Primitives d`une fraction rationnelle en sinus et cosinus

Base raisonn´ee d’exercices de math´ematiques (Braise) Primitives
M´ethodes et techniques des exercices
Primitives d’une fraction rationnelle
en sinus et cosinus
On cherche `a calculer une primitive d’une fraction rationnelle en sinus et cosinus sur
ses intervalles de d´efinition. Notons R(cos(x),sin(x)) une telle fraction rationnelle. Par
exemple
x7→ sin(x)
1 + cos(x)
Remarque. La fonction tangente est elle-mˆeme une fraction rationnelle des fonctions
sinus et cosinus. La m´ethode suivante s’applique donc ´egalement pour les fractions
rationnelles en sinus, cosinus et tangente.
Le calcul de ce type de primitive se fait par un changement de variable qui permet de se
ramener au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle. Pour choisir ce changement
de variable, on utilise les r`egles de Bioche∗. Posons
f(x) = R(cos(x),sin(x)).
Si le terme f(x)dxest invariant par
le changement x7→ −x, on pose t= cos(x)
le changement x7→ π−x, on pose t= sin(x)
le changement x7→ π+x, on pose t= tan(x)
Sinon, on pose t= tan x
2.
Remarques.
1. Pour retrouver le changement de variable obtenu par les r`egles de Bioche, il suffit
de se rappeler de la coh´erence entre invariance et changement de variable :
cos(−x) = cos(x)
sin(π−x) = sin(x)
tan(π+x) = tan(x)
2. Dans le cas o`u les r`egles de Bioche pr´econisent un changement de variable
t= cos(x)(resp. t= sin(x)), on constate que la fonction fs’´ecrit en fait
f(x) = g(cos(x)) sin(x)(resp. f(x) = g(sin(x)) cos(x)). La fonction cosinus
(resp. sinus) ´etant de classe C1sur R, ce changement de variable est valide
(acc´eder au cours Changement de variable).
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3. Le changement de variable t= tan(x)(resp. t= tan(x
2)) n’est valable que sur
des intervalles ne contenant pas un point du type π
2+kπ (resp. π+ 2kπ), avec k
´el´ement de Z. Sur ces intervalles la fonction x7→ tan(x)(resp. x7→ tan(x
2)) est
bijective, d´erivable et de d´eriv´ee non nulle ; le changement de variable est donc
valide (acc´eder au cours Changement de variable).
Mais si l’on fait ce changement de variable pour chercher une primitive d’une
fonction fsur un intervalle contenant un point xk=π
2+kπ (resp. xk=π+2kπ),
la m´ethode ne nous donnera pas la primitive au point xk. Il faudra prolonger par
continuit´e les primitives obtenues `a droite et `a gauche de xkpour obtenir une
primitive dans le voisinage de xk(voir la m´ethode Probl`emes de raccordement).
4. Pour le changement de variable t= tan x
2, on aura besoin des formules :
cos(x) = 1−t2
1 + t2,sin(x) = 2t 1 + t2et tan(x) = 2t 1−t2.
5. On peut toujours choisir de faire le changement de variable t= tan x
2sans
s’int´eresser aux propri´et´es d’invariance, mais cela a deux inconv´enients
– d’une part, les calculs seront plus longs car on obtiendra des polynˆomes de
degr´e plus ´elev´e,
– d’autre part, si un point de la forme π+ 2kπ fait partie du domaine d’´etude,
il sera n´ecessaire de faire une ´etude particuli`ere pour ce point.
6. Dans le cas o`u Rest un polynˆome, le calcul d’une primitive se ram`ene au calcul
de termes du type Rsinp(x) cosq(x) dx. Voir la m´ethode.
Exemple. Calculons une primitive sur ]−π, π[de la fonction
f:x7→ sin(x)
1 + cos(x)
On a
f(−x) d(−x) = −sin(−x)
1 + cos(−x)dx=f(x) dx.
On utilise donc le changement de variable t= cos(x)soit dt=−sin(x) dx. On obtient
alors Zsin(x)
1 + cos(x)dx=−Zdt 1 + t
=−ln |1 + t|
=−ln |1 + cos(x)|=−ln(1 + cos(x))
Regardons ce qu’on obtient si on fait le changement de variable t= tan x
2.
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Dans ce cas, dt=1
2(1 + t2) dxet
Zsin(x)
1 + cos(x)dx=Z2t
1+t2
1 + 1−t2
1+t2
2 dt
1 + t2
=Z2t
1 + t2dt
= ln(1 + t2)
= ln(1 + tan2x
2)
Remarque. Les deux primitives obtenues diff´erent d’une constante :
ln(1 + tan2x
2) = ln 1
cos2x
2!
=−ln cos2x
2
=−ln 1 + cos(x)
2
=−ln(1 + cos(x)) + ln(2)
∗Charles Bioche (1859-1949).
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