´et´e fondamentale suivante, dont la d´emonstration est bas´ee sur
le fait que si un entier divise deux entiers uet walors il divise aussi leur somme et leur
diff´erence :
Propri´et´e 5. D(a, b) = D(a−kb, b)pour tout entier k.
On en d´eduit les cons´equences suivantes :
Corollaire 6. Si best non nul, D(a, b) = D(r, b)o`u rest le reste de la division eucli-
dienne de apar b.
Corollaire 7. Soit bnon nul, bdivise a, si, et seulement si, D(a, b) = D(b). .
Exemple 8. En appliquant ce qui pr´ec`ede, on a : D(60,18) = D(60 −3×18,18) =
D(6,18) = D(6).
II. PGCD de deux entiers
D´efinition et Th´eor`eme 9. Si aet bsont deux entiers relatifs non tous les deux nuls,
l’ensemble des diviseurs communs `a aet badmet un plus grand ´el´ement. On l’appelle
”plus grand commun diviseur de aet b” et on le note P GCD(a, b)(ou parfois a∧b).
Exemple 10. Le PGCD de 12 et 18 est 6.
Remarque 11. •Si aet bsont tous deux nuls, comme D(0,0) = Z, alors on a pas
l’existence de ce plus grand ´el´ement et on ne peut pas parler du PGCD de aet b.
•Si aou bsont non nuls, on peut pr´eciser que forc´ement 0< P GCD(a, b)≤
min(|a|,|b|).
•Sous la mˆeme hypoth`ese, on a : P GCD(a, b) = P GCD(b, a)(commutativit´e) et
P GCD(a, b) = P GCD(|a|,|b|)donc on se ram`ene en g´en´eral `a aet bpositifs.
•P GCD(1, b) = 1 et, pour bnon nul, P GCD(0, b) = |b|.
•(d´efinition) Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. Par
exemple, 15 et 22.
On a alors l’analogue pour le PGCD de la propri´et´e 5 et de ses corollaires :
Proposition 12. Soient aet bdeux entiers relatifs non tous les deux nuls,
alors pour tout entier relatif k:
P GCD(a, b) = P GCD(a−kb, b).
En particulier, si best non nul : P GCD(a, b) = P GCD(r, b), o`u rest le
reste de la division euclidienne de apar b, et best un diviseur (non nul)
de asi, et seulement si, P GCD(a, b) = |b|.
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Exemple 13. 1) En appliquant ce qui pr´ec`ede, on a : P GCD(60,−18) = P GCD(60,18) =
P GCD(60 −3×18,18) = P GCD(6,18) = 6.
2) De mˆeme, on montre que, pour tout entier naturel n,2n2+n+ 2 et 2n+ 1 sont
premiers entre eux.
III. Calcul par l’algorithme d’euclide
Proposition 14. (algorithme d’Euclide)
Soient aet bdeux entiers tels que 0< b ≤a. L’algorithme suivant appel´e
algorithme d’Euclide permet en un nombre fini d’´etapes de calculer le
PGCD de aet b:
(1) Calculer le reste de rdans la division euclidienne de apar b.
(2) Si r= 0,P GCD(a, b) = b.
(3) Si r6= 0, remplacer apar b,bpar ret recommencer `a partir de (1).
Quand bne divise pas a, on dit que P GCD(a, b) est le dernier reste non nul de
l’algorithme d’Euclide.
Exemple 15. On montre ainsi que P GCD(240,36) = 12.
IV. Calcul par la d´ecomposition en facteurs premiers
Proposition 16. Soient aet bdeux entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2.
•S’ils n’ont aucun facteur premier commun, P GCD(a, b) = 1.
•Sinon, P GCD(a, b)est ´egal au produit des facteurs premiers com-
muns aux deux nombres, chacun ´etant affect´e du plus petit exposant
avec lequel il figure dans leur d´ecomposition.
Exemple 17. Par cette m´ethode, on obtient : P GCD(1008,540) = 36.
V. Propri´et´es
Propri´et´e 18. Soient aet bdeux entiers relatifs non tous les deux nuls.
1. (diviseurs communs et pgcd) Les diviseurs communs `a aet bsont les
diviseurs de P GCD(a, b)(i.e. D(a, b) = D(P GCD(a, b)) ).
2. (homog´en´eit´e) Pour tout k∈N⋆, P GCD(ka, kb) = kP GCD(a, b).
3. (propri´et´e caract´eristique) Soit dun entier naturel, d=P GCD(a, b)si,
et seulement si, a=da′et b=db′avec a′et b′entiers premiers entre
eux.
On a alors la cons´equence suivante de la derni`ere de ces propri´et´es :
Cons´equence : Toute fraction a
bpeut s’´ecrire sous forme irr´eductible en divisant son
num´erateur et son d´enominateur par P GCD(a, b).
