3 Nombres premiers Ouverture

Chapitre 3 n Nombres premiers n 43
© éditions Belin, 2012.
Nombres premiers
3
Ouverture
Comment peut-on construire de très grands
nombres premiers ?
En 1643, Pierre de Fermat écrit à Marin Mer-
senne : « Vous me demandez si le nombre
100 895 598 169 est premier ou non, et une
méthode pour découvrir, dans l’espace d’un jour,
s’il est premier ou composé. À cette question, je
réponds que ce nombre est composé et se fait
du produit de ces deux : 898 423 et 112 303, qui
sont premiers. »
Plus de trois siècles avant la cryptographie RSA,
les mathématiciens étaient conscients des pro-
blèmes intellectuels posés par la factorisation de
très grands entiers.
De nombreuses applications industrielles de
l’arithmétique reposent sur la connaissance
algorithmique des nombres premiers, et parfois
plus précisément sur la difficulté des problèmes
algorithmiques qui leur sont liés ; par exemple
certains systèmes cryptographiques, ainsi que
des méthodes de transmission de l’information.
En effet, soient deux grands nombres premiers
donnés : il est facile d’en obtenir le produit. Il est
en revanche beaucoup plus difficile de trouver
les facteurs premiers de ce produit. Ce problème
est au cœur des systèmes modernes de crypto-
logie. Si une méthode rapide était trouvée pour
résoudre le problème de la factorisation des
nombres entiers, alors plusieurs systèmes cryp-
tologiques importants seraient cassés, incluant
l’algorithme à clé publique RSA.
Réponse à la question : la spirale d’Ulam
Les nombres premiers n’ayant que deux diviseurs,
chaque disque aura comme diamètre 2 !
Vérifier ses acquis
1 a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont premiers.
b. Les nombres pairs sont divisibles par 2, donc
seul 2 est premier.
2 1. 24 et 132 sont pairs. 225 est multiple de 5,
111 est multiple de 3, 1 331 est multiple de 11.
2. a. M99182736455463728190 ,,,,,,,,,
b. M
12
12 24 36 48 60 72 84 96 ,,,,,,,
c. MM
91236 72«
, donc
m36.
d.
d3
.
e.
md ¥108 912
.
3 Dans cet exercice la question 5. est modifiée
comme suit :
Soit a = 25 × 33 × 52 × 7 et b = 24 × 34 × 11.
a. 26 × 33 × 52 × 11 est un multiple de a.
b. 22 × 34 × 5 est un diviseur de b.
c. 25 × 34 × 52 × 7 × 11 × 13 est un multiple
commun à a et b.
La question d. reste inchangée.
1.
10
32 2525 36
235
5222
¥¥¥¥¥,,
75 120 235
323
¥¥¥
2.
ab¥¥¥235
3. a. Da
1243927612 18 36 54 108,,,,, ,,,,,, .
a a 12 diviseurs.
b. D
b
12392781243 61854162 486,,,, ,, ,, ,,
,.
b a 12 diviseurs.
c. DD d
ab
« ¥1239275454233 ,,,, ,.
4. On pose
a¥23
23
et
b¥23
4
Mk
a¥¥
23
23
et Mk
b¢¥¥
23
4
MMk
ab
«
¢¢ ¥¥
23
24
5. a. Vrai ; b. Faux ; c. Vrai ; d. Faux.
4 a. 12
16
3
4
144
132
12
11
3250
1275
130
51
 ;; .
b. abc-
5
12
17
15
7
12
;; .
5 1. a. Vrai ; b. Faux ; c. Vrai ; d. Vrai ; e. Faux.
2. a. i ; b. ii.
6 1. a. Faux ; b. Faux ; c. Vrai ; d. Vrai.
2. a.
- 2211nn ;
b.
34 34321() )nn- 
3. a. oui, b. non, c. oui, d. oui.
4. Voir exercice 66 page 63.
5. a.
71421¥- ¥() ;
b.
73541¥-¥
;
c.
743-
; d.
74542¥-¥

