Primitives d`une fraction rationnelle en sinus et cosinus

Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Primitives
Méthodes et techniques des exercices
Primitives d’une fraction rationnelle
en sinus et cosinus
On cherche à calculer une primitive d’une fraction rationnelle en sinus et cosinus sur
ses intervalles de définition. Notons R(cos(x), sin(x)) une telle fraction rationnelle. Par
exemple
sin(x)
x 7→
1 + cos(x)
Remarque. La fonction tangente est elle-même une fraction rationnelle des fonctions
sinus et cosinus. La méthode suivante s’applique donc également pour les fractions
rationnelles en sinus, cosinus et tangente.
Le calcul de ce type de primitive se fait par un changement de variable qui permet de se
ramener au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle. Pour choisir ce changement
de variable, on utilise les règles de Bioche∗ . Posons
f (x) = R(cos(x), sin(x)).
Si le terme f (x) dx est invariant par
le changement x 7→ −x,
le changement x 7→ π − x,
le changement x →
7 π + x,
Sinon, on pose t = tan x2 .
on pose t = cos(x)
on pose t = sin(x)
on pose t = tan(x)
Remarques.
1. Pour retrouver le changement de variable obtenu par les règles de Bioche, il suffit
de se rappeler de la cohérence entre invariance et changement de variable :
cos(−x) = cos(x)
sin(π − x) = sin(x)
tan(π + x) = tan(x)
2. Dans le cas où les règles de Bioche préconisent un changement de variable
t = cos(x) (resp. t = sin(x)), on constate que la fonction f s’écrit en fait
f (x) = g(cos(x)) sin(x) (resp. f (x) = g(sin(x)) cos(x)). La fonction cosinus
(resp. sinus) étant de classe C 1 sur R, ce changement de variable est valide
(accéder au cours Changement de variable).
1
Primitives
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
3. Le changement de variable t = tan(x) (resp. t = tan( x2 )) n’est valable que sur
des intervalles ne contenant pas un point du type π2 + kπ (resp. π + 2kπ), avec k
élément de Z. Sur ces intervalles la fonction x 7→ tan(x) (resp. x 7→ tan( x2 )) est
bijective, dérivable et de dérivée non nulle ; le changement de variable est donc
valide (accéder au cours Changement de variable).
Mais si l’on fait ce changement de variable pour chercher une primitive d’une
fonction f sur un intervalle contenant un point xk = π2 +kπ (resp. xk = π+2kπ),
la méthode ne nous donnera pas la primitive au point xk . Il faudra prolonger par
continuité les primitives obtenues à droite et à gauche de xk pour obtenir une
primitive dans le voisinage de xk (voir la méthode Problèmes de raccordement).
4. Pour le changement de variable t = tan x2 , on aura besoin des formules :
cos(x) =
1 − t2
,
1 + t2
sin(x) =
2t
1 + t2
et
tan(x) =
2t
.
1 − t2
5. On peut toujours choisir de faire le changement de variable t = tan x2 sans
s’intéresser aux propriétés d’invariance, mais cela a deux inconvénients
– d’une part, les calculs seront plus longs car on obtiendra des polynômes de
degré plus élevé,
– d’autre part, si un point de la forme π + 2kπ fait partie du domaine d’étude,
il sera nécessaire de faire une étude particulière pour ce point.
6. Dans le cas où R est
le calcul d’une primitive se ramène au calcul
R unp polynôme,
q
de termes du type sin (x) cos (x) dx. Voir la méthode.
Exemple. Calculons une primitive sur ] − π, π[ de la fonction
f : x 7→
On a
f (−x) d(−x) = −
sin(x)
1 + cos(x)
sin(−x)
dx = f (x) dx.
1 + cos(−x)
On utilise donc le changement de variable t = cos(x) soit dt = − sin(x) dx. On obtient
alors
Z
Z
sin(x)
dt
dx = −
1 + cos(x)
1+t
= − ln |1 + t|
= − ln |1 + cos(x)| = − ln(1 + cos(x))
Regardons ce qu’on obtient si on fait le changement de variable t = tan
2
x
2
.
Primitives
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Dans ce cas, dt = 21 (1 + t2 ) dx et
Z
2t
1+t2
1−t2
+ 1+t
2
sin(x)
dx =
1 + cos(x)
Z
1
=
Z
2t
dt
1 + t2
2 dt
1 + t2
= ln(1 + t2 )
= ln(1 + tan2
x
2
)
Remarque. Les deux primitives obtenues différent d’une constante :
ln(1 + tan2
x
2
) = ln
1
cos2
= − ln cos2
= − ln
x
2
x
2
!
1 + cos(x)
2
= − ln(1 + cos(x)) + ln(2)
∗
Charles Bioche (1859-1949).
3