Thème 16: La croissance d`une fonction

LA CROISSANCE D’UNE FONCTION
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Thème 16: La croissance d’une fonction
Introduction :
Dans ce chapitre, nous allons utiliser des renseignements fournis par la
dérivée d’une fonction afin de dégager le comportement de la fonction sur un
intervalle déterminé. Nous nous efforcerons en particulier de déterminer si la
fonction est croissante ou décroissante et d’en calculer les points dont la 2ème
coordonnée est maximum ou minimum.
16.1 La croissance d’une fonction
Définition : Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son ensemble
de définition.
La fonction f est dite croissante sur I si elle prend des valeurs
de plus en plus grandes lorsque x croît.
Elle est dite décroissante sur I si elle prend des valeurs de plus
en plus petites lorsque x croît.
Modèle 1 : Considérons la fonction représentée ci-dessous :
Le tableau de signes,
le tableau de croissance:
a) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction
est croissante.
b) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction
est décroissante.
Nous coderons ceci sous la forme d’un tableau de croissance :
Ce dernier tableau ne doit pas être confondu avec le tableau
de signes de la fonction f :
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THÈME 16
Exercice 16.1:
On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques cidessous.
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
a)
b)
Dans chacun des cas :
1) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.
2) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.
Modèle 2 : Considérons la fonction représentée ci-dessous :
Le tableau de signes,
le tableau de croissance:
a) Déterminer graphiquement l’ED de f.
b) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.
c) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.
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Exercice 16.2:
31
On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques cidessous.
a)
b)
Dans chacun des cas :
1) Déterminer l’ED de f.
2) Déterminer graphiquement le tableau de signes de f.
3) Déterminer graphiquement le tableau de croissance de f.
Définition : • Une fonction définie sur un intervalle [a ; b] admet un
maximum local en un point c si pour tout voisin x de c,
f (x) < f (c)
• Elle admet un minimum local en c’ si pour tout voisin x de c’,
f (x) > f (c’)
Maximum local
Minimum local
Modèle 3 : Considérons la fonction représentée ci-dessous :
4
Les extremums locaux
d’une fonction:
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
Déterminer graphiquement les coordonnées des minimums et
maximums locaux de f.
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THÈME 16
Exercice 16.3:
On considère les fonctions f représentées sur les 2 graphiques cidessous :
6
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
a)
b)
Dans chacun des cas :
1) Déterminer graphiquement les zéros de f.
2) Déterminer graphiquement les coordonnées des extremums de f.
3) Déterminer graphiquement le(s) intervalle(s) où la fonction est
croissante.
Exercice 16.4:
Un appareil de mesure a permis de relever la température de 6
heures à 24 heures pendant une même journée. La courbe cidessous représente la température f (t) relevée en fonction de
l’heure t.
a) Quelle est la température à 8 heures ?
b) Déterminer f (8) ?
c) À quelle(s) heure(s) la température est-elle de 4°C.
d) Résoudre graphiquement f (t) = 4 .
e) Quelles sont les températures maximales et minimales ?
f) Sur quelle plage horaire, la température augmente-t-elle ?
g) Aux environs de quelle heure, la température a-t-elle le plus
augmenté ?
h) À quoi correspond, dans cet exemple, la dérivée de la fonction
f (t) représentée ?
i) Résoudre graphiquement f ′ (t) > 0.
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16.2 Relation entre croissance et dérivée
Considérons la courbe suivante :
On constate:
• En tout point de [ a ; b [, la pente de la tangente est positive.
Donc f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ [ a ; b [.
• En tout point de ] b ; c [, la pente de la tangente est négative.
Donc f ′(x) < 0 pour tout x ∈ ] b ; c [.
• En tout point de ] c ; d ], la pente de la tangente est positive.
Donc f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ ] c ; d ].
Ce résultat se généralise en un théorème sur tout intervalle I :
Théorème :
f est croissante sur I ⇔ f ’(x) > 0 pour tout x ∈ I
f est décroissante sur I ⇔ f ’(x) < 0 pour tout x ∈ I
Déterminons maintenant une condition sur f ′(x) = 0 pour chercher les
extremums (minimums ou maximums) à l’aide des 3 exemples suivants:
a
c
b
De même, si c est un minimum, f ′(c) = 0 ,
f ′( x) < 0 avant c et f ′( x) > 0 après c.
a
c
b
a
c
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On constate que si c est un maximum,
f ′(c) = 0 , f ′( x) > 0 avant c et f ′( x) < 0
après c.
b
MAIS la seule condition f ′(c) = 0 n’implique pas que l’on ait un extremum, en
effet, ce 3ème exemple admet une pente de
tangente nulle en c sans que l’on ait un
extremum. On constate que cet exemple
diffère également des 2 autres, car le signe
de f ′( x) est le même à gauche et à droite
de c.
