ELEMENTS D`ALGEBRE LINEAIRE, FASCICULE D`EXERCICES

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M1PY3W01 EXERCICES page 1
ELEMENTS D'ALGEBRE LINEAIRE,
A L'USAGE DES ETUDIANTS DE L'U.E. M1PY3W01
FASCICULE D'EXERCICES
A partir de Septembre 2014, le programme de cette U.E. devient le programme d'Algèbre et application
à la résolution de systèmes différentiels linéaires, tel qu'enseigné jusque là , en semestre 4.
Jean-Louis Artigue , le 3 Septembre 2014

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M1PY3W01 EXERCICES page 2
Table des matières
Page
- LES BASES DE L'ALGEBRE LINEAIRE -
-I- ESPACES VECTORIELS -
......
3
- II - APPLICATONS LINEAIRES - ......
4
- III - MATRICES - ......
5
- IV - DETERMINANTS - ......
6
- V – LA DIAGONALISATION D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE -
-1) Pratique de la diagonalisation -
......
7
-2) Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires -
......
8
- ANNALES -
......
9
DS 2011 10
Session 1 2011 11
Session 2 2011 12
DS 2012 12
Session 1 2012 14
Session 2 2012 15
DS 2013 16
Session 1 2013 17
DS 2014 16
Session 1 2014 17
18
19
Session 2 2014 21

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M1PY3W01 EXERCICES page 3
- LES BASES DE L'ALGEBRE LINEAIRE -
- I - ESPACES VECTORIELS -
- Exercice 1 - Calculs élémentaires
-1) Dans RI
2
, calculer 2.(1 ,−3) − 5.(2 ,−1) .
-2) Dans IR [X] , calculer −3.P(X) + 2.Q(X) pour P(X) = X−1 et Q(X) = X
2
+ X + 1 .
-3) Dans F(IR ) , calculer −5.f + 7.g pour f = [x→ x
2
− 1] et g = [x→ 2x
2
− 3] .
- Exercice 2 - Pour chacun des ensembles F suivants , donner un espace vectoriel (E ,
+
, .) tel que F ⊂ E .
(F ,
+
, .) est-il sous-espace vectoriel de (E ,
+
, .) ?
Si oui , donner une forme générale de ses éléments et une famille génératrice de F s'il en existe.
-1) F
=
{(x , y , z) ∈ RI
3
/ y
=
1 } .
-2) F
=
{(x , y , z) ∈ RI
3
/ x
+
y – z
=
0 } .
-3) F
=
{(α+β , α-β , α) / (α , β) ∈ RI
2
} .
-4) F
=
{(z
1
, z
2
) ∈ CI
2
/ z
2
=
z
1
−
} .
- Exercice 3 - On considère les sous-espaces vectoriels (F ,
+
, .) et (G ,
+
, .) de ( RI
3
,
+
, .) définis par :
F
=
Vect ( { (1 , 1 , 0) , (0 , 1 , 1) } ) et G
=
{(x , y , z) ∈ RI
3
/ x
+
y
+
z
=
0 }
-1) Donner la forme générale des vecteurs de F et des vecteurs de G .
-2) Donner une propriété caractéristique des vecteurs de F et une qui caractérise les vecteurs de G .
-3) Déterminer les éléments de F ∩ G . Que dire de (F ∩ G ,
+
, .) ?
- Exercice 4 - On considère les sous-espaces vectoriels (F ,
+
, .) et (G ,
+
, .) de ( RI
3
,
+
, .) définis par :
F
=
{(x , y , z) ∈ RI
3
/ y
=
z
=
0 } et G
=
{(x , y , z) ∈ RI
3
/ x
+
y
=
0 }
Démontrer qu'ils sont supplémentaires .
- Exercice 5 - Dans chacun des cas suivants examiner si la famille constituée dans l'ordre des vecteurs de E
proposés est libre ou génératrice de E . Est-elle une base de (E ,
+
, .) ?
-1) (1 , 1 , 0) et (0 , 1 , 1) pour E
=
RI
3
.
-2) (1 , 1 , 0) , (1 , 0 , 1) et (0 , 1 , 1) pour E
=
RI
3
.
-3) (-6 , 2) et (9 , -3) pour E
=
RI
2
.
-4) (-1 , 1 , 0) , (0 , -2 , 2) et (a , b , c) pour E
=
RI
3
.
On répondra par une discussion suivant les valeurs des paramètres réels a , b et c.
- Exercice 6 - On considère l'espace vectoriel (IR
2
[X] ,
+
, .) des polynômes de degré ≤ 2 à coefficients réels.
-1) Donner sa base canonique et sa dimension .
-2) F = {P∈IR
2
[X] / X.P' = P} (P' est le polynôme dérivé de P pour la dérivation classique).
-a- Montrer que (F,
+
, .) est un sous-espace vectoriel de (IR
2
[X] ,
+
, .) .
-b- F est-il égal à IR
2
[X] ? (justifier)
-c- Quelle est la forme générale des éléments de F ?
-d- Donner une base et la dimension de (F,
+
, .) .

