Etude de fonction 1 Étude d`une fonction trigonométrique

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1 Étude d’une fonction trigonométrique
1. Domaine de définition
f(x)=sin(2x)+sin(3x).
Le domaine de définition de fest Df=R
2. Parité et périodicité
f(−x)=sin(−2x)+sin(−3x)= − sin(2x)−sin(3x)= − f(x) : la fonction est impaire.
En ce qui concerne la périodicité, un petit rappel peut être utile :
(a) Cas d’une fonction sinusoïdale isolée, par exemple f(x)=sin(x/3) =sin(1
3·x).
On cherche le plus petit ptel que f(x+p)=sin((x+p)/3) =sin(x/3+2π), car la période du sinus est de
2π. Par comparaison, on a x+p
3=x 3+2π⇔1 3p=2π⇔p=2π
1
3
=6π.
Plus généralement, la période de sin(ax) est de 2π
a.
(b) Cas d’une somme : f(x)=sin(x/3) +sin(x/5).
Chacun des termes est périodique, le premier de période 2π
1/3 =6πet le second, de période 2π 1/5 =10π. L’un
et l’autre terme retrouvent ensemble les mêmes valeurs après une période égale au plus petit multiple
commun des deux périodes : dans notre cas, c’est 30π.
(c) Cas d’un produit : f(x)=si n(x/3) ·sin(x/5).On transforme le produit en somme à l’aide d’une identité
trigonométrique
sin(α)·sin(β)=1
2(cos(α−β)−cos(α+β))
ce qui dans notre exemple donne :
f(x)=1
2(cos(x/3 −x/5)−cos(x/3+x/5))1 2(cos(2x/15)−cos(8x/15))
Les périodes respectives des deux cosinus sont 2π
2/15 =15πet 2π 8/15 =15/4π; le ppcm vaut, quant à lui, 15π,
ce qui est du même coup la période.
(d) Cas d’une puissance : on linéarise l’expression. Par exemple,
f(x)=sin2(x)=1
2(1−cos(2x))
et la période est de 2π
2=π.
Notre fonction tombe dans le 2ecas. Sa période est donc le ppcm de 2π
2et 2π 3. On parcourt les multiples de ces
périodes :
2π
2=π→4π 2=2π→...
2π
3→4π 3→6π 3=2π→...
La période est ainsi de 2π. De ce fait, on se contente d’étudier la fonction sur l’intervalle [0,2π]. On n’oubliera
pas que la fonction est impaire et qu’en conséquence la courbe représentative de fprésente une symétrie
centrale de centre (0,0).
3. Zéros de la fonction et tableau de signes
Pour trouver les zéros de la fonction, il faut résoudre une équation trigonométrique sin(2x)+sin(3x)=0.
Cette équation est équivalente à : sin(3x)= − sin(2x)⇔sin(3x)=sin(−2x). On en tire que
3x= −2x+2kπou 3x=π−(−2x)+2kπavec k∈Z
5x=2kπou x=(2k+1)πavec k∈Z
x=2k
5πou x=(2k+1)πavec k∈Z
Année 2010/2011

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Ce qui donne les valeurs principales : n0; 2
5π;4 5π;π,;6 5π;8 5π;2πo
L’équation f(x)=0 admet les solutions arrondis :
S={0.0;1.257;2.513;3.142;3.77;5.027;6.283}.
x02
5π4 5ππ6 5π8 5π2π
Signe de
sin(2x)+sin(3x)0+0−0+0−0+0−0
4. Aucune asymptote verticale (le domaine est R).
5. Aucune asymptote affine, car la fonction périodique.
6. Points critiques et tableau de variations
f′(x)=2cos(2x)+3cos(3x).
L’équation f′(x)=0 admet 6 solution(s) : S={0.603;1.787;2.799;3.484;4.496;5.68}.
x00.603452 1.787416 2.798698 3.484488 4.495769 5.679733 2π
Signe de
f′(x)+0−0+0−0+0−0+
Variations de
f
0
1.905961
−1.215982
0.223337
−0.223337
1.215982
−1.905961
0
Minima et maxima alternes. Attention, 0 n’est pas un extremum !
Les valeurs de ces extrema sont approximatives. L’équation à résoudre pour les trouver est 2cos(2x)+3cos(3x)=
0. On ne peut la résoudre que numériquement avec la calculatrice.
7. Éventuels points d’inflexion et tableau de courbure
f′′ (x)= −4sin(2x)−9sin(3x).
x01,16 2,24 π4, 04 5.12 2π
Signe de
f′′ (x)0−0+0−0+0−0+0
− ⇒ la courbe est concave, et, + ⇒ la courbe est convexe.
L’équation f′′(x)=0 admet dans l’intervalle [0,2π] les solutions approximatives :
S={0.0;1.158;2.244;3.142;4.039;5.125;6.283}.
Ce sont tous des points d’inflexion.
8. Graphe de la fonction
Sur le graphique, les points Zcorrespondent aux zéros de la fonction, les Eaux extrema et les Iaux points
d’inflexion. Le graphique présente bien une symétrie centrale par rapport à l’origine. Deux périodes entières
sont présentées.
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O
ZZZZZZZ
E
E
E
E
E
E
I
I
I
I
I
I
I
−6−4−2 0 2 4 6
0