Table des matières

Table des matières
Remerciements iii
Listes des algorithmes iv
Résumés 1
1 Introduction générale 2
2 Matrices structurées remarquables 6
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Structure de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Matrice de type Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Matrice de type Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Matrice de type Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Matrice de type Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Transformation discrète de Fourier et ses applications 18
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Transformation discrète de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 TDF et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 FFT itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Matrices circulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Matrices '-circulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Analyse de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Multiplication rapide d’une matrice Toeplitz par un vecteur 31
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Matrices Toeplitz spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.1 Matrices Toeplitz circulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Matrices Toeplitz triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Produit d’une matrice Toeplitz par un vecteur . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Transformation en une matrice Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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TABLE DES MATIÈRES ii
5 Structures de déplacement d’une matrice de Vandermonde con‡uente 41
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Matrices de Vandermonde par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Matrices de Vandermonde con‡uentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Structure de déplacement pour les matrices de Vandermonde con‡uentes 43
6 Factorisation LU d’une matrice de Vandermonde con‡uente 49
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Structure de déplacement pour les matrices de Vandermonde con‡uentes 49
6.3 Complément de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4 Stabilité de la structure de déplacement par le complément de Schur . 52
6.5 Factorisation des éléments blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.6 Multiplications rapides des éléments blocs par vecteur . . . . . . . . . 63
6.7 Factorisation LU par blocs et complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Conclusion 70
Bibliographie 71

Remerciements
Cette thèse a été dirigée par monsieur L. Melkemi, Maître de conférence à l’Univer-
sité de Batna, Je tiens à lui exprimer ici ma reconnaissance pour son enthousiasme et
son soutien sans faille durant la réalisation de cette thèse. Il a toujours été disponible
pour me prodiguer ses conseils.
Je suis sensible à l’honneur que me fait monsieur B. Mezerdi, Professeur à l’Uni-
versité de Biskra, en présidant le jury de cette thèse. Je rends hommage à ses qualités
humaines et scienti…ques tout au long de mon cursus universitaire. Je lui adresse mes
vifs remerciements.
Je suis heureuse également de remercier, monsieur A. Necir, professeur à l’Uni-
versité de Biskra d’avoir accepté d’examiner cette thèse et de participer au jury. Je
sensible à sa générosité qu’il m’a témoignée et son aide qu’il m’a prodiguée. Je lui
exprime ma gratitude pour ses conseils précieux.
Mes remerciements vont aussi à monsieur K. Melkemi, Professeur à l’Université de
Biskra, pour l’honneur qu’il me fait en acceptant d’examiner cette thèse et de faire
partie du jury.
J’adresse mes sincères remerciements au Dr. A. Benaissa, Maître de conférence à
l’Université de Batna, pour l’intérêt qu’il a manifesté à cette thèse, en acceptant de
l’examiner.
Je remercie vivement monsieur A. Mokrane, Maître de Conférence à l’université
de Batna, pour la cordialité avec laquelle il a accepté de faire partie de ce jury.
Je voudrais adresser mes remerciements à tous ceux qui m’ont aidé à mener ce
travail à son terme. En particulier, le chef de département de Mathématiques, monsieur
Z. Mokhtari.
J’exprime ma gratitude à ma famille qui m’a toujours soutenue et encouragée dans
la voie que je m’étais …xée. Je remercie particulièrement mes parents qui m’ont stimulée
et encouragée pendant la réalisation de ce travail.
Mes vifs remerciements vont également à tous mes enseignants, mes collègues et
mes amies, notamment, H. Berkane, S. Adouane, N. Bouziane, S. Bougherara, F.
Benabba, Y. Ouanoughi, S. Yakhlef et B. Laadjel.
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Listes des algorithmes
Algorithme 3.1. Réalisant le produit polynômial. 9
Algorithme 3.2. FFT itérative. 12
Algorithme 4.1. Réalisant la multiplication d’une MT par un vecteur. 36
Algorithme 4.2. Calcul l’inverse d’une matrice Toeplitz triangulaire inférieure. 38
Algorithme 6.1. Réalise la multiplication F(x)b: 61
Algorithme 6.2. Réalise la multiplication d’un vecteur ligne bTpar F(x):62
Algorithme 6.3. La factorisation LU par blocs de W a =f: 65
iv

Résumés
Résumé
Dans ce travail, nous donnons une étude complète sur les matrices structurées, nous
nous intéressons aux matrices Toeplitz et Vandermonde et nous présentons une struc-
ture de déplacement de type Sylvester pour les matrices de Vandermonde con‡uentes
qui apparaissent comme une généralisation naturelle connue dans le cas d’un système
de Vandermonde simple. Nous montrons aussi qu’un algorithme asymptotiquement ra-
pide peut être conçu pour réaliser la factorisation LU d’une matrice de Vandermonde
con‡uente. Ce résultat est basé sur la structure de déplacement réalisée par ce type
des matrices et sur la factorisation des éléments blocs en termes de matrices Toeplitz
triangulaires.
Mots-clés : Structure de déplacement, Matrice de Vandermonde con‡uente, Com-
plément de Schur.
Abstract
In This work, we give a complete study on the structured matrices. We are interes-
ted in Toeplitz and Vandermonde matrices and we present displacement structure of
the Sylvester type for the con‡uent Vandermonde matrices which appear as a natural
generalization well known in the case of the simple Vandermonde system. We show
also that an asymptotically fast algorithm may be designed in order to realize a block
LU-factorization of con‡uent Vandermonde matrices. This result is based on a displa-
cement structure satis…ed by con‡uent Vandermonde matrices and on factorization of
the block elements in terms of triangular Toeplitz matrices.
Key Words : Displacement structure, Con‡uent Vandermonde matrix, Schur com-
plement.
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