Etude de fonction 1 Étude d`une fonction trigonométrique

Etude de fonction
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Étude d’une fonction trigonométrique
1. Domaine de définition
f (x ) = sin (2x ) + sin (3x ).
Le domaine de définition de f est D f = R
2. Parité et périodicité
f (−x ) = sin(−2x ) + sin(−3x ) = − sin(2x ) − sin(3x ) = − f (x ) : la fonction est impaire.
En ce qui concerne la périodicité, un petit rappel peut être utile :
(a) Cas d’une fonction sinusoïdale isolée, par exemple f (x ) = sin(x /3) = sin( 13 · x ).
On cherche le plus petit p tel que f (x + p ) = sin((x + p )/3) = sin(x /3 + 2π), car la période du sinus est de
x+p
2π. Par comparaison, on a 3 = x3 + 2π ⇔ 13 p = 2π ⇔ p = 21π = 6π.
3
Plus généralement, la période de sin(ax ) est de
2π
a
.
(b) Cas d’une somme : f (x ) = sin(x /3) + sin(x /5).
2π
2π
Chacun des termes est périodique, le premier de période 1/3
= 6π et le second, de période 1/5
= 10π. L’un
et l’autre terme retrouvent ensemble les mêmes valeurs après une période égale au plus petit multiple
commun des deux périodes : dans notre cas, c’est 30π.
(c) Cas d’un produit : f (x ) = si n (x /3) · sin(x /5).On transforme le produit en somme à l’aide d’une identité
trigonométrique
1
sin(α) · sin(β) = (cos(α − β) − cos(α + β))
2
ce qui dans notre exemple donne :
f (x ) =
1
1
(cos(x /3 − x /5) − cos(x /3 + x /5)) (cos(2x /15) − cos(8x /15))
2
2
Les périodes respectives des deux cosinus sont
ce qui est du même coup la période.
2π
2/15
2π
= 15π et 8/15
= 15/4π ; le ppcm vaut, quant à lui, 15π,
(d) Cas d’une puissance : on linéarise l’expression. Par exemple,
f (x ) = sin2 (x ) =
1
(1 − cos(2x ))
2
et la période est de
2π
2
= π.
Notre fonction tombe dans le 2ecas. Sa période est donc le ppcm de 22π et 23π . On parcourt les multiples de ces
périodes :
2π
4π
2 = π → 2 = 2π → . . .
2π
4π
6π
3 → 3 → 3 = 2π → . . .
La période est ainsi de 2π. De ce fait, on se contente d’étudier la fonction sur l’intervalle [0, 2π]. On n’oubliera
pas que la fonction est impaire et qu’en conséquence la courbe représentative de f présente une symétrie
centrale de centre (0, 0).
3. Zéros de la fonction et tableau de signes
Pour trouver les zéros de la fonction, il faut résoudre une équation trigonométrique sin(2x ) + sin(3x ) = 0.
Cette équation est équivalente à : sin(3x ) = − sin(2x ) ⇔ sin(3x ) = sin(−2x ). On en tire que
3x = −2x + 2kπ
ou
3x = π − (−2x ) + 2kπ
5x = 2kπ
2k
x=
π
5
ou
x = (2k + 1)π
avec k ∈ Z
ou
x = (2k + 1)π
avec k ∈ Z
Année 2010/2011
avec k ∈ Z
Etude de fonction
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n
Ce qui donne les valeurs principales : 0; 25 π; 45 π; π, ; 65 π; 85 π; 2π
o
L’équation f (x ) = 0 admet les solutions arrondis :
S = {0.0; 1.257; 2.513; 3.142; 3.77; 5.027; 6.283} .
x
0
Signe de
sin (2x) + sin (3x)
0
2
5π
+
0
4
5π
+
0
−
6
5π
π
0
−
8
5π
+
0
2π
0
0
−
4. Aucune asymptote verticale (le domaine est R).
5. Aucune asymptote affine, car la fonction périodique.
6. Points critiques et tableau de variations
f ′ (x ) = 2cos (2x ) + 3cos (3x ).
L’équation f ′ (x ) = 0 admet 6 solution(s) : S = {0.603; 1.787; 2.799; 3.484; 4.496; 5.68} .
x
0.603452
0
Signe de
f ′ (x)
+
0
1.787416
+
0
−
2.798698
0
1.905961
Variations de
f
3.484488
4.495769
+
0
−
0.223337
0
5.679733
0
2π
+
0
−
1.215982
−1.215982
0
−0.223337
−1.905961
Minima et maxima alternes. Attention, 0 n’est pas un extremum !
Les valeurs de ces extrema sont approximatives. L’équation à résoudre pour les trouver est 2cos(2x )+3cos(3x ) =
0. On ne peut la résoudre que numériquement avec la calculatrice.
7. Éventuels points d’inflexion et tableau de courbure
f ′′ (x ) = −4sin(2x ) − 9sin (3x ).
x
0
Signe de
f ′′ (x)
0
1, 16
−
0
2, 24
+
0
4, 04
π
−
0
+
0
5.12
−
0
2π
+
0
− ⇒ la courbe est concave, et, + ⇒ la courbe est convexe.
L’équation f ′′ (x ) = 0 admet dans l’intervalle [0, 2π] les solutions approximatives :
S = {0.0; 1.158; 2.244; 3.142; 4.039; 5.125; 6.283} .
Ce sont tous des points d’inflexion.
8. Graphe de la fonction
Sur le graphique, les points Z correspondent aux zéros de la fonction, les E aux extrema et les I aux points
d’inflexion. Le graphique présente bien une symétrie centrale par rapport à l’origine. Deux périodes entières
sont présentées.
Année 2010/2011
E
E
I
I
E
Z
I
O
0
Z
Z
Z
I
Z
Z
Z
E
I
I
E
E
−6
−4
−2
0
2
4
6
I