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Analyse
Jacques Douchet
Presses polytechniques et universitaires romandes
Recueil d’exercices
et aide-mémoire vol. 2

L’auteur et l’éditeur remercient l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage.
DANS LA MÊME COLLECTION
Analyse
Receuil d’exercices et aide-mémoire vol. 1
Jacques Douchet
Calcul différentiel et intégral
Jacques Douchet et Bruno Zwahlen
1 Fonctions réelles d’une variable réelle
2 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles
3 Fonctions réelles d’une variable réelle – Exercices résolus
4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles – Exercices résolus
Introduction à l’analyse numérique
Jacques Rappaz et Marco Picasso
Algèbre linéaire
Aide-mémoire, exercices et applications
Robert C. Dalang et Amel Chaabouni
Analyse avancée pour ingénieurs
Bernard Dacorogna, Chiara Tanteri
Initiation aux probabilités
Sheldon M. Ross
Cours d’Analyse
Srishti D. Chatterji
1 Analyse vectorielle
2 Analyse complexe
3 Equations différentielles
DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR»
Introduction à la statistique
Stephan Morgenthaler
Aide-mémoire d’analyse
Heinrich Matzinger
Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation
scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux
de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d’autres
universités et écolesd’ingénieurs francophones.
Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier aux
Presses polytechniques et universitaires romandes,
EPFL – Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail à [email protected],
par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0)21 693 40 27.
www.ppur.org
Première édition
ISBN 2-88074-570-5
© 2004, Presses polytechniques et universitaires romandes,
CH – 1015 Lausanne
Imprimé en Italie
Tous droits réservés.
Reproduction, même partielle, sous quelque forme
ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l’accord écrit de l’éditeur.

Introduction
Ce recueil de 462 exercices est destin´e en premier lieu aux ´etudiants du
premier cycle universitaire qui suivent pour la premi`ere fois un cours d’ana-
lyse (calcul diff´erentiel et int´egral) concernant les fonctions r´eelles de plusieurs
variables r´eelles. Il s’adresse aussi `a tous ceux qui s’int´eressent ou veulent ap-
profondir l’un ou l’autre des sujets trait´es.
Le contenu de ce livre correspond au cours d’analyse que l’auteur enseigne,
depuis plusieurs ann´ees, aux ´etudiants du deuxi`eme semestre de diff´erentes
sections de l’Ecole polytechnique f´ed´erale de Lausanne (EPFL). Le choix des
exercices sert aussi bien `av´erifier du degr´e d’acquisition par l’´etudiant de la
th´eorie que de son habilit´e`alesr´esoudre. Il est bon de rappeler ici que le
meilleur moyen de devenir familier avec l’analyse est de r´esoudre un maximum
d’exercices. Et plus on en r´esout, plus on a de chance de pouvoir les r´esoudre.
On acquiert ainsi un savoir faire dont l’intuition, ´el´ement indispensable en ma-
th´ematique, ne devrait pas ˆetre absente.
D’un point de vue pratique, ce livre contient quatre chapitres qui sont
divis´es chacun en deux parties :
1) La premi`ere partie est un rappel non exhausif de toutes les principales d´efi-
nitions et tous les principaux r´esultats qu’il faut connaˆıtre sur le sujet trait´e.
Les propositions sont ´enonc´ees avec pr´ecision mais sans leur d´emonstration.
2) La deuxi`eme partie est un recueil d’exercices concernant le sujet trait´e. Pour
les r´esoudre, une bonne connaissance des d´efinitions et propositions donn´ees
dans la premi`ere partie est exig´ee de la part de l’´etudiant. C’est pourquoi
une bonne assimilation de la th´eorie est n´ecessaire, mais malheureusement
pas forc´ement suffisante, pour arriver `ar´esoudre tous les exercices. Pour
certains d’entre eux, la connaissance des chapitres pr´ec´edents est parfois
n´ecessaire. Pour chaque exercice, un corrig´e est donn´e`alafindulivre.
Chaque corrig´e est fait en fonction de la difficult´e de l’exercice. Les exer-
cices difficiles s’adressent plus particuli`erement aux ´etudiants des sections
math´ematique et physique.
Il est vivement recommand´eaux´etudiants de se familiariser avec les diff´e-
rents logiciels math´ematiques propos´es sur le march´epourr´esoudre les exercices
qui s’y prˆetent, apr`es, bien sˆur, avoir essay´es de les r´esoudre par eux-mˆemes.
Pour ceux qui s’int´eressent aux d´emonstrations, je recommande comme
livre de r´ef´erence : Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul diff´erentiel et
int´egral tome 2, Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR).

vi Introduction
Enfin, n’´etant pas propri´etaire des exercices contenus dans ce livre, j’en-
courage tous mes coll`egues `a les utiliser `a bon escient et sans restriction, ainsi
que d’en faire profiter pleinement leurs ´etudiants.
Finalement, je souhaite `atousles´etudiants beaucoup de plaisir `afaireles
exercices propos´es et rappelle que ce n’est qu’en pers´ev´erant que l’on arrive `a
ses fins.
Remerciements
Je tiens `a remercier ici toutes les personnes qui m’ont aid´e`alar´ealisation
de ce livre. En particulier, G´erard Maze qui a relu une partie du manuscrit,
Christophe Hebeisen, Sean Bronee et Maya Tuscher pour les dessins, M.-F. De
Carmine pour son aide et ses remarques judicieuses ainsi que les Presses po-
lytechniques et universitaires romandes (PPUR) qui ont accept´edepublierce
livre en faisant preuve d’un grand professionnalisme.
Jacques Douchet

Tabledesmati`eres
Introduction v
Table des mati`eres vii
Chapitre 1EspaceRn1
1.1 Introduction...........................................1
1.2 Suites dans Rn.........................................2
1.3 Topologie de Rn.......................................3
1.4 Adh´erence d’un sous-ensemble ......................... 4
1.5 Sous-ensemble compact................................5
1.6 Bord d’un sous-ensemble...............................5
1.7 Sous-ensemble connexe par arcs........................6
1.8 Sous-ensemble connexe.................................6
1.9 Exercices .............................................. 7
Chapitre 2 Fonctions de plusieurs variables 11
2.1 Introduction..........................................11
2.2 Limite d’une fonction.................................12
2.3 Fonctions continues...................................13
2.4 Exercices.............................................16
Chapitre 3D´eriv´ees partielles 21
3.1 Introduction..........................................21
3.2 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur...................26
3.3 Th´eor`eme des fonctions implicites.....................29
3.4 Formes diff´erentielles..................................32
3.5 Exercices.............................................34
Chapitre 4Int´egrales multiples 53
4.1 Int´egrale double sur un rectangle ferm´e ...............53
4.2 Int´egrale double sur un ouvert born´edeR2............54
4.3 Int´egrale double sur R2...............................59
4.4 Int´egrales multiples...................................61
4.5 Exercices.............................................64