ARITHMETIQUE

Préparation brevet
ARITHMETIQUE Fiche n° 3
Préparation au brevet – A faire et savoir refaire – Pascal DORR Collège de Terre-Sainte
QUELQUES RAPPELS ET CONSEILS
Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Pour calculer un PGCD on utilise souvent l’algorithme d’Euclide.
Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Pour rendre irréductible une fraction
a
b
en une seule simplification, on calcule le PGCD (a ; b)
puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD
Exercice 1 :
1. Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.
2. Ecrire la fraction
675
375
sous forme irréductible.
675
375
=75 9
75 5
=9
5
Exercice 2 :
1. Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
682 et 352 sont pairs, donc divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
2. Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.
3. Rendre irréductible la fraction
682
352
en indiquant clairement la méthode utilisée.
682
352
=22 31
22 16
=31
16
a b reste a = b x q + r
675 375 300 675 = 375 x 1 + 300
375 300 75 375 = 300 x 1 +75
300 75 0 300 = 75 x 4 + 0
a b reste
682 352 330
352 330 22
330 22 0
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (675 ; 375) = 75
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (682 ; 352) = 22

Préparation brevet
ARITHMETIQUE Fiche n° 3
Préparation au brevet – A faire et savoir refaire – Pascal DORR Collège de Terre-Sainte
Exercice 3 :
1. Trouver le PGDC de 6 209 et 4 435 en détaillant la méthode.
2. En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction
4435
6209
n'est pas irréductible.
Les nombres 4435 et 60209 sont divisbles par 887, donc elle n’est pas irréductible.
3. Donner la fraction irréductible égale à
4435
6209
4435
6209
=887 5
887 7
=5
7
Exercice 4 :
Un pâtissier dispose de 411 framboises et 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces
fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.
1. Calculer le nombre de tartelettes.
Ce nombre doit être un diviseur commun des 411 framboises et des 685 fraises. Pour obtenir le maximum de
tartelettes, il faut donc calculer le PGCD de ces deux nombres.
On utilise l’algorithme d’Euclide :
2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.
411
137
=3
685
137
=5
Donc chaque tartelette comportera 3 framboises et 5 fraises.
a b reste
6209 4435 1774
4435 1774 887
1774 887 0
a b reste
685 411 274
411 274 137
274 137 0
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (685 ; 411) = 137
Ce patissier va donc obtenir 137 tartelettes.
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (6209 ; 4435) = 887

Préparation brevet
ARITHMETIQUE Fiche n° 3
Préparation au brevet – A faire et savoir refaire – Pascal DORR Collège de Terre-Sainte
Exercice 5 :
1. Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier
de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand
possible.
a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et
135 cm de largeur.
Cette longueur doit être un nombre entier, le plus grand possible, qui divise la hauteur et la largeur du mur,
c’est donc le PGCD (135 ; 210) qui vaut 15
b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
135
15
=9
210
15
=14
Exercice 6 :
1. Les nombres 682 et 496 sont–ils premiers entre eux ? Justifier.
682 et 496 sont pairs, donc divisibles par 2, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
2. Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 682 et 496.
3. Simplifier la fraction
682
496
pour la rendre irréductible, en indiquant la méthode.
682
496
=62 11
62 8
=11
8
a b reste
210 135 75
135 75 60
75 60 15
60 15 0
a b reste
682 496 186
496 186 124
186 124 62
124 62 0
Sur la largeur, on placera 9 carreaux et sur la hauteur 14 carreaux ; donc pour carreler le
mur il faudra 9 x 14 = 126 carreaux
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (135 ; 210) = 15
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé,
donc PGCD (682 ; 496) = 62