Les similitudes du plan Plan euclidien Plan complexe M' Soit k un réel strictement positif et s une transformation du plan : s est similitude P' de rapport k si et seulement si pour tous points du plan M et N d'images respectives N N' M' et N' par s: M'N' = k×MN Une isométrie est une similitude de rapport 1. Une homothétie de rapport λ est une similitude de rapport |λ| Une similitude conserve les rapports de longueur : ) Le nombre α (indépendant des points M et N) est appelé angle de la similitude s. P M'N'/MN=2 M P' N N' Soit s une similitude directe : si s n'admet aucun point invariant alors s est une translation si s admet un unique point invariant Ω alors s est la composée commutatived'une rotation et d'une homothétie de centre Ω.s=h(Ω,k)◦r(Ω,α)=r(Ω,α)◦h(Ω,k) si s admet plus d'un point invariant alors s est l'identité. Rem : si Ω existe il est appelé centre de la similitude s et pour ΩM'=kΩM tout point M d'image M' par s : Ä Ä (ΩM;ΩM')=θ[2π] Une similitude (directe ou indirecte) admettant : au moins deux points invariants distincts est une réflexion ou l'identité (il y a donc une infinité de points invariants) un unique point invariant est une homothétie, une rotation, la composée d'une homothétie et d'une rotation, ou la composée d'une symétrie axiale ou glissée, et d'une homothétie. aucun point invariant est une translation ou une symétrie glissée Soit f une transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe z' : z→z’ f est une similitude directe si et seulement s'il existe deux nombres complexes a et b tels que : z'=az+b f est une similitude indirecte si et seulement s'il existe deux nombres complexes a et b tels que : z'=a z +b exemples: Remarque : le rapport de la similitude est k=|a| Propriété : soient A, B deux points distincts, et A', B' deux points distincts. Il existe une unique similitude directe transformant A en A' et B en B' (système 2×2 dans Ê) Soient f et g deux similitudes directes du plan d'écriture complexe z'=az+b et z'=a'z+b' Alors la transformation f◦g est une similitude directe ayant pour écriture complexe : z'=aa'z+ab'+b Remarque : la composition n'est pas commutative en général car la similitude directe g◦f a pour écriture complexe :z'=aa'z+a'b+b' Soient les transformations: r(O,α) rotation de centre O et d'angle α=arg(a)[2π] h(O,k) homothétie de centre O et de rapport k=|a| t(Å v ) translation de vecteur Å v d'affixe b Alors la similitude directe s d'écriture complexe z'=az+b est la composée (non commutative) : s=t(Å v )◦h(O,k)◦r(O,α) iα Démo : z ' = ke z + b Soient deux points M(m) et N(n) ayant pour images respectives par une similitude s d’écriture complexe z′=az+b les points M′(m′) et N′(n′) m ' = am + b n '− m ' ⇒ n '− m ' = a (n − m) ⇒ a = n−m n ' = an + b L'angle de la similitude s est α=arg(a)[2π] Point invariant uuuur uuuuuuur Classifications ( M' et N' : MN ; M ' N ' =α [2π] Composition La transformation réciproque d'une similitude de rapport k est 1 une similitude de rapport . k Une similitude de rapport k transforme : un cercle de rayon r en un cercle de rayon k×r une droite en une droite un segment de longueur l en un segment de longueur k×l un triangle en un triangle semblable une surface d'aire A en une surface d'aire k2×A le barycentre d'un ensemble de points pondérés en le barycentre des images de ses points avec les mêmes pondérations Une similitude conserve les angles géométriques. Une similitude est dite directe si elle conserve les angles orientés de vecteurs. Soit s une similitude directe, il existe une nombre réel α tel que : pour tous points M et N distincts d'images respectives M' Propriétés Toute similitude de rapport k est la composée d'une isométrie suivie d'une homothétie de rapport k. La transformation composée de deux similitudes de rapport k et k' est une similitude de rapport k×k' La composition n'est pas commutative en général. Exemple : Angle M ' N ' = k × MN M ' N ' MN = ⇒ M ' P ' = k × MP M ' P ' MP Définition M'N'/MN=2 P M La similitude directe s d'écriture complexe z'=az+b admet un unique point invariant si et seulement si a≠1 Ω(ω) point invariant de la similitude directe s : ω=aω+b Si a≠1 alors ω = b ; si a=1 alors b=0 donc s est 1− a l'identité et admet une infinité de points invariants Rem : b=ω−aω donc z'=az+b=az+ω−aω=a(z-ω)+ω Si a ≠1 alors z'=keiα(z-ω)+ω Cette expression est la forme réduite de s. Une similitude directe d'écriture complexe z'=az+b est : une translation si et seulement si a=1 une rotation si et seulement si |a|=1 et a≠1 une homothétie si et seulement si a☻Ë\{1} une similitude de rapport |a| et d'angle arg(a) sinon