Les ensembles
D. Daigle
1. Notions de base
La notation x∈Asignifie que xest un ´el´ement de l’ensemble A(elle se lit “xest
´el´ement de A”ou encore “xappartient `a A”). Remarquez que le symbole d’appartenance
∈est diff´erent de la lettre grecque ε. La th´eorie des ensembles commence par la
d´efinition de l’´egalit´e des ensembles :
Deux ensembles sont ´egaux si et seulement si ils ont les mˆemes ´el´ements.
Ceci signifie que :
•si deux ensembles ont les mˆemes ´el´ements, alors ces ensembles sont ´egaux
•si deux ensembles sont ´egaux, alors ils ont les mˆemes ´el´ements (forc´ement,
puisqu’il s’agit en fait du mˆeme ensemble).
1.1. Exemple. Supposons que Aet Bsont des ensembles satisfaisant :
•2∈A, 3 ∈A, 4 ∈A, et 2,3,4 sont les seuls ´el´ements de A
•2∈B, 3 ∈B, 4 ∈B, et 2,3,4 sont les seuls ´el´ements de B.
Alors la d´efinition d’´egalit´e implique que A=B. Donc il ne peut pas exister plusieurs
ensembles diff´erents dont les ´el´ements seraient 2,3,4 et rien d’autre.
1.2.Supposons que a1, a2, . . . , ansont des objets quelconques (un objet peut ˆetre un
nombre, un ensemble, une fonction, une matrice, etc, donc n’importe quel objet math´e-
matique). La d´efinition d’´egalit´e implique qu’il ne peut pas exister plusieurs ensembles
diff´erents dont les ´el´ements seraient a1, a2, . . . , an. Le symbole {a1, a2, . . . , an}d´esigne
l’unique ensemble dont les ´el´ements sont a1, a2, . . . , an.
Par exemple si on ´ecrit A={3,41}alors 3 ∈A, 41 ∈Aet An’a pas d’autres
´el´ements que 3 et 41.
Prenez note du cas “n= 1” de la notation 1.2 : si aest un objet quelconque, alors
{a}d´esigne l’ensemble dont l’unique ´el´ement est a. Un ensemble qui a exactement 1
´el´ement est appel´e un singleton. Par exemple, on a l’ensemble {5}. Remarquons que
l’ensemble {5}et le nombre 5 sont deux objets diff´erents : 5 6={5}.
Observons que la d´efinition d’´egalit´e implique que {2,3,4}={4,2,3}={2,3,2,4},
puisque ces ensembles ont les mˆemes ´el´ements.
Il est possible qu’un ensemble soit un ´el´ement d’un autre ensemble. Par exemple,
on a les deux ensembles A={2,3}et B={3,4,5,6}. Puisqu’on a les objets Aet
B, on peut ensuite former l’ensemble C={A, B}={{2,3},{3,4,5,6}}. On a alors :
{2,3} ∈ {{2,3},{3,4,5,6}}.
1.3. Exercice. Soient A={2,3}et B={A}. Alors Aa combien d’´el´ements, et Ba
combien d’´el´ements ? Aest-il ´egal `a B?
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