Mathématiques et calculs : Contrôle continu no1 17 Octobre

Universit´e Paris Descartes
UFR de Math´ematiques et Informatique
45, rue des Saints-P`eres, 75006, Paris.
Math´ematiques et calculs : Contrˆole continu no1
17 Octobre 2011
L1 : Licence sciences et technologies,
mention math´ematiques, informatique et applications
Nombre de page de l’´enonc´e : 1 . Dur´ee 1h30.
Correction
Exercice 1
1) Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes
z1=√6−i√2
2et z2= 1 −i.
2) En d´eduire le module et l’argument de z=z1
z2
.
3) Utiliser les r´esultats pr´ec´edents pour calculer cos( π
12 ) et sin( π 12 ).
Correction de l’exercice 1 :
1)
|z1|=√2 et arg(z1) = −π
6.
|z2|=√2 et arg(z2) = −π
4.
2)
|z|=|z1|
|z2|= 1 et arg(z) = arg(z1)−arg(z2) = π 12.
3) On d´etermine la forme alg´ebrique de z= cos( π
12 ) + isin( π 12 ). On trouve
z= (√6 + √2
4) + i(√6−√2 4)
D’o`u
cos( π
12) = √6 + √2 4et sin( π 12) = √6−√2 4.
Exercice 2
D´eterminer les racines carr´ees complexes de z=−8−6i.
Correction de l’exercice 2 :
On cherche ω=x+iy tel que ω2=z. Ici 2xy =−6 donc xet ysont de signes contraires. Les deux
racines sont ω1= 1 −i9 et ω2=−9 + i9.
Exercice 3
Soit z=p2−√2 + ip2 + √2.
1) Calculer z2sous la forme alg´ebrique puis sous forme exponentielle.
2) En d´eduire la forme exponentielle de z.
3) En d´eduire cos( 3π
8).
Correction de l’exercice 3 :
1

2
1) Les r´eponses sont :
z2=−2√2 + i2√2
z2= 4ei3π
4
|z2|= 4 et arg(z2) = 3π
4.
2) zest une racine carr´ee de z2donc
z= 2ei3π
8ou z=−2ei3π 8.
Comme cos(3π
8)>0 et Re(z)>0, on en d´eduit que
z= 2ei3π
8.
3)
cos(3π
8) = Re(z) |z|=p2−√2 2.
Exercice 4
Soit (un) la suite d´efinie par :
u0= 0
un+1 =ru2
n+ 4
3,∀n>0
1) Montrer que pour tout n>0, un>0.
2) Montrer que la suite (vn) d´efinie par vn=u2
n−2 est g´eom´etrique et pr´eciser sa raison.
3) Calculer vnen fonction de v0. En d´eduire la limite de (vn) puis celle de (un).
Correction de l’exercice 4 :
1) On d´emontre par r´ecurrence la propri´et´e (Pn) : un>0.
– Initialisation : u0= 0 >0 donc (P0) est vraie.
– H´er´edit´e : On suppose que (Pn) est vraie pour un certain n>0. Alors,
un+1 =ru2
n+ 4
3
est bien d´efini puisque u2
n+ 4
3>0 d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence. De plus un+1 >0 car la
fonction racine carr´ee est positive.
Donc, par r´ecurrence, pour tout n>0, un>0.
2) On a
vn+1 =u2
n+1 −2 = u2
n+ 4
3−2 = u2
n−2
3=1 3vn.
Donc (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 1
3.
3) (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 1
3et v0=u0−2 = −2 d’o`u
vn=−2
3n.
On en d´eduit que (vn) tend vers 0, et donc que u2
n=vn+ 2 tend vers 2. Comme un>0, on a un=pu2 n,
d’o`u (un) tend vers √2 (par continuit´e de la fonction racine carr´ee. . .) .
Exercice 5
Soit (un) la suite d´efinie par :
(u0= 1
un+1 =√2un,∀n>0
1) Montrer que pour tout n>0, un>0.
2) Montrer que pour tout n>0, un62.
3) Montrer que (un) est croissante (on pourra consid´erer le quotient un+1
un
).

3
4) En d´eduire que (un) est convergente et d´eterminer sa limite.
Correction de l’exercice 5 :
1) On d´emontre par r´ecurrence la propri´et´e (Pn) : un>0.
– Initialisation : u0= 1 >0 donc (P0) est vraie.
– H´er´edit´e : On suppose que (Pn) est vraie pour un certain n>0. Alors un+1 =√2un>0 donc
(Pn+1) est vraie.
Donc, par r´ecurrence, pour tout n>0, un>0.
2) On d´emontre par r´ecurrence la propri´et´e (Pn) : un62.
– Initialisation : u0= 1 62 donc (P0) est vraie.
– H´er´edit´e : On suppose que (Pn) est vraie pour un certain n>0. Alors, 2un64, et, comme la
fonction racine carr´ee est croissante,
un+1 =√2un6√4=2,
et donc (Pn+1) est vraie.
Par r´ecurrence, pour tout n>0, un62.
3) On peut consid´erer le quotient un+1
uncar pour tout n>0, un>0 et en particulier un6= 0. On a
un+1
un
=√2un
un
=r2
un
.
Or, d’apr`es la question 2), un62, donc q2
un
>1. Ainsi, un+1
un
>1 pour tout n>0, ce qui montre que
(un) est croissante.
4) (un) est croissante et major´ee par 2, donc elle converge. Sa limite lv´erifie
l=√2l⇔l2= 2let l>0⇔l(l−2l) = 0 et l>0⇔l= 0 ou l= 2.
Ainsi (un) ne peut converger que vers 0 ou 2. Mais comme (un) est croissante et u0= 1 >0, (un) ne
peut pas converger vers 0. En conclusion, (un) converge vers l= 2.