Chapitre 2 - Trigonométrie

Cours de Mathématiques – Classe de Première STI2D - Chapitre 2 - Trigonométrie
Chapitre 2 - Trigonométrie
A) Rappels et compléments
1) Le cercle trigonométrique
a) Définitions
cercle trigonométrique
 !
"#plan orienté!
"angles orientés!
$% l’angle orienté de deux vecteurs
⃗u
et
⃗v
, noté
(⃗u; ⃗v)
&
'()#(
#*+)!
"#
̂
UOV
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Remarque :
̂
UOV =−
̂
VOU
(⃗ u,-⃗ v)=−(⃗ v,-⃗ u)
!
./
̂α=
̂
IOM .
Remarque :%)
)/0
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b) Radians, degrés et grades
"!
1#23#43#55673!
1#)#
)/!
$#5589#9#9:8!
#;#'
Angle droit = 90° = π/2 rd
Angle plat = 180° = π rd
Tour complet = 360° = 2π rd
<3;)673;3)89!
Remarque :
(=(
(33>23;>9:8!
c) Radian et longueur d’un arc de cercle
?@AB#!
"#)BxA!
Exemples :
".#76C4D!".E%8F!
G63/#H
/6333D'
 GEH
8 1 H
6 @ H
2) Propriétés du cercle trigonométrique
a) Passage des degrés aux radians ou vice-versa
?'
d=r×180
π
r=d×π
180
Exemples :
.'
73; E63; 83;
69:F 9:8 E89:6
b) Sinus et cosinus dans le cercle trigonométrique
BB /(>B!
$%BB/>B!
@ )!1
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@ # /
(
̂
AOM )= OC
OM =OC
/>!
$%$ # /
(
̂
AOM )= OD
OM =OD
/>!
b) Sinus et cosinus et Pythagore
I<I/'IJKI/J>/J!
/>L/J>I>BI/>M>B!B'
(sin(α))² +(cos(α))² = 1' !
3) Cercle trigonométrique et droite des réels
N
)#
̂
IOM
L/ 
(O3P(P!
$# Q55!
RS!
T%)
//L  !
/#
/!
$()/((
)/'
sin(x) = y’ et cos(x) = x’
4) Arcs et angles
"8989AA>!
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sin²(α) +cos²( α) = 1

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"#
̂
I/
)#
̂
I/
)
 '
Longueur de l’arc
̂
I/
= Mesure de
̂
I/
en radians
Remarque : ceci ne fonctionne que sur le cercle de rayon 1 et en exprimant les angles en radians !
5) Points correspondant au même angle
")8989
%3!  
/L'
E@#=#89%!
EN)
89!
E1(3)89E9)9=)89>
!
B) Fonctions sinus et cosinus d’un réel
1) Lignes trigonométriques
#)
!
ℝ
((!
tan (x)= sin(x)
cos(x)
cot(x)= cos (x)
sin(x)
!
@!
Dans ces fonctions, l'angle x est toujours exprimé en radians!
2) Mesure principale d’un angle
 389E99!
<#)mesure principale
#% dans
l’intervalle ]-π ; π]!
<&'
•?(989!
•?()E9=89!
 !
Exemples :
.'
69:F E869:7 8C9:6
E689:8 FC9:7 86UF9:F
ECU U2F 6F8
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4) Propriétés des sinus et des cosinus
a) Limites des sinus et cosinus
Pour toute valeur de x, on a :
Pour toute valeur de x, on a :
b) Pythagore et les sinus et cosinus
Pour toute valeur de x, on a :
c) Parité
La fonction sinus est impaire, càd pour tout x,
La fonction cosinus est paire, càd pour tout x,
d) Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de périodes 2π, ce qui signifie que :
Pour toute valeur de x, on a
Pour toute valeur de x, on a
d) Symétries dans le cercle et angles associés (voir figures à la fin)
Par symétrie dans le cercle trigonométrique, on peut facilement voir que :
cos( π – x)=−cos(x)
et
sin( π – x)=sin(x)
cos( π –+x)=−cos(x)
et
sin( π +x)=−sin(x)
cos(
π
2– x)=sin(x)
et
sin(
π
2– x)=cos(x)
cos(
π
2+x)=−sin(x)
et
sin(
π
2+x)=cos(x)
e) Valeurs remarquables
x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
cos(x) 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 -1
sin(x) 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1 0
Démonstrations :
<π/4'<
<π/3π/6 '
<0,π/2π '!
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-1 ≤ sin(x) ≤ 1
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
sin²(x) + cos²(x) = 1
sin(-x) = - sin(x)
cos(-x) = cos(x)
sin(x + 2π) = sin(x)
cos(x + 2π) = cos(x)