Notes de cours sur les ensembles

Les ensembles
D. Daigle
1. Notions de base
La notation x∈Asignifie que xest un ´el´ement de l’ensemble A(elle se lit “xest
´el´ement de A”ou encore “xappartient `a A”). Remarquez que le symbole d’appartenance
∈est diff´erent de la lettre grecque ε. La th´eorie des ensembles commence par la
d´efinition de l’´egalit´e des ensembles :
Deux ensembles sont ´egaux si et seulement si ils ont les mˆemes ´el´ements.
Ceci signifie que :
•si deux ensembles ont les mˆemes ´el´ements, alors ces ensembles sont ´egaux
•si deux ensembles sont ´egaux, alors ils ont les mˆemes ´el´ements (forc´ement,
puisqu’il s’agit en fait du mˆeme ensemble).
1.1. Exemple. Supposons que Aet Bsont des ensembles satisfaisant :
•2∈A, 3 ∈A, 4 ∈A, et 2,3,4 sont les seuls ´el´ements de A
•2∈B, 3 ∈B, 4 ∈B, et 2,3,4 sont les seuls ´el´ements de B.
Alors la d´efinition d’´egalit´e implique que A=B. Donc il ne peut pas exister plusieurs
ensembles diff´erents dont les ´el´ements seraient 2,3,4 et rien d’autre.
1.2.Supposons que a1, a2, . . . , ansont des objets quelconques (un objet peut ˆetre un
nombre, un ensemble, une fonction, une matrice, etc, donc n’importe quel objet math´e-
matique). La d´efinition d’´egalit´e implique qu’il ne peut pas exister plusieurs ensembles
diff´erents dont les ´el´ements seraient a1, a2, . . . , an. Le symbole {a1, a2, . . . , an}d´esigne
l’unique ensemble dont les ´el´ements sont a1, a2, . . . , an.
Par exemple si on ´ecrit A={3,41}alors 3 ∈A, 41 ∈Aet An’a pas d’autres
´el´ements que 3 et 41.
Prenez note du cas “n= 1” de la notation 1.2 : si aest un objet quelconque, alors
{a}d´esigne l’ensemble dont l’unique ´el´ement est a. Un ensemble qui a exactement 1
´el´ement est appel´e un singleton. Par exemple, on a l’ensemble {5}. Remarquons que
l’ensemble {5}et le nombre 5 sont deux objets diff´erents : 5 6={5}.
Observons que la d´efinition d’´egalit´e implique que {2,3,4}={4,2,3}={2,3,2,4},
puisque ces ensembles ont les mˆemes ´el´ements.
Il est possible qu’un ensemble soit un ´el´ement d’un autre ensemble. Par exemple,
on a les deux ensembles A={2,3}et B={3,4,5,6}. Puisqu’on a les objets Aet
B, on peut ensuite former l’ensemble C={A, B}={{2,3},{3,4,5,6}}. On a alors :
{2,3} ∈ {{2,3},{3,4,5,6}}.
1.3. Exercice. Soient A={2,3}et B={A}. Alors Aa combien d’´el´ements, et Ba
combien d’´el´ements ? Aest-il ´egal `a B?
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Une autre mani` ere de d´ efinir un ensemble
On a vu qu’on peut d´efinir un ensemble en ´enum´erant ses ´el´ements, comme dans les
exemples suivants : A={3,7,342},B={2,3,4,...,10},N={0,1,2,3, . . . }.
L’exemple suivant d´efinit un ensemble Csans ´enum´erer ses ´el´ements :
C=x|xest un nombre entier et x2−7x+ 10 = 0 .
Cette notation signifie que Cest l’ensemble de tous les objets xqui satisfont la condition
“xest un nombre entier et x2−7x+ 10 = 0”.
Cette m´ethode pour d´efinir un ensemble peut ˆetre formul´ee comme ceci :
´
Etant donn´ee une condition P, la notation
E=x|xsatisfait la condition P
dit que Eest l’ensemble de tous les objets qui satisfont la condition P.
Remarquez que, d’apr`es la d´efinition d’´egalit´e, il ne peut pas exister plusieurs ensembles
diff´erents dont les ´el´ements seraient “tous les objets qui satisfont P”. Voici d’autres
exemples d’ensembles d´efinis de cette fa¸con :
1.4. Exemples.
•A=x|xest un nombre premier 
(Aest l’ensemble de tous les nombres premiers)
•B=x|xest une fonction de Nvers N
(Best l’ensemble de toutes les fonctions de Nvers N)
•E=x∈R|x2>3
(Eest l’ensemble de tous les nombres r´eels xsatisfaisant x2>3)
•E0=x|x∈Ret x2>3
(E0est l’ensemble de tous les objets xsatisfaisant “x∈Ret x2>3”)
Remarquez que Eet E0ont les mˆemes ´el´ements, donc E=E0. Remarquez aussi
qu’au lieu de “x”, on peut utiliser d’autres lettres:
E=x∈R|x2>3=s∈R|s2>3.
