Thème 16: La croissance d`une fonction

LA CROISSANCE D’UNE FONCTION 29
3C – JtJ 2015
Thème 16: La croissance d’une fonction
Introduction :
Dans ce chapitre, nous allons utiliser des renseignements fournis par la
dérivée d’une fonction afin de dégager le comportement de la fonction sur un
intervalle déterminé. Nous nous efforcerons en particulier de déterminer si la
fonction est croissante ou décroissante et d’en calculer les points dont la 2ème
coordonnée est maximum ou minimum.
16.1 La croissance d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble
de définition.
La fonction f est dite croissante sur I si elle prend des valeurs
de plus en plus grandes lorsque x croît.
Elle est dite décroissante sur I si elle prend des valeurs de plus
en plus petites lorsque x croît.
Modèle 1 :
Le tableau de signes,
le tableau de croissance:
Considérons la fonction représentée ci-dessous :
a) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction
est croissante.
b) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction
est décroissante.
Nous coderons ceci sous la forme d’un tableau de croissance :
 Ce dernier tableau ne doit pas être confondu avec le tableau
de signes de la fonction f :

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3C – JtJ 2015
Exercice 16.1:
On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques ci-
dessous.
a) b)
Dans chacun des cas :
1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.
2) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.
Modèle 2 :
Le tableau de signes,
le tableau de croissance:
Considérons la fonction représentée ci-dessous :
a) Déterminer graphiquement l’ED de f.
b) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.
c) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.
-
8-6-4-2 2 4 6
-4
-2
2
4

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Exercice 16.2:
On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques ci-
dessous.
a) b)
Dans chacun des cas :
1) Déterminer l’ED de f.
2) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.
3) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.
Définition :
• Une fonction définie sur un intervalle [a ; b] admet un
maximum local en un point c si pour tout voisin x de c,
f (x) < f (c)
• Elle admet un minimum local en c’ si pour tout voisin x de c’,
f (x) > f (c’)
Maximum local Minimum local
Modèle 3 :
Les extremums locaux
d’une fonction:
Considérons la fonction représentée ci-dessous :
Déterminer graphiquement les coordonnées des minimums et
maximums locaux de f.
-
8-6-4-2 2 4 6
-4
-2
2
4

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3C – JtJ 2015
Exercice 16.3:
On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques ci-
dessous :
a) b)
Dans chacun des cas :
1) Déterminer graphiquement les zéros de f.
2) Déterminer graphiquement les coordonnées des extremums de f.
3) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est
croissante.
Exercice 16.4:
Un appareil de mesure a permis de relever la température de 6
heures à 24 heures pendant une même journée. La courbe ci-
dessous représente la température f (t) relevée en fonction de
l’heure t.
a) Quelle est la température à 8 heures ?
b) Déterminer
f(8)
?
c) À quelle(s) heure(s) la température est-elle de 4°C.
d) Résoudre graphiquement
f(t)=4
.
e) Quelles sont les températures maximales et minimales ?
f) Sur quelle plage horaire, la température augmente-t-elle ?
g) Aux environs de quelle heure, la température a-t-elle le plus
augmenté ?
h) À quoi correspond, dans cet exemple, la dérivée de la fonction
f(t)
représentée ?
i) Résoudre graphiquement
′
f (t)
> 0.
-
8-6-4-2 2 4 6
-4
-2
2
4
6

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3C – JtJ 2015
16.2 Relation entre croissance et dérivée
Considérons la courbe suivante :
On constate:
• En tout point de [ a ; b [, la pente de la tangente est positive.
Donc
′
f (x)>0
pour tout x
∈
[ a ; b [.
• En tout point de ] b ; c [, la pente de la tangente est négative.
Donc
′
f (x)<0
pour tout x
∈
] b ; c [.
• En tout point de ] c ; d ], la pente de la tangente est positive.
Donc
′
f (x)>0
pour tout x
∈
] c ; d ].
Ce résultat se généralise en un théorème sur tout intervalle I :
Théorème : f est croissante sur I ⇔ f ’(x) > 0 pour tout x ∈ I
f est décroissante sur I ⇔ f ’(x) < 0 pour tout x ∈ I
Déterminons maintenant une condition sur
′
f(x)=0
pour chercher les
extremums (minimums ou maximums) à l’aide des 3 exemples suivants:
On constate que si c est un maximum,
′ f (c)=0
,
′ f (x)>0
avant c et
′ f (x)<0
après c.
De même, si c est un minimum,
′ f (c)=0
,
′ f (x)<0
avant c et
′ f (x)>0
après c.
MAIS la seule condition
′ f (c)=0
n’im-
plique pas que l’on ait un extremum, en
effet, ce 3ème exemple admet une pente de
tangente nulle en c sans que l’on ait un
extremum. On constate que cet exemple
diffère également des 2 autres, car le signe
de
′ f (x)
est le même à gauche et à droite
de c.
a
c b
acb
a
cb