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VI. PPCM de deux entiers
De la mˆeme mani`ere qu’au d´ebut du chapitre avec l’ensemble des diviseurs d’un
entier, on peut s’int´eresser `a ses multiples et on notera ici, pour tout entier a,M(a)
l’ensemble des multiples strictement positifs de a. De plus, un multiple commun de
deux entiers aet best un entier `a la fois multiple de aet b.
D´efinition et Th´eor`eme 19. Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls. L’ensemble
des multiples communs strictement positifs de aet badmet un plus petit ´el´ement not´e
P P CM(a, b)et appel´e plus petit commun multiple de aet b.
Exemple 20. P P CM (9,12) = 36.
On peut utiliser ce P P CM pour calculer 11
9+5 12, on peut alors remarquer que le r´esultat
est une fraction irr´eductible (on peut montrer que ceci est un ph´enom`ene g´en´eral si les
fractions de d´epart sont sous forme irr´eductibles).
Remarque 21. •Si aou best nul, alors, par exemple pour anul, M(0)∩M(b) = ∅
et on ne peut pas parler du P P CM de aet b.
•P P CM(a, b) = P P CM (b, a) = P P CM (|a|,|b|)donc, on se ram`enera en g´en´eral
`a aet bpositifs.
•Si aest un entier non nul, P P CM (a, a) = P P CM(a, 1) = |a|.
•Soit aet bdeux entiers non nuls, bdivise asi, et seulement si, P P CM (a, b) = |a|.
VII. Propri´et´es du PPCM de deux entiers
Propri´et´e 22. Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls.
1. (diviseurs communs et ppcm) L’ensemble des multiples communs de a
et best l’ensemble des multiples de P P CM (a, b).
2. (relation pgcd-ppcm)
P GCD(a, b)×P P CM(a, b) = |a| × |b|.
3. (homog´en´eit´e) Pour tout k∈N⋆, P P CM(ka, kb) = kP P CM (a, b).
Remarque 23. Vu la seconde propri´et´e, si aet bsont premiers entre eux, alors leur
PPCM est leur produit.
La seconde propri´et´e nous donne une m´ethode de calcul du P P CM apr`es avoir
obtenu le P GCD. De plus, on peut calculer le P P CM par une m´ethode analogue `a la
seconde m´ethode de calcul du P GCD :
Proposition 24. Soient aet bdeux entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 2.P P CM(a, b)
est ´egal au produit des facteurs premiers figurant dans la d´ecomposition de l’un deux
nombres, chacun ´etant affect´e du plus grand (ou du seul) exposant avec lequel il figure
dans leur d´ecomposition.
Exemple 25. On peut utiliser une des m´ethodes d´ecrites pr´ec´edemment pour montrer
que P P CM (1008,540) = 15120.
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PGCD,PPCM : d´emonstrations
D´efinition du PGCD
Exemple 26. Pour a= 12 et b= 18, on a :
D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12},
D(18) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 18}.
Donc
D(a)∩ D(b) = {1; 2; 3; 4; 6}
et le plus grand ´el´ement de ce dernier ensemble, 6, est donc le PGCD de 12 et 18.
Remarque 27. 1. Implicitement la d´efinition suppose l’existence et l’unicit´e du PGCD.
Les deux sont faciles `a prouver : pour l’existence, il suffit d’utiliser le fait que
D(a)∩ D(b)est une partie non vide de Ndonc qu’elle a un plus petit ´el´ement ;
pour l’unicit´e, raisonner par l’absurde.
Premi`ere m´ethode de calcul : d´ecomposition en facteurs premiers
On suppose dans ce paragraphe aet bentiers et sup´erieurs ou ´egaux `a 2 (ce qui
permet de parler de leur d´ecomposition en produit de facteurs premiers). On aura besoin
pour la suite des deux r´esultats suivants :
Lemme 28. Soient nun entier non nul et diff´erent de 1et pun nombre premier. Si
pαdivise nalors pest un des facteurs de la d´ecomposition en facteurs premiers de net
son exposant dans cette d´ecomposition est sup´erieur ou ´egal `a α.
D´emonstration. En effet, comme pαdivise n, il existe un entier ktel que :
n=kpα.
Si k= 1 alors la propri´et´e `a obtenir est ´evidente. On peut donc supposer k6= 1. Dans
ce cas, kposs`ede une d´ecomposition en produit de facteurs premiers :
k=pβ1
1pβ2 2. . . pβs
s,
o`u p1< p2< . . . pssont des nombres premiers et β1, β2,...βssont des entiers non nuls.
Donc :
n=pβ1
1pβ2 2. . . pβs
s×pα.
Dans cette derni`ere expression, on a deux cas :
a) Si il existe jentier, avec 1 ≤j≤s, tel que p=pjalors, on a :
n=pβ1
1pβ2 2. . . pβj+α
j. . . pβs
s.
Le membre de gauche est une d´ecomposition en produit de facteurs premiers. Par
unicit´e d’une telle d´ecomposition, on en d´eduit que c’est la d´ecomposition en produit
de facteurs premiers de ndonc on a bien la conclusion souhait´ee dans ce cas.
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