Par exemple, comme Best un ensemble de fonctions, c’est une bonne id´ee d’utiliser la
lettre “f”:
B=f|fest une fonction de Nvers N.
Les ensembles de nombres
Nous utiliserons les notations suivantes :
•Un nombre entier plus grand ou ´egal `a z´ero est appel´e un nombre naturel. Le
symbole Nd´esigne l’ensemble des nombres naturels, donc N={0,1,2,3,4, . . . }.
Notez bien que 0 ∈N.

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•Le symbole Zd´esigne l’ensemble des entiers (positifs, n´egatifs, ou nuls), donc
Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . . }.
•Un nombre rationnel est une fraction a/b o`u a, b ∈Zet b6= 0. L’ensemble de
tous les nombres rationnels est not´e Q.
•L’ensemble de tous les nombres r´eels est not´e R.
Rappelons la notation des intervalles.
Si a<bsont des nombres r´eels alors
•(a, b) = x|x∈R∧a<x<b
•[a, b) = x|x∈R∧a≤x<b
•(a, b] = x|x∈R∧a<x≤b
•[a, b] = x|x∈R∧a≤x≤b.
Si a∈Ralors
•[a, ∞) = x|x∈R∧x≥a
•(a, ∞) = x|x∈R∧x>a
•(−∞, a] = x|x∈R∧x≤a
•(−∞, a) = x|x∈R∧x<a.
Finalement,
•(−∞,∞) = R.
L’´ egalit´ e des ensembles
Regardons encore une fois la d´efinition d’´egalit´e des ensembles. La phrase “Aet B
ont les mˆemes ´el´ements” peut se traduire par “quel que soit l’objet x, si xappartient
`a l’un des ensembles A, B alors il appartient aussi `a l’autre”; autrement dit,
“Aet Bont les mˆemes ´el´ements” ≡ ∀xx∈A⇔x∈B.
On calcule la n´egation de la formule “Aet Bont les mˆemes ´el´ements”:
¬∀xx∈A⇔x∈B≡ ∃x¬x∈A⇔x∈B
≡ ∃x¬(x∈A⇒x∈B)∧(x∈B⇒x∈A)
≡ ∃x¬(x∈A⇒x∈B)∨ ¬(x∈B⇒x∈A)
≡ ∃x(x∈A∧x /∈B)∨(x∈B∧x /∈A),
donc la phrase “Aet Bn’ont pas les mˆemes ´el´ements” se traduit par
∃x(x∈A∧x /∈B)∨(x /∈A∧x∈B)
qui se lit en fran¸cais : “il existe un objet qui est ´el´ement d’un des ensembles mais pas
de l’autre”. On prend note de ce qu’on vient de trouver :
1.5.´ Etant donn´es des ensembles A, B,ona:
(a) A=B⇔ ∀xx∈A⇔x∈B
(b) A6=B⇔ ∃x(x∈A∧x /∈B)∨(x /∈A∧x∈B)

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L’ensemble vide
1.6.Un ensemble qui n’a aucun ´el´ement est appel´e un ensemble vide. Par exemple,
les ensembles V=x∈R|x2=−1et W=x∈Z|x3= 4 sont vides.
Montrons qu’il ne peut pas exister plusieurs ensembles vides (donc V=Wci-dessus).
Par contradiction : supposons que Aet Bsont deux ensembles vides tels que A6=B.
Alors 1.5(b) implique qu’il existe un objet xqui est ´el´ement d’un des ensembles A, B
mais qui n’est pas ´el´ement de l’autre. Or, un tel objet ne peut pas exister puisque les
ensembles sont vides. 
1.7.En vertu de 1.6, il n’existe qu’un seul ensemble qui n’a aucun ´el´ement. On l’appelle
l’ensemble vide et on le d´esigne par le symbole ∅. Autrement dit, ∅est l’unique
ensemble qui satisfait ∀x(x /∈∅).
Remarque. “{}” n’est pas une bonne notation pour l’ensemble vide—´evitez de
l’employer.
Rappelons que, ´etant donn´e un objet a, on peut former le singleton {a}.