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M1PY3W01 EXERCICES page 4
- Exercice 7 -
-1) Montrer que les trois applications u = [x→ 1] , v = [x→ sin(4x)] et w = [x→ cos(4x)]
constituent une famille libre dans F(IR ) .
-2) Montrer que les applications f = [x→ sin
2
(2x)] et g = [x→ sin(2x).cos(2x)]
sont éléments de Vect ( {u , v , w} ) .
- II - APPLICATONS LINEAIRES -
- Exercice 1 - Pour chacune des applications proposées , est-elle ou non linéaire ? Justifier la réponse .
-1) f : RI
2
→ RI
3
(x , y) →(2x , 0 , x - y) .
-2) f : CI
2
→ CI
2
( z , u ) →( u
−
, z
−
)
(On distinguera les deux cas des structures de RI -e.v. et de CI -e.v.) .
- Exercice 2 - Pour chacune des applications linéaires suivantes , déterminer son noyau et son image .
-1) f : RI
3
→ RI
2
(x , y , z) →(x − y , y − z) .. -2) f : RI
2
[X] → RI
2
[X]
P→ P' − P .
- Exercice 3 - B
=
( e
i
)
i = 1 , 2 , 3
étant la base canonique de RI
3
, on considère l'endomorphisme f de RI
3
,
défini par f (e
1
)
=
13 e
1
+ 12 e
2
+ 6 e
3
, f (e
2
)
=
−8 e
1
−7 e
2
−4 e
3
et f (e
3
)
=
−12 e
1
−12 e
2
−5 e
3
.
Démontrer que F
=
{u∈ RI
3
/ f (u)
=
u } et G
=
{u∈ RI
3
/ f (u)
=
−u } sont deux sous-espaces
vectoriels de ( RI
3
,
+
, .) en considérant deux applications linéaires .
Déterminer les dimensions de F et de G.
- Exercice 4 - B
=
( e
i
)
i = 1 , 2 , 3 , 4
étant la base canonique de RI
4
, on considère l'endomorphisme f de RI
4
,
défini par f (e
1
)
=
−e
2
+ e
3
− e
4
, f (e
2
)
=
e
1
− e
2
+ e
3
et f (e
3
)
=
e
1
+ e
4
et f (e
4
)
=
e
2
− e
3
+ e
4
.
-1) Déterminer f
2
. Qu'en déduire concernant la position relative de Im (f) et Ker (f) ?
-2) Déterminer Ker (f) . En déduire Im (f) .
- Exercice 5 - (E ,
+
, .) est un KI -e.v. , f un endomorphisme de E tel que f
2
=
f .
-1) Démontrer que g
=
Id
E
− f vérifie g
2
=
g .
-2) Démontrer que Ker (g)
=
Im (f)
=
{u∈ E / f (u)
=
u } .
-3) Démontrer que E
=
Im (f)
+O
Ker (f) et retrouver ainsi le fait que f est un projecteur de E .

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M1PY3W01 EXERCICES page 5
- III - MATRICES -
- Exercice 1 - On considère la matrice A
=
2 0 1
0 2 -1
1 -1 1 et on définit B
=
A
2
− 5 A + 6 I
3
.
-1) Calculer B puis AB .
-2) En déduire que A n'est pas inversible .
-3) Pour n
=
3 , 4 , 5 , 6 exprimer A
n
en fonction de I
3
, A et A
2
.
- Exercice 2 - A
=
1 a b
0 2 1
0 0 2 et D
=
1 0 0
0 2 0
0 0 2 .
-1) Calculer les réels a et b de sorte que A×D
=
D×A .
( a et b conservent ces valeurs dans la suite de l'exercice) .
-2) On pose N
=
A−D . Calculer N
2
.
-3) Calculer A
n
pour tout entier n de NI .
-4) (v
n
)
n∈ NI
et (w
n
)
n∈ NI
sont deux suites réelles telles que v
o
=
1
=
w
o
et ∀n∈NI , v
n+1
=
2 v
n
+ w
n
et w
n+1
=
2 w
n
.
En s'aidant d'une suite constante (u
n
)
n∈ NI
, exprimer v
n
et w
n
en fonction de n .
- Exercice 3 - B est la base canonique de RI
3
, ϕ est l'endomorphisme de RI
3
,de matrice M
B
(ϕ)
=
1 1 1
111
1 1 1 .
-1) Déterminer Ker (ϕ) . En donner base et dimension .
-2) Déterminer Im (ϕ) . En donner base et dimension .
-3) ∀n∈NI , déterminer la matrice M
B
(ϕ
n
) .
- Exercice 4 - On considère dans le RI -espace vectoriel (RI
3
, + , . ) , la base canonique B
=
(e
i
)
i=1 , 2 , 3
et la base B '
=
(ε
i
)
i=1 , 2 , 3
où ε
1
=
(1 , 1 , 0) , ε
2
=
(1 , 0 , 1) , ε
3
=
(0 , 1 , 1) .
ϕ est l'endomorphisme de RI
3
défini par ϕ ((x , y , z)) = (x – 3y + 3z , 2x – 4y − 2z , 5x – 5y – z)
-1) Construire les matrices de ϕ relativement à la base B puis relativement à B ' .
-2) Quelles sont les coordonnées d'un vecteur quelconque (x , y , z) de RI
3
par rapport à B ' ?
En utilisant M
B '
(ϕ) en déduire les coordonnées de ϕ ((x , y , z)) par rapport à B ' .
Retrouver à partir de ces coordonnées l'expression de ϕ ((x , y , z)) dans RI
3
.
- Exercice 5- Dans F(IR ) , on note u
1
= [x→ e
x
] , u
2
= [x→ e
− x
] et E = Vect ( {u
1
, u
2
} ) .
-1) Montrer que B
=
(u
i
)
i=1 , 2
est une base de E.
-2) On note v
1
= ch et v
2
= sh . Montrer que B'
=
(v
i
)
i=1 , 2
est également une base de E.
-3) Ecrire la matrice P de passage de B à B' et calculer la matrice de passage de B' à B .
-4) Calculer les coordonnées de f = [x→ 3.e
x
− 5.e
− x
] par rapport à B .