cours int grales

Chapitre 1
Calcul -integral
1.1 L’int´egrale d´efinie
1.1.1 D´efinition par sommes de Riemann
Soit f∈C0[a;b] positive. On cherche `a calculer l’aire Sdu domaine limit´e par le graphe de
f, l’axe Ox ainsi que les droites x=aet x=b.
On partage l’intervalle [a;b] en nintervalles I1,I1, . . .Inde fa¸con arbitraire Ik= [xk−1;xk]
avec x0=aet xn=b.
On choisit ensuite un ξk∈Ikde fa¸con toujours arbitraire. Notons ∆xk=xk−xk−1la
largeur de l’intervalle Iket soit
Sn=
n
k=1
f(ξk)·∆xk
la somme des surfaces rectangulaires d´etermin´ees par Iket f(ξk).
C’est une approximation de l’aire cherch´ee et cette approximation est d’autant meilleure
que les ∆xksont petits et donc que le nombre d’intervalles nest grand. A la limite (si elle
existe), on obtiendra l’aire cherch´ee S. On pose alors la d´efinition suivante :
D´efinition 1.1 (Fonction int´egrable).La fonction f(x) est dite int´egrable sur [a;b] si la
limite
S= lim
n→ ∞
supk∆xk→0
Sn
existe et ceci ind´ependamment du choix des xket des ξk. On note cette limite
b
a
f(x)dx .
1

2 ´
Remarque 1.2. On peut montrer, que pour qu’une fonction f(x) soit int´egrable, il suffit
de montrer la convergence des suites Snpour deux choix particuliers des ξn. En effet, posons
Mk= sup
x∈Ik
f(x)mk= inf
x∈Ik
f(x)
Alors mk6f(ξk)6Mkpour tout choix de ξk∈Iket donc
n
k=1
mk·∆xk6
n
k=1
f(ξk)·∆xk
=Sn
6
n
k=1
Mk·∆xk.
Si les termes de gauche et de droite converge vers la mˆeme limite Slorsque n→ ∞ et
∆xk→0, alors par le th´eor`eme des gendarmes, la somme Snconverge ´egalement vers S
(pour tout choix des ξk) et fest ainsi int´egrable.
Remarque 5.3. Si f(x)60 pour tout x∈[a;b] et fest int´egrable, alors on a
b
a
f(x)dx 60.
Ainsi b
a
f(x)dx est une aire alg´ebrique affect´ee d’un signe. Les domaines au-dessous de
l’axe Ox sont compt´es n´egativement.
1.1.2 Propri´et´es de l’int´egrale d´efinie
(1) a
a
f(x)dx = 0
(2)
b
a
f(x)dx +c
b
f(x)dx =c
a
f(x)dx
=⇒a
b
f(x)dx =−b
a
f(x)dx
(3) Lin´earit´e de l’int´egrale :
b
a
(αf(x) + βg(x)) dx =α·b
a
f(x)dx +β·b
a
g(x)dx
(4) Si a6bet f(x)6g(x)∀x∈[a;b], alors
b
a
f(x)dx 6b
a
g(x)dx
(5) b
a
f(x)dx6b
a|f(x)|dx
D´ emonstration : Ceci d´ecoule du point (4) et de l’in´egalit´e
−|f(x)|6f(x)6|f(x)|
pour tout x∈[a;b].