1.8. Lemme. Si aet bsont des objets tels que {a}={b}, alors a=b.
D´emonstration. Puisque a∈ {a}, et puisque {a}et {b}on les mˆemes ´el´ements, il
s’ensuit que a∈ {b}. Puisque a∈ {b}et puisque le seul ´el´ement de {b}est b, on
conclut que a=b.
1.9.Puisqu’on a l’objet ∅, on peut former le singleton {∅}. Notez bien que ∅6={∅},
puisque {∅}n’est pas vide (on a ∅∈ {∅}).
Puisqu’on a l’objet {∅}, on peut former le singleton {{∅}}. Montrons que
{∅} 6={{∅}}.
Par contradiction : Supposons que {∅}={{∅}}. Alors le Lemme 1.8 implique que
∅={∅}, qui est faux.
1.10.Si Eest un ensemble qui poss`ede un nombre fini d’´el´ements, on dit que Eest un
ensemble fini. Si Eest un ensemble fini qui poss`ede exactement n´el´ements, on ´ecrit
|E|=net on dit que la cardinalit´e de Eest ´egale `a n.
Par exemple, si A=x∈R|x2= 9 alors |A|= 2 (car A={−3,3}poss`ede deux
´el´ements).
Si Eposs`ede un nombre infini d’´el´ements, on dit que Eest un ensemble infini. Par
exemple, N,Z,Q,Rsont des ensembles infinis.
2. Les sous-ensembles d’un ensemble
2.1. D´efinition. Soient Aet Bdes ensembles. Si la condition
chaque ´el´ement de Aest ´el´ement de B
est satisfaite, alors on dit que Aest un sous-ensemble de B, et on ´ecrit A⊆B.

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Par exemple, les affirmations suivantes sont vraies :
{2,3,4}⊆{1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5,6}⊇{2,3,4},{2,3,4}⊆{2,3,4},
et on a aussi {2,3,4} 6⊆ {3,4}.
Remarque. Les expressions suivantes sont des synonymes : Aest un sous-ensemble
de B,Aest une partie de B,Aest inclus dans B.
2.2. Exercice. Montrez que, quel que soit l’ensemble A, on a ∅⊆Aet A⊆A.
2.3. Notation. ´ Etant donn´e un ensemble Equelconque, on d´efinit
℘E=A|A⊆E.
On dit que ℘Eest l’ensemble des sous-ensembles de E, ou encore l’ensemble des parties
de E. Notez que l’usage des parenth`eses est facultatif : on peut ´ecrire ℘(E) ou ℘E,
au choix.
2.4. Exemple. Soit E={1,2}, alors Ea quatre sous-ensembles :
∅,{1},{2},{1,2}
donc ℘E=∅,{1},{2},{1,2}. Notez que l’ensemble ℘Ea exactement quatre
´el´ements : ∅∈℘E,{1} ∈ ℘E,{2} ∈ ℘E,{1,2} ∈ ℘E.
2.5. Exercice. Si Ean´el´ements, alors ℘Ea 2n´el´ements. (Ceci est valable quel que
soit n∈N.)
2.6. Exemple. ∅a un seul sous-ensemble (c’est ∅), donc ℘∅={∅}.
{∅}a deux sous-ensembles : ∅et {∅}. Donc ℘{∅}=∅,{∅}.
Prenez note de la d´efinition formelle de l’inclusion (ou de sous-ensemble):
2.7.´ Etant donn´es des ensembles A, B,ona:
(a) A⊆B⇔ ∀xx∈A⇒x∈B⇔ ∀x∈Ax∈B
(b) A*B⇔ ∃xx∈A∧x /∈B⇔ ∃x∈Ax /∈B
Pour prouver que A⊆B, on doit prouver l’affirmation ∀x∈A(x∈B). La technique
pour d´emontrer une affirmation du type “ ∀x∈A(xsatisfait la condition P) ” a ´et´e vue
dans le chapitre sur la logique avec quantificateurs. Voici un exemple.
2.8. Exemple. Soit A=n2|n∈N={0,1,4,9,16,25, . . . }
et soit B=x∈[0,∞)|√x, √x+ 1 ∩Z6=∅.
Voici une preuve que A⊆B:
Soit x∈A.
Alors il existe n∈Ntel que x=n2. On a donc x∈[0,∞) et
√x, √x+ 1 ∩Z=√n2,√n2+ 1 ∩Z=n, √n2+ 1 ∩Z3n.
On a montr´e que x∈[0,∞) et √x, √x+ 1 ∩Z6=∅.
Donc x∈B.