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THÈME 16
Théorème : Soit f une fonction dérivable sur [a ; b]. Les extremums locaux
de f sur [a ; b] sont:
• les points où la dérivée s’annule et change de signe ;
• les bords de l’intervalle a et b.
y
a
b
x
Remarque : Parmi tous les minimums locaux, nous appellerons minimum
absolu, le plus petit des minimums de f sur [a ; b]. Idem pour
le maximum absolu.
Exercice 16.5:
Soit la fonction f (x) = x 3 − 4 x 2 + 4 x représentée ci-dessous :
a) Résoudre graphiquement f (x) = 0 , f ′(x) = 0 .
b) Résoudre graphiquement f (x) > 0 , f ′(x) > 0 .
c) Résoudre graphiquement f (x) < 0 , f ′ (x) < 0 .
d) Sur l’intervalle [-1 ; 3], déterminer les coordonnées de tous les
min et max locaux.
e) Sur l’intervalle [-1 ; 3], déterminer les coordonnées de tous les
min et max absolus.
f) Déterminer le tableau de croissance de f.
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16.3 Étude de la croissance d’une fonction grâce à la dérivée
3
2
Modèle 4 : Étudier la croissance de f (x) = 2x + 4x – 8x + 7.
L’étude de la croissance:
Exercice 16.6:
Étudier la croissance des fonctions suivantes:
a) f (x) = -x2 + 3x – 2
b) f (x) = x3 – 8x2 + 5x – 1
c) f (x) = x4 – 8x2 + 1
d) f (x) = x3(x – 1)
e) f (x) = (x2 – 10x)4
f) f (x) = 2x +
2x − 3
g) f (x) =
x+5
Exercice 16.7:
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h) f (x) =
2
4
x
( x −1)
2
x+2
La fonction N(t) = −t 4 + 8t 2 + 10 (0 ≤ t ≤ 3), dans laquelle t est
le temps en semaines depuis le début d’une épidémie, représente
le nombre de milliers de personnes atteintes d’un certain virus.
Déterminer l’intervalle de temps durant lequel le nombre de
malades augmente.
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THÈME 16
Exercice 16.8:
Une campagne publicitaire génère le profit
P(x) = 4 x 3 − 48x 2 + 144 x
dans lequel x représente les frais de publicité, (0 ≤ x ≤ 4).
Sur quel intervalle de x, le profit décroît-il ?
Exercice 16.9:
La taille d’un enfant (en cm) de moins de 10 ans peut être
182,88x + 508
modélisée par la fonction t(x) =
où x représente
x + 10
son âge (en année).
1ère partie :
a) Calculer t(5) et donner sa signification concrète.
b) Calculer t ′ (x) .
2ème partie :
t(x + Δx) − t(x)
(lorsque Δx → 0),
Δx
montrer que l’unité de t ′ (x) correspond à des cm/année.
c) En se rappelant que t'(x) =
d) En déduire à quoi correspond concrètement t ′ (x) .
e) Calculer la vitesse de croissance d’un enfant de 5 ans.
Exercice 16.10:
Un centre de ski a observé que sa clientèle C lors de la xème journée
6000x
de la saison est donnée par la fonction C(x) = 2
.
x + 6400
a) Combien y a-t-il de clients durant la 20ème journée ? Est-il
exact que le nombre de clients va encore augmenter durant la
21ème journée ?
b) Combien y a-t-il de clients durant la 100ème journée ? Est-il
exact que le nombre de clients va encore augmenter durant la
101ème journée ?
c) Sur quel intervalle, la clientèle est-elle croissante ?
d) Après combien de jours, le centre de ski admettra-t-il un
maximum de clients ?
e) Lequel de ces 2 graphes représente la fonction C(x) ?
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Modèle 5 : Sur l’intervalle [-3 ; 3], étudier les extremums locaux et absolus de
3
2
f (x) = 2x + 3x – 12x – 6
Exercice 16.11:
Trouver les coordonnées des extremums absolus de f sur I
a) f (x) = -x2 + 3x – 2
I = [0 ; 2]
b) f (x) = x2 + 6x – 1
I = [-6 ; -2]
c) f (x) = 2x +
Exercice 16.12:
4
x
I = [1 ; 10]
7 2
x + 30x + 100 (0 ≤ x ≤ 8)
2
modélise la population de moustiques sur une certaine surface
durant le mois d’août où x représente le nombre de centimètres
d’eau tombée durant ce mois.
La fonction P(x) = − x 3 +
a) Déterminer l’intervalle de chute de pluie pour lequel cette
population augmente et celui pour lequel elle décroît.
b) Esquisser la courbe P(x) après avoir déterminé la population
maximum de moustique.
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THÈME 16
Exercice 16.13:
Supposons que certains astronomes utilisent la fonction
d(t) = t 3 − 48t + 200
(t ≥ 0)
pour représenter la distance en milliers de kilomètres d’un
météore à la terre à l’instant t en mois.
a) Déterminer d ′ (t) , puis effectuer le tableau de croissance.
b) À partir de quel instant, le météore va-t-il s’éloigner de la
terre ?
c) Quelle sera la distance la plus proche entre la terre et le
météore ?
