Démonstration par récurrence 9 septembre 2013 Démonstration par récurrence I. Introduction II. Principe III. Exemples Démonstration par récurrence I. Introduction Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ” Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ” C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ” C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 La proposition A se prouve simplement algébriquement. Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ” C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 La proposition A se prouve simplement algébriquement. La proposition B se réfute aisément par un contre-exemple. Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ” C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 La proposition A se prouve simplement algébriquement. La proposition B se réfute aisément par un contre-exemple. La proposition C se démontre par récurrence Démonstration par récurrence Il n’est pas rare que certaines propositions mathématiques dépendent d’un entier naturel qui prend n’importe quelle valeur. A : “ La différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair. ” B : “ La somme de deux entiers naturels consécutifs est multiple de 3. ” C : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 La proposition A se prouve simplement algébriquement. La proposition B se réfute aisément par un contre-exemple. La proposition C se démontre par récurrence Intérêt Les démonstrations par récurrence servent à démontrer qu’une propriété est vraie ou fausse pour tous les entiers à partir d’un certain rang. Démonstration par récurrence II. Principe Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence Soient n et n0 deux entiers naturels et Pn une proposition qui dépend de n. Pour démontrer que la propriété Pn est vraie à partir du rang n0 , il suffit de démontrer que Initialisation. la propriété Pn0 est vraie Hérédité. si Pk est vraie pour un entier naturel k > n0 , alors Pk+1 est vraie Démonstration par récurrence III. Exemples Démonstration par récurrence Enoncé no 1 Démontrer que la somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) . 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : 12 + 22 = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : Pn+1 : 2 2 12 + 22 = 2 1 + 2 + · · · + (n + 1) = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 (n + 1) (n + 1) + 1 2 × (n + 1) + 1 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : Pn+1 : 2 2 12 + 22 = 2 1 + 2 + · · · + (n + 1) = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 (n + 1) (n + 1) + 1 2 × (n + 1) + 1 6 c’est à dire en simplifiant Pn+1 : 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : 12 + 22 = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 Initialisation Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : 12 + 22 = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 Initialisation on a 0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1) =0 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : 12 + 22 = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 Initialisation on a 0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1) =0 6 donc 0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1) = 02 6 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : “ La somme des carrés des n premiers entiers naturels est égale à n(n + 1)(2n + 1) ” . 6 On s’interroge sur la valeur de vérité de cette proposition quel que soit n ∈ N. P0 : 02 = 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 P1 : 12 = 1(1 + 1)(2 × 1 + 1) 6 P2 : 12 + 22 = 2(2 + 1)(2 × 2 + 1) 6 Initialisation on a 0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1) =0 6 donc 0 × (0 + 1) × (2 × 0 + 1) = 02 6 donc la proposition P0 est déjà vraie Démonstration par récurrence Hérédité Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie 6 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 (n + 1) 2n2 + 7n + 6 6 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 (n + 1) 2n2 + 7n + 6 6 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 (n + 1) 2n2 + 7n + 6 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 12 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) est vraie et intéressons 6 nous à la proposition Pn+1 . on a 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 or la proposition Pn est vraie donc 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = 12 + 22 + · · · + (n + 1)2 = donc n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 6 (n + 1) 2n2 + 7n + 6 6 (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 la proposition Pn+1 est vraie Démonstration par récurrence Conclusion On peut affirmer que ∀n ∈ N, n X k=0 k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 Démonstration par récurrence Enoncé no 2 Démontrer que ∀n ∈ N, 4n − 1 est divisible par 3 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3 Initialisation Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3 Initialisation on a 40 − 1 = 1 − 1 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3 Initialisation on a 40 − 1 = 1 − 1 donc 40 − 1 = 0 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3 Initialisation on a 40 − 1 = 1 − 1 donc 40 − 1 = 0 or 0 est divisible par 3 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : 4n − 1 est divisible par 3 Initialisation on a 40 − 1 = 1 − 1 donc 40 − 1 = 0 or 0 est divisible par 3 donc la proposition P0 est déjà vraie Démonstration par récurrence Hérédité Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3 or 4n − 1 est divisible par 3 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3 or 4n − 1 est divisible par 3 donc il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3 or 4n − 1 est divisible par 3 donc il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q d’où 4n+1 − 1 = 4 × 3q + 3 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3 or 4n − 1 est divisible par 3 donc il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q d’où 4n+1 − 1 = 4 × 3q + 3 et 4n+1 − 1 = 3(4q + 1) avec 4q + 1 ∈ N Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : 4n − 1 est divisible par 3 est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : 4n+1 − 1 est divisible par 3. on a 4n+1 − 1 = 4 × 4n − 1 donc 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1 + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × ((4n − 1) + 1) − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 4 − 1 4n+1 − 1 = 4 × (4n − 1) + 3 or 4n − 1 est divisible par 3 donc il existe un entier naturel q tel que 4n − 1 = 3q d’où 4n+1 − 1 = 4 × 3q + 3 et 4n+1 − 1 = 3(4q + 1) donc la proposition Pn+1 est vraie avec 4q + 1 ∈ N Démonstration par récurrence Conclusion On peut affirmer que ∀n ∈ N, 4n − 1 est divisible par 3 Démonstration par récurrence Enoncé no 3 Soit x un réel positif. Démontrer que ∀n ∈ N, (1 + x)n > 1 + nx Démonstration par récurrence Soit n ∈ N Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx Initialisation Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx Initialisation on sait que (1 + x)0 = 1 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx Initialisation on sait que (1 + x)0 = 1 or 1+0×x= 1 Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx Initialisation on sait que (1 + x)0 = 1 or 1+0×x= 1 d’où (1 + x)0 > 1 + 0 × x Démonstration par récurrence Soit n ∈ N On note Pn la proposition suivante : (1 + x)n > 1 + nx Initialisation on sait que (1 + x)0 = 1 or 1+0×x= 1 d’où (1 + x)0 > 1 + 0 × x donc la proposition P0 est déjà vraie Démonstration par récurrence Hérédité Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx donc (1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx) Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx donc (1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx) car 1 + x > 0 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx donc (1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx) d’où (1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2 car 1 + x > 0 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx donc (1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx) d’où (1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2 or nx2 > 0 car 1 + x > 0 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx donc (1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx) d’où (1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2 or nx2 > 0 donc (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x car 1 + x > 0 Démonstration par récurrence Hérédité Soit n ∈ N Supposons que Pn : (1 + x)n > 1 + nx est vraie et intéressons nous à la proposition Pn+1 : (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. on a (1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n or (1 + x)n > 1 + nx donc (1 + x)n+1 > (1 + x)(1 + nx) d’où (1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2 or nx2 > 0 donc (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x donc la proposition Pn+1 est vraie car 1 + x > 0 Démonstration par récurrence Conclusion On peut affirmer que (1 + x)n > 1 + nx Démonstration par récurrence Conclusion On peut affirmer que (1 + x)n > 1 + nx Remarque L’inégalité que l’on vient de démontrer s’appelle l’inégalité de Bernoulli. Démonstration par récurrence Fin Démonstration par récurrence