(6) In´egalit´e de Schwarz :
b
a
f(x)g(x)dx2 6b
a
f2(x)dx ·b
a
g2(x)dx.
D´ emonstration : Pour tout t∈Ron a b
a
(f(x)−tg(x))2dx >0 ce qui donne
b
a
(f2(x)−2tf(x)g(x) + t2g2(x)) dx >0
et par (3) b
a
f2(x)dx −2tb
a
f(x)g(x)dx +t2b
a
g2(x)dx >0
et ceci pour tout t. Le discriminant de cette ´equation du 2`eme degr´e en tdoit donc ˆetre
n´egatif ou nul. Ainsi
∆ = B2−4AC = 4 b
a
f(x)g(x)dx2 −4b
a
f2(x)dx b
a
g2(x)dx 60.
Remarque 1.4. La variable d’int´egration est une variable muette. Son changement n’af-
fecte en rien la valeur de l’int´egrale :
b
a
f(x)dx =b
a
f(u)du.
D´efinition 1.5. fest continue par morceaux sur I= [a;b] s’il existe Ik= [xk−1;xk]
k= 1,2, . . . , n avec x0=aet xn=bde telle sorte que f(x) soit continue sur chaque
intervalle ouvert ]xk−1;xk[, continue `a gauche en x1,x2,. . . ,xnet continue `a droite en
chaque x0,x1,. . . ,xn−1.
Th´eor`eme 1.6. Toute fonction continue par morceaux est int´egrable.
Sans d´emonstration.
1.1.3 Th´eor`eme fondamental du calcul int´egral
Dans cette section, nous allons montrer le lien entre l’int´egrale d´efinie et la d´eriv´ee.
Lemme 1.7 (Th´eor`eme de la moyenne du calcul int´egral).Soit I= [a;b],f∈C0(I). Alors
il existe ξ∈Itel que b
a
f(x)dx =f(ξ)·(b−a).

3´
D´ emonstration :
Soit m= inf
x∈If(x) et M= sup
x∈I
f(x). Alors
m·(b−a)6b
a
f(x)dx 6M·(b−a).
et donc
f(xm) = m61
b−ab
a
f(x)dx
=c
6M=f(xM).
Comme fest continue, il existe un ξ∈Iavec f(ξ) = cpar le corollaire du th´eor`eme de
Bolzano ou des valeurs intermediaires.
Appliqu´e `a l’intervalle [x;x+h] ce lemme assure l’existence d’un ξ=x+θh (0 6θ61)
avec x+h
x
f(t)dt =h·f(x+θh).(∗)
Th´eor`eme 1.8 (Th´eor`eme fondamental du calcul int´egral).Soit I= [a;b]et f∈C0(I).
Posons
F(x) = x
a
f(t)dt.
Alors F′(x) = f(x)pour tout x∈I.
D´ emonstration :
Reprenons la d´efinition de la d´eriv´ee :
F′(x) = lim
h→0
F(x+h)−F(x)
h
= lim
h→0
1
h·x+h
a
f(t)dt −x
a
f(t)dt
= lim
h→0
1
h·x+h
x
f(t)dt
= lim
h→0
1
h·h·f(x+θh) 0 6θ61 par (*)
= lim
h→0f(x+θh)
=f(x) car fest continue.
En d’autres termes, on a
d
dx x
a
f(t)dt=f(x)

1.2. PRIMITIVES
Explication intuitive :
dF (x) = F(x+h)−F(x) = dx ·f(x) =
⇒dF (x)
dx =f(x).
Th´eor`eme 1.9. Soit f(x)int´egrable sur I= [a;b]et F(x)telle que F′(x) = f(x). Alors
b
a
f(x)dx =F(b)−F(a) = F(x)
b
a
D´ emonstration : Posons Φ(x) = x
a
f(t)dt.
Alors par le th´eor`eme pr´ec´edent, on a Φ′(x) = f(x) = F′(x). Ainsi Φ(x) = F(x) + c
(cf. chapitre 4).
Or Φ(a) = 0 =
⇒F(a) + c= 0 = ⇒c=−F(a). Donc Φ(x) = F(x)−F(a). On en
d´eduit que
Φ(b) = b
a
f(t)dt =F(b)−F(a).
Corollaire 1.10. Soit f(x)une fonction continue et ϕ(x)une fonction d´erivable. Alors
(a)
d
dx a
x
f(t)dt=−f(x)
(b)
d
dx ψ(x)
ϕ(x)
f(t)dt=f(ψ(x)) ·ψ′(x)−f(ϕ(x)) ·ϕ′(x)
1.2 Primitives
1.2.1 D´efinition et propri´et´es
D´efinition 1.2.1.Soit f(x) une fonction. Une primitive de f(x) est une fonction F(x)
telle que F′(x) = f(x).
Remarque 1.2.2. Si F(x) est une primitive de f(x), alors
G(x) = F(x) + c
en aussi une primitive de f(x). R´eciproquement, deux primitives d’une mˆeme fonction ne
diff`erent que d’une constante (cf. chapitre 4 : f′(x)≡0 =
⇒f(x)≡c).
4