CHAPITRE 6 Les Racines Carrées OBJECTIFS : - Connaître la définition d’une racine carrée. - Transformer des expressions contenant des racines carrées. La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers). L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels. Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable 2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage ! Origine du symbole IIe siècle: l 12 = côté d’un carré d’aire 12 ( l comme latus = côté en latin) 1525, Christoph RUDOLFF, allemand: v 12 (vient du r de racine) XVIe siècle, Michael STIFEL, allemand: 12 (combinaison du « v » de Rudolff et de la barre « » ancêtre des parenthèses) I. des La racines famille des I. La famille carrées 1) Définition racines carrées 1) Définition La racine carrée de a, notée a , est le nombre (toujours positif) dont le carré est a. Exemples : Comme 3² = 9 donc 9=3 Comme 2,6² = 6,76 donc 6,76 = 2,6 Remarques: D’après la définition, la racine carrée de -5 * -5 = ? serait le nombre dont le carré est -5. M -5 Or, un nombre au carré est toujours positif n’existe pas ! (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est impossible à calculer. * s’appelle le radical et a se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ». Quelques nombres de la famille des racines carrées : 0=0 2 » 1,4142 1=1 3 » 1,732 (nombres ni décimaux, ni rationnels !) Les premières Racines Parfaites : 4=2 36 = 6 100 = 10 9=3 49 = 7 121 = 11 16 = 4 64 = 8 144 = 12 25 = 5 81 = 9 169 = 13 2) Racines carrées d’un nombre au carré et carré d’une racine carrée II. 0pérations sur les racines carrées Exemples : A= 32 x B= 3x C 50 72 Ecrire le plus simplement possible 2 = 36 x 3= 50 = 72 = 64 = 8 32 x 2 = 3x3x 36 = 9x 36 = 3 x 6 = 18 25 5 = 36 6 25 = 36 On peut simplifier la fraction par 2. D = (4 5)² = 16 x( 5)² = 16 x 5 = 80 (a x b)²=a²x b² E 32×10 = 80 32 10 = 80 III. III. Applications 32 x 10 4 =2 ÷ 80 = 4 1) Extraire une racine parfaite Applications 1) Extraire une racine parfaite Ecrire sous la forme a b, avec a et b entiers et b étant le plus petit possible. A= 72 = 36x2 = 36 x 45 = 4 2 = 6 2 Pour que b soit le plus petit possible, b ne doit pas contenir de racine parfaite. on fait “ apparaître ” dans 72 une racine parfaite la plus grande possible: ici 36 B=4 2 = 6x 9x5 =4x 9 x 5 =4x3x 5 = 12 5 2) Somme et différence de racines carrées 2) Sommes et différences de racines carrées Ecrire le plus simplement possible : A=4 3–2 3+6 3 =8 3 On regroupe les membres d’une même famille de racines carrées. Ici, celle des 3 il y en a 4 – 2 + 6 c’est-à-dire 8. B=7 2–3 5+8 2– 5 = 15 2 - 4 5 C = (3 – 2 3) – (4 – 6 3) = 3 – 2 3 – 4 + 6 3 = -1 + 4 3 Règle de suppression des parenthèses précédées du signe - 3) Simplification d’une somme de racines carrées 3) sous Simplification la formed’une a bsomme de racines carrées sous la forme a b Ecrire les expressions suivantes sous la forme a b, où a et b sont des entiers et b le plus petit possible : A= 12 + 7 3 – 27 B= 125 – 2 20 + 6 80 On va faire apparaître des racines carrées d’une même famille. Pour cela, il faut extraire des racines parfaites. A= 4x3+7 3– 9×3 B= 25 × 5 – 2 4 × 5 + 6 16 × 5 =2 3+7 3-3 3 =5 5–2x2 5+6x4 5 =6 3 = 5 5 – 4 5 + 24 5 = 25 5 4) Racines carrées et développements 4) Racine carrées et développements Ecrire les expressions suivantes sous la forme a + b c, où a, b et c sont des entiers relatifs : A = ( 3 – 4)² = 3 – 8 3 + 16 = 19 – 8 3 (a - b)² = a² - 2ab + b² B=( 2- 5)( 2 + 5) = 2 – 5 = - 3 (a + b)(a - b) = a² - b² C = (3 + 3)(4 – 2 3) = 12 – 6 3 + 4 3 – 6 = 6 - 2 3 Double distributivité 5) Suppression du radicaldu duradical dénominateur 5) Suppression au dénominateur Ecrire l’expression suivante sans radical au dénominateur : A 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par la même racine qui existe déjà au dénominateur.