Correction du Devoir surveillé 1

Correction du Devoir surveillé 1
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Exercice 1
On donne la liste des diviseurs des nombres
suivants : 72, 78, 840.
1
2
3
4
6 8
• D(72) =
72 36 24 18 12 9
1
2
3
6
• D(78) =
78 39 26 13
1
2
3
4
5
6
7
8 10 12 14 15 20 24 28
• D(840) =
840 420 280 210 168 140 120 105 84 70 60 56 42 35 30
Quel sera la mesure du coté du carré qui vous attribuerez à chaque archéologue ?
Je cherche donc le PGCD des deux nombres. Dans les deux listes associées à 72 et 78, je trouve que 6 est le
plus grand diviseur commun. Donc
P GCD(72, 78) = 6
Le coté du carré d’exploration sera de 6 mètres.
Combien de parcelles seront fouillées ?
Il suffit de compter le nombre de carrés sur la longueur de la parcelle et le nombre de carrés sur la largeur.
Une fois ce calcul fait, le produit des deux donne le nombre de parcelles totales.
Soit N le nombre de carrés sur la longueur et n le nombre de carrés sur la largeur. Donc :
N = 78 ÷ 6 = 13
n = 72 ÷ 6 = 12
Donc le nombre total de carré, noté T est égal à :
T = N × n = 12 × 13 = 156
Les archéologues ont 156 parcelles à explorer.
2
Exercice 2
Il faut lister les multiples de 21 et de 15 pour connaître un multiple commun aux deux nombres. Une fois ce
nombre trouvé, on le converti en jours puis en heure.
M(21) = {21, 42, 63, 84, 105, 126, ...}
M(15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...}
On trouve rapidement le nombre 105.
On calcule maintenant la date exacte où les montres sonnent ensemble.
Le nombre de jours est donné par :
105 = 24 × 4 + 9
La montre sonnera à nouveau dans 4 jours et 9 heures. Dans quatre jours, cela donnera le 4 octobre à 21 h.
Il faut également ajouter 9h. Donc la date exacte sera le 5 octobre à 6h du matin.
1
3
Exercice 3
1. On a grâce à l’algorithme d’Euclide, les égalités suivantes.
2k + 1
k
=
=
k×2+1
1×k+0
Le PGCD de deux nombres est donné par le dernier reste non nul. Donc P GCD(2k + 1, k) = 1.
Donc, d’après le cours, les entiers naturels k et 2k + 1 sont premiers entre eux.
2. Voici 3 exemples de couple qui respectent la propriété.
– Si k = 1 alors 1 et 3 sont premiers entre eux.
– Si k = 5 alors 5 et 11 sont premiers entre eux.
– Si k = 18 alors 18 et 37 sont premiers entre eux.
4
Exercice 4
Pour rendre une fraction irréductible, il s’agit de chercher le PGCD entre le numérateur et le dénominateur
pour ensuite diviser chaque terme par ce même PGCD (Voir le cours et ses exemples).
74
•
?
28
74 = 28 × 2 + 18
28 = 18 × 1 + 10
18 = 10 × 1 + 8
10 = 8 × 1 + 2
8 = 2×4+0
Donc P GCD(74, 28) = 2. ce qui permet de calculer
2 × 37
37
74
=
=
28
2 × 14
14
•
117
?
52
117 = 52 × 2 + 13
52 = 13 × 4 + 0
Donc P GCD(117, 52) = 13. ce qui permet de calculer
117
13 × 9
9
=
=
52
13 × 4
4
5
Exercice 4
Calculer le PGCD des nombres suivants avec la méthode de l’algorithme d’Euclide.
• PGCD(28,48) ?
48 = 28 × 1 + 20
28 = 20 × 1 + 8
20 = 8 × 2 + 4
8 = 4×2+0
Donc P GCD(48, 28) = 4
• PGCD(126,24) ?
126 = 24 × 5 + 6
24 = 6 × 4 + 0
Donc P GCD(126, 24) = 6
2