Morphismes

19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 1
⋇ Morphismes ⋇
Généralités
Définition – Morphisme (= Homomorphisme)
Soit deux ensembles E et F munis respectivement des lois de composition interne * et ⊤. On appelle morphisme de (E,*) vers
(F,⊤) toute application f de E dans F telle que :
(∀(x1,x2) ∈ E²) f(x1*x2) = f(x1)⊤f(x2)
Définition – Endomorphisme
Morphisme de (E,*) vers lui-même
Définition – Isomorphisme
On appelle isomorphisme de (E,*) vers (F,⊤) tout morphisme bijective f de (E,*) vers (F,⊤)
Définition – Automorphisme
Un automorphisme de (E,*) est un isomorphisme de (E,*)
Définition – Monomorphisme
Un monomorphisme est un morphisme injectif
Théorème – Morphisme surjectif
S’il existe un morphisme surjectif f de (E,*) vers (F,⊤) on a les propriétés suivantes :
a) Si * est associative alors ⊤ est associative
b) Si * est commutative alors ⊤ est commutative
c) Si * admet un élément neutre e alors f(e) est élément neutre pour la loi ⊤
d) Si x et x’ sont deux éléments de E symétriques pour la loi *, f(x) et f(x’) sont dans F symétriques pour la loi ⊤
Théorème – Isomorphisme réciproque
S’il existe un isomorphisme f de (E,*) vers (F,⊤) alors l’application réciproque f-1 est un isomorphisme de (F,⊤) sur (E,*)
E et F sont dits isomorphes.
Théorème – Composé de morphisme
Si f est un morphisme de (E,*) vers (F,⊤) et g un morphisme de (F,⊤) vers (G,⊥) alors gοf est un morphisme de (E,*) vers (G,⊥)
Définition – Morphisme nilpotent
On dit qu’un endomorphisme f est nilpotent s’il existe un entier k positif tel que fk = 0
Définition – Endomorphisme stable
Soit f un endomorphisme de E et F un sous-ensemble de E. On dit que F et stable par f si f(F) ⊂ F

19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 2
Morphismes de groupes
Définition – Morphisme de groupes
Etant donné deux groupes (G,*) et (𝛤,⦁), une application f de G dans 𝛤 est un morphisme de groupes ssi (∀(x1,x2) ∈ G²)
f(x1*x2) = f(x1)⦁f(x2)
Théorème
Soit deux groupes (G,*) et (𝛤,⦁), d’éléments neutres respectifs e et 𝜀. Si f est un morphisme de (G,*) vers (𝛤,⦁) alors :
1) f(e) = 𝜀
2) Si un élément x de G a pour symétrique x-1 dans (G,*), f(x) a pour symétrique f(x-1) dans (𝛤,⦁)
3) Si H est sous-groupe de (G,*) son image f<H> est un sous-groupe de (𝛤,⦁)
Définition – Noyau
Si f est un morphisme du groupe (G,*) vers le groupe (𝛤,⦁) on appelle noyau de f et on note ker f l’ensemble des éléments de
G dont l’image par f est le neutre 𝜀 de (𝛤,⦁)
Ker f = {x ∈ G / f(x) = 𝜀}
Théorème
Si f est un morphisme du groupe (G,*) vers le groupe (𝛤,⦁) alors
1) son noyau ker f est un sous-groupe de (G,*)
2) f est une injection ⟺ ker f = {e}
Théorème
S’il existe un morphisme surjectif du groupe (G,*) vers l’ensemble F muni d’une loi de composition interne ⊤, alors (F,⊤) est
un groupe. Si le groupe G est abélien alors F est abélien.

19/04/2017 Algèbre – Morphismes | 3
Morphismes d’anneaux et de corps
Définition – Morphismes d’anneaux / de corps
Soient deux anneaux (A,+,⦁) et (B,⊤,*) et f une application de A dans B. On dit que f est un morphisme d’anneaux ssi :
1) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1+x2) = f(x1) ⊤ f(x2)
2) ∀(x1,x2) ∈ A² f(x1⦁x2) = f(x1) * f(x2)
3) f(1A) = 1B
même définition pour un morphisme de corps
* Un morphisme de corps est injectif
Théorème – Morphismes surjectifs d’anneaux / de corps
S’il existe un morphisme surjectif f de l’anneau (A,+,⦁) et vers l’ensemble (F, +, ⦁) alors (F,+, ⦁) est un anneau
Même théorème avec un corps

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