les similitudes planes bac math

M
N
P
M
'
N'
M'N'/MN=2
P
'
Les similitudes du plan
Plan euclidien Plan complexe
Soit k un réel strictement positif et s une
transformation du plan : s est similitude
de rapport k si et seulement si pour tous
points du plan M et N d'images respectives
M' et N' par s: M'N' = k×MN
Une isométrie est une similitude de rapport 1.
Une homothétie de rapport λ est une similitude de rapport
| |
λ
Une similitude conserve les rapports de longueur :
' ' ' '
' ' ' '
M N k MN
M N MN
M P k MP
M P MP
= × ⇒=
= × 
Toute similitude de rapport k est la composée d'une isométrie
suivie d'une homothétie de rapport k.
Définition
Soit f une transformation du plan complexe qui à tout
point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe z' : z→z’
 f est une similitude directe si et seulement s'il existe
deux nombres complexes a et b tels que : z'=az+b
 f est une similitude indirecte si et seulement s'il existe
deux nombres complexes a et b tels que : z'=a z +b
exemples:
Remarque : le rapport de la similitude est k=
| |
a
Propriété
: soient A, B deux points distincts, et A', B' deux
points distincts. Il existe une unique similitude directe
transformant A en A' et B en B' (système 2×2 dans Ê)
La transformation composée de deux similitudes de rapport k
et k' est une similitude de rapport k×k'
La composition n'est pas commutative en général.
Exemple :
La transformation réciproque d'une similitude de rapport k
est
une similitude de rapport
1
k
.
Composition
Soient f et g deux similitudes directes du plan d'écriture
complexe z'=az+b et z'=a'z+b'
Alors la transformation f◦g est une simili
tude directe ayant
pour écriture complexe : z'=aa'z+ab'+b
Remarque : la composition n'est pas commutative en
général car la similitude directe g◦f a pour écriture
complexe :z'=aa'z+a'b+b'
Une similitude de rapport k transforme :
 un cercle de rayon r en un cercle de rayon k×r
 une droite en une droite
 un segment de longueur l en un segment de longueur k×l
 un triangle en un triangle semblable
 une surface d'aire A en une surface d'aire k
2
×A
 le barycentre d'un ensemble de points pondérés en le
barycentre des images de ses points avec les mêmes
pondérations
Une similitude conserve les angles géométriques.
Une similitude est dite directe si elle conserve les angles
orientés de vecteurs.
Propriétés
Soient les transformations:
 r(O,α) rotation de centre O et d'angle α=arg(a)[2π]
 h(O,k) homothétie de centre O et de rapport k=
| |
a
 t(Å v) translation de vecteur Å v d'affixe b
Alors la similitude directe s d'écriture complexe z'=az+b
est la composée (non commutative) :
s=t(Å v)◦h(O,k)◦r(O,α)
Démo : '
i
z ke z b
α
= +
Soit s une similitude directe, il existe une nombre réel α tel
que : pour tous points M et N distincts d'images respectives
M' et N' :
(
)
; ' '
MN M N
uuuur uuuuuuur
=α [2π]
Le nombre α (indépendant des points
M et N) est appelé angle de la similitude s.
Angle
Soient deux points M(m) et N(n) ayant pour images
respectives par une similitude s d’écriture complexe
z′=az+b les points M′(m′) et N′(n′)
'
' '
' ' ( )
'
m am b
n m
n m a n m a
n an b
n m
= +
−
⇒− = − ⇒=
= +
−
L'angle de la similitude s est α=arg(a)[2π]
Soit s une similitude directe :
 si s n'admet aucun point invariant alors s est une
translation
 si s admet un unique point invariant Ω alors s est la
composée commutatived'une rotation et d'une homothétie de
centre Ω.s=h(Ω,k)◦r(Ω,α)=r(Ω,α)◦h(Ω,k)
 si s admet plus d'un point invariant alors s est l'identité.
Rem : si Ω
existe il est appelé centre de la similitude s et pour
tout point M d'image M' par s :
ΩM'=kΩM
( )
Ä
ΩM;Ä ΩM'=θ[2π]
Point invariant
La similitude directe s d'écriture complexe z'=az+b
admet un unique point invariant si et seulement si a≠1
Ω(ω) point invariant de la similitude directe s : ω=aω+b
Si a≠1 alors
1
b
a
ω =
−
; si a=1 alors b=0 donc s est
l'identité et admet une infinité de points invariants
Rem : b=ω−aω donc z'=az+b=az+ω−aω=a(z-ω)+ω
Si a ≠1 alors z'=ke
i α
(z-ω)+ω
Cette expression est la forme réduite de s.
Une similitude (directe ou indirecte) admettant :
au moins deux points invariants distincts est une réflexion
ou l'identité (il y a donc une infinité de points invariants)
 un unique point invariant est une homothétie, une
rotation, la composée d'une homothétie
et d'une rotation, ou la
composée d'une symétrie axiale ou glissée, et d'une
homothétie.
 aucun point invariant est une translation ou une symétrie
glissée
Classifications
Une similitude directe d'écriture complexe z'=az+b est :
 une translation si et seulement si a=1
 une rotation si et seulement si
| |
a=1 et a≠1
 une homothétie si et seulement si a☻Ë\{1}
 une similitude de rapport
| |
a et d'angle arg(a) sinon
M
N
P
M
'
N'
M'N'/MN=2
P
'