Démonstration par récurrence

Démonstration par récurrence
9 septembre 2013
Démonstration par récurrence
I. Introduction
II. Principe
III. Exemples
Démonstration par récurrence
I. Introduction
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ”
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ”
C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ”
C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
La proposition A se prouve simplement algébriquement.
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ”
C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
La proposition A se prouve simplement algébriquement.
La proposition B se réfute aisément par un contre-exemple.
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ”
C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
La proposition A se prouve simplement algébriquement.
La proposition B se réfute aisément par un contre-exemple.
La proposition C se démontre par récurrence
Démonstration par récurrence
Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier
naturel qui prend n’importe quelle valeur.
A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre
impair. ”
B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ”
C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
La proposition A se prouve simplement algébriquement.
La proposition B se réfute aisément par un contre-exemple.
La proposition C se démontre par récurrence
Intérêt
Les démonstrations par récurrence servent à démontrer qu’une propriété est vraie
ou fausse pour tous les entiers à partir d’un certain rang.
Démonstration par récurrence
II. Principe
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation.
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 ,
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Démonstration par récurrence
Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n.
Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de
démontrer que
Initialisation. la propriété Pn0 est vraie
Hérédité.
si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie
Démonstration par récurrence
III. Exemples
Démonstration par récurrence
Enoncé no 1
Démontrer que la somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
12 + 22 =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
Pn+1 :
2
2
12 + 22 =
2
1 + 2 + · · · + (n + 1) =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
(n + 1) (n + 1) + 1 2 × (n + 1) + 1
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
Pn+1 :
2
2
12 + 22 =
2
1 + 2 + · · · + (n + 1) =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
(n + 1) (n + 1) + 1 2 × (n + 1) + 1
6
c’est à dire en simplifiant
Pn+1 :
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
12 + 22 =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
Initialisation
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
12 + 22 =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
Initialisation
on a
0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1)
=0
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
12 + 22 =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
Initialisation
on a
0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1)
=0
6
donc
0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1)
= 02
6
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers
naturels est égale à
n(n + 1)(2n + 1) ”
.
6
On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N.
P0 :
02 =
0(0 + 1)(2 × 0 + 1)
6
P1 :
12 =
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
6
P2 :
12 + 22 =
2(2 + 1)(2 × 2 + 1)
6
Initialisation
on a
0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1)
=0
6
donc
0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1)
= 02
6
donc
la proposition P0 est déjà vraie
Démonstration par récurrence
Hérédité
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie
6
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
(n + 1) 2n2 + 7n + 6
6
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
(n + 1) 2n2 + 7n + 6
6
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
(n + 1) 2n2 + 7n + 6
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
6
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
est vraie et intéressons
6
nous à la proposition Pn+1 .
on a
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2
or
la proposition Pn est vraie
donc
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
12 + 22 + · · · + (n + 1)2 =
donc
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
(n + 1) 2n2 + 7n + 6
6
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
6
la proposition Pn+1 est vraie
Démonstration par récurrence
Conclusion
On peut affirmer que
∀n ∈ N,
n
X
k=0
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Démonstration par récurrence
Enoncé no 2
Démontrer que
∀n ∈ N,
4n − 1 est divisible par 3
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3
Initialisation
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3
Initialisation
on a
40 − 1 = 1 − 1
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3
Initialisation
on a
40 − 1 = 1 − 1
donc
40 − 1 = 0
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3
Initialisation
on a
40 − 1 = 1 − 1
donc
40 − 1 = 0
or
0 est divisible par 3
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3
Initialisation
on a
40 − 1 = 1 − 1
donc
40 − 1 = 0
or
0 est divisible par 3
donc
la proposition P0 est déjà vraie
Démonstration par récurrence
Hérédité
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3
or
4n − 1 est divisible par 3
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3
or
4n − 1 est divisible par 3
donc
il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3
or
4n − 1 est divisible par 3
donc
il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q
d’où
4n+1 − 1 = 4 × 3q + 3
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3
or
4n − 1 est divisible par 3
donc
il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q
d’où
4n+1 − 1 = 4 × 3q + 3
et
4n+1 − 1 = 3(4q + 1)
avec 4q + 1 ∈ N
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3.
on a
4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1
donc
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1
4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3
or
4n − 1 est divisible par 3
donc
il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q
d’où
4n+1 − 1 = 4 × 3q + 3
et
4n+1 − 1 = 3(4q + 1)
donc
la proposition Pn+1 est vraie
avec 4q + 1 ∈ N
Démonstration par récurrence
Conclusion
On peut affirmer que
∀n ∈ N,
4n − 1 est divisible par 3
Démonstration par récurrence
Enoncé no 3
Soit x un réel positif.
Démontrer que
∀n ∈ N,
(1 + x)n > 1 + nx
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx
Initialisation
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx
Initialisation
on sait que
(1 + x)0 = 1
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx
Initialisation
on sait que
(1 + x)0 = 1
or
1+0×x= 1
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx
Initialisation
on sait que
(1 + x)0 = 1
or
1+0×x= 1
d’où
(1 + x)0 > 1 + 0 × x
Démonstration par récurrence
Soit n ∈ N
On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx
Initialisation
on sait que
(1 + x)0 = 1
or
1+0×x= 1
d’où
(1 + x)0 > 1 + 0 × x
donc
la proposition P0 est déjà vraie
Démonstration par récurrence
Hérédité
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 =
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
donc
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx)
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
donc
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx)
car 1 + x > 0
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
donc
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx)
d’où
(1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2
car 1 + x > 0
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
donc
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx)
d’où
(1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2
or
nx2 > 0
car 1 + x > 0
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
donc
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx)
d’où
(1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2
or
nx2 > 0
donc
(1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x
car 1 + x > 0
Démonstration par récurrence
Hérédité
Soit n ∈ N
Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la
proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x.
on a
(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n
or
(1 + x)n > 1 + nx
donc
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx)
d’où
(1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2
or
nx2 > 0
donc
(1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x
donc
la proposition Pn+1 est vraie
car 1 + x > 0
Démonstration par récurrence
Conclusion
On peut affirmer que
(1 + x)n > 1 + nx
Démonstration par récurrence
Conclusion
On peut affirmer que
(1 + x)n > 1 + nx
Remarque
L’inégalité que l’on vient de démontrer s’appelle l’inégalité de Bernoulli.
Démonstration par récurrence
Fin
Démonstration par récurrence