Modèle 6 : Soit f (x) = (x – 2)(x + 2)3
Étudier et exploiter le signe de la fonction, la croissance afin de
tracer une bonne esquisse de f (x).
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Exercice 16.14:
Étudier et exploiter le signe de la fonction, la croissance afin de
tracer une bonne esquisse de f (x).
a) f (x) = (3x + 1)2 (2 − x)
Exercice 16.15:
39
b) f (x) =
(x + 2)2
x −1
t
représente la fraction
(1 + t) 3
de la population lausannoise qui contactera le virus d’une grippe
t mois après son apparition.
Supposons que la fonction f (t) =
a) Déterminer l’ED de f.
b) Déterminer le tableau de signes de f.
c) Déterminer f ′(t) puis donner le tableau de croissance de f.
d) Trouver l’instant auquel l’épidémie est maximale.
e) Calculer la portion maximale de la population lausannoise qui
sera contaminée par ce virus.
f) Esquisser le graphe de f.
Exercice 16.16:
Les agents du ministère de l’Environnement observent un feu de
forêt qui se propage en longeant un cours d’eau. On a calculé que
la distance (mesurée en km) parcourue par le feu s’exprime en
fonction du temps t (exprimé en jours), selon la fonction :
f (t) =
1ère partie :
4t 2 + 1
.
3t + 2
a) Déterminer l’ED de f.
b) Déterminer le tableau de signes de f.
c) Déterminer la distance parcourue par le feu après 5 jours.
2ère partie :
d) Calculer f ′(t) , et donner son unité de mesure.
e) Donner la signification concrète de f ′(t) .
f) Trouver la vitesse de propagation du feu durant le 5ème jour.
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THÈME 16
16.4 Le sommet de la parabole donnée par sa fonction f (x) = ax2 + bx + c
Le sommet d’une parabole va correspondre à un extremum de la
fonction du 2ème degré. Utilisons la dérivée pour en obtenir ses
coordonnées. Deux cas peuvent se présenter:
si a < 0
si a > 0
alors le sommet est
un maximum absolu.
alors le sommet est un
minimum absolu.
Déterminons alors les coordonnées de ce sommet
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Ainsi les coordonnées du sommet de la parabole
⎛ −b −Δ ⎞
y = ax2 + bx + c sont S ⎜ ;
⎟
⎝ 2a 4a ⎠
Modèle 7 : Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole
y = -4x2 + 8x – 9
Exercice 16.17:
Soit la fonction f (x) = x 2 + 2x − 8 .
a) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole à
l’aide de la formule ci-dessus.
b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de f (x)
avec l’axe x.
c) Déterminer l’équation de l’axe de symétrie de la parabole.
d) À partir de la réponse précédente, retrouver les coordonnées
du sommet S de la parabole (⇒ 2ème méthode).
Exercice 16.18:
La compagnie MALBARRÉE lance sur le marché un nouveau
cadenas. Une étude de la demande et de ses coûts de production
lui a permis d’établir son profit mensuel P en fonction du prix de
vente x :
P(x) = -210x2 + 4620x – 13650.
a) Quel sera son profit mensuel si le prix de vente est de 8.b) Quel doit être le prix de vente pour que le profit soit nul ?
c) Quel prix de vente la compagnie doit-elle fixer si elle veut
obtenir un profit maximal ?
d) Esquisser le graphe de P(x).
e) 20.- pour un cadenas, cela vous paraît-il une bonne idée ?
f) Sur quel intervalle le profit va-t-il augmenter ?
Exercice 16.19:
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Si une société de jouets vend x articles par jour, alors le prix de
x
vente de chaque article est de p(x) = 10 − .
10
a) À quoi correspond la fonction r(x) = x ⋅ p(x) ?
b) Pour quelle valeur de x la fonction r(x) sera-t-elle maximale ?
c) Pour quelle valeur de x la fonction r(x) sera-t-elle positive ?
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THÈME 16
Exercice 16.20:
Vous avez monté une petite entreprise où vous fabriquez des
sacs à main en cuir. En considérant vos frais fixes ainsi que vos
frais variables, vous avez calculé qu’il vous en coûtait
1
C(x) = x 2 +10x + 6300 Frs pour fabriquer x sacs à main.
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a) Si vous pouvez supporter financièrement des coûts de
production totaux de 6694.-, combien de sacs allez-vous
fabriquer ?
b) Que valent les coûts de production totaux pour 20 sacs à
main ?
c) Que valent les coûts de production unitaire pour 20 sacs à
main ?
d) On considère la fonction Cu définie par :
C(x)
Cu (x) =
x
À quoi correspond-elle concrètement ?
e) Combien de sacs à main devez-vous fabriquer si vous désirez
obtenir un coût de production unitaire minimal ?
f) Vous allez vendre ces sacs à main 70.- pièce.
Exprimer alors le profit P(x) en fonction du nombre x de sacs
à main vendu.
g) Déterminer le nombre de sacs à fabriquer afin que le profit
soit maximum.
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