CHAPITRE 6 Les Racines Carrées

CHAPITRE 6 Les Racines Carrées
OBJECTIFS :
- Connaître la définition d’une racine carrée.
- Transformer des expressions contenant des racines carrées.
La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres
rationnels (quotient de deux entiers).
L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des
nombres irrationnels.
Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable
2 qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens.
Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais
rencontré jusqu'alors.
Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement
même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres,
Hippase de Métaponte , trahisse le secret.
Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage !
Origine du symbole
IIe siècle: l 12 = côté d’un carré d’aire 12 ( l comme latus = côté en latin)
1525, Christoph RUDOLFF, allemand: v 12 (vient du r de racine)
XVIe siècle, Michael STIFEL, allemand: 12 (combinaison du « v » de
Rudolff et de la barre « » ancêtre des parenthèses)
I. La famille des racines carrées
1) Définition
I. La famille des racines carrées
La racine carrée de a, notée a , est le nombre
(toujours positif) dont le carré est a.
Comme 3² = 9 donc 9 = 3
Comme 2,6² = 6,76 donc 6,76 = 2,6
Remarques:
* -5 = ?
D’après la définition, la racine carrée de -5
serait le nombre dont le carré est -5.
Or, un nombre au carré est toujours positif
(règle des signes), donc la racine carrée d’un
nombre négatif est impossible à calculer.
M-5
n’existe pas !
* s’appelle le radical et a se lit
« racine carrée de a » ou « racine de a ».
1) Définition
Exemples :

Quelques nombres de la famille des racines carrées :
0 = 0
1 = 1
2 » 1,4142
3 » 1,732
(nombres ni décimaux,
ni rationnels !)
Les premières Racines Parfaites :
4 = 2 36 = 6 100 = 10
9 = 3 49 = 7 121 = 11
16 = 4 64 = 8 144 = 12
25 = 5 81 = 9 169 = 13
2) Racines carrées d’un nombre au carré et carré d’une racine carrée
II. 0pérations sur les racines carrées

Exemples :
Ecrire le plus simplement possible
A = 32 x 2
= 32 x 2
B = 3 x 36 x 3
= 3 x 3 x 36
72
50
C
= 50
72
D = (4 5)²
= 16 x( 5)²
80 1032
E
= 32×10
80
= 64
= 8
= 9 x 36
= 3 x 6
= 18
= 25
36
= 25
36
= 5
6
On peut simplifier la fraction par 2.
(a x b)²=a²x b²
= 16 x 5
= 80
= 4
= 2
32 x 10 ÷ 80 = 4
III. Applications
1) Extraire une racine parfaite
III. Applications
1) Extraire une racine parfaite
Ecrire sous la forme a b, avec a et b entiers
et b étant le plus petit possible.
A = 72
on fait
“apparaître ” dans
72 une racine
parfaite
la plus grande
possible: ici 36
= 36x2
= 36 x 2
= 6x 2
= 6 2
Pour que b soit le plus petit
possible, b ne doit pas
contenir de racine parfaite.
B = 4 45
= 4 9 x 5
= 4 x 9 x 5
= 12 5
= 4 x 3 x 5
2) Somme et différence de racines carrées
2) Sommes et différences de racines carrées
Ecrire le plus simplement possible :
A = 4 3 – 2 3 + 6 3
= 8 3
On regroupe les membres d’une même famille de racines
carrées. Ici, celle des 3 il y en a 4 – 2 + 6 c’est-à-dire 8.
B = 7 2 – 3 5 + 8 2 – 5
= 15 2
C = (3 – 2 3) – (4 – 6 3)
= -1
- 4 5
= 3 – 2 3 – 4 + 6 3
+ 4 3
Règle de suppression
des parenthèses
précédées du signe -

3) Simplification d’une somme de racines carrées sous la forme
ba
3) Simplification d’une somme de racines carrées
sous la forme a b
Ecrire les expressions suivantes sous la forme a b, où
a et b sont des entiers et b le plus petit possible :
A = 12 + 7 3 – 27
B = 125 – 2 20 + 6 80
On va faire apparaître des racines carrées d’une même
famille. Pour cela, il faut extraire des racines parfaites.
A = 4 x 3 + 7 3 – 9 × 3
= 2 3 + 7 3 - 3 3
B = 25 × 5 – 2 4 × 5 + 6 16 × 5
= 5 5 – 2 x 2 5 + 6 x 4 5
= 25 5
= 6 3
= 5 5 – 4 5 + 24 5
4) Racine carrées et développements
4) Racines carrées et développements
Ecrire les expressions suivantes sous la forme a + b c,
où a, b et c sont des entiers relatifs :
A = ( 3 – 4)²
= 3 – 8 3 + 16
= 19 – 8 3
B = ( 2 - 5)( 2 + 5)
= 2 – 5
= - 3
C = (3 + 3)(4 – 2 3)
= 12 – 6 3 + 4 3 – 6
= 6 - 2 3
(a -b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
Double distributivité
5) Suppression du radical du dénominateur
5) Suppression du radical au dénominateur
Ecrire l’expression suivante sans radical au dénominateur :
22
23
2
2
23
Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur
de la fraction par la même racine qui existe déjà au
dénominateur.
2
3
A
2
23