44 n Chapitre 3 n Nombres premiers
© éditions Belin, 2012.
Activités d’introduction
Activité 1
1
3 n’a que 2 diviseurs, 1 et 3.
2
Le premier multiple de 3 est 3 × 2, pair donc
déjà barré.
3
5 est premier, sinon il serait divisible par un
nombre inférieur, donc serait barré.
4
Les multiples de 11 inférieurs à 100 sont mul-
tiples de 2, 3, 5 ou 7, donc on s’arrête à 7.
5
Pour avoir 400 nombres, on fait un tableau
20 × 20, et on s’arrête aux multiples de 19.
6
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 197,
199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251,
257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307,
313, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 363, 373,
379, 383, 389, 397}.
Activité 2
1
a. 3 – 5 – 7 ; 17 – 19 ; 29 – 31.
b. La séquence de 192 à 210.
2
a. 23 – 29 sont premiers consécutifs.
b. 113 – 127 aussi.
c. 24 + 2, 24 + 3, 24 + 4 sont divisibles par 2, 3,
4 donc non premiers.
d. Pour tout entier k compris entre 2 et n + 1,
(n + 1)! + k est divisible par k.
3
a. 2! + 1 = 3 est premier, 3! + 1 = 7 aussi,
mais 4! + 1 = 25 ne l’est pas.
b. Tout k ≤ n divise n!, donc ne peut diviser
n! + 1. Un diviseur premier de n! + 1 est nécessai-
rement supérieur à n, quel que soit n. L’ensemble
des nombres premiers est donc infini.
Activité 3
1
a. Pour a ≥ 3, an – 1 est divisible par
(a – 1) ≥ 2, donc non premier.
b. Si a = 2, on ne peut conclure.
2
a. 1, 3, 7, 15(n = 3), 31, 63(n = 3),
127, 255(n = 5), 511(n = 7), 1 023(n = 11),
2 047(n = 23), 4 095(n = 5).
b. Parmi eux, seuls 3, 7, 31, 127 sont premiers.
c. Mn = 2km – 1 = (2k – 1)(2k(m–1) + … + 2k + 1)
avec a = 2k, k > 1 donc 2k – 1 > 3 donc si n est
composé, Mn = est composé.
d. i. M11 = 23 × 89, 23 = 22 + 1, 89 = 4 × 22 + 1
admet deux diviseurs premiers de la forme 22k + 1.
ii. 11 est premier et M11 n’est pas premier.
Activité 4
1
a. 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 sont premiers avec 7.
7 est premier, premier avec tout nombre non
multiple de 7.
b. p premier est premier avec tout nombre qu’il
ne divise pas.
2
b. Si p divise n = ab, et p ne divise pas a, il
est premier avec a, donc d’après le théorème de
Gauss, il divise b.
c. Si un nombre premier p divise un produit de
nombres premiers et divise l’un d’entre eux, qui
est premier, il est donc l’un d’eux.
3
a. p et q deux diviseurs premiers distincts
n’ont pas de diviseurs communs.
b. p et q divisent n donc il existe deux entiers u et
v tels que n = up = qv.
c. q divise up et est premier avec p donc d’après
le théorème de Gauss, q divise u donc u = qk,
n = kpq, k ∈ N donc pq divise n.
4
a. Pour n = 3 ou n = 5, n divise n
k
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ pour
tout k tel que 1 ≤ k ≤ n – 1 ?
b. p premier est premier avec tout s ≤ k ≤ p – 1,
donc avec leur produit k! D’après le théorème de
Gauss, p divise k! p
k
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜ donc p divise p
k
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜.
Activité 5
La question 3. de cette activité est modifiée
comme suit :
3. c. Montrer que 4 000 = 25 × 53.
Dans toute la question on remplace ensuite 864
par 4 000.
1
a. 1 274 = 2 × 72 × 13.
b. 1 274 × 26 = 1822.
2
N = 1 989 × 100 = 9 × 13 × 17 × 4 × 25 =
22 × 32 × 52 × 13 × 17.
3
a. Les diviseurs de n = 27 sont de la forme 2k,
avec 0 ≤ k ≤ 7. Il y en a 8.
b. les diviseurs de n = pk sont de la forme pr, avec
0 ≤ r ≤ k. Il y en a p + 1.

Chapitre 3 n Nombres premiers n 45
© éditions Belin, 2012.
×202122232425
501 2 4 8 16 32
515 10 20 40 80 160
5225 50 100 200 400 800
53125 250 500 1 000 200 4 000
c. 4 000 = 25 × 53
i. 25 × 53 =
25
ab
¥
×
25
53--
¥
ab
ii. 4 000 a 24 diviseurs.
iii. Si n =
25
ab
¥
, n a (a + 1)(b + 1) diviseurs.
4
a. N = 24 500 = 245 × 100 = 5 × 49 × 4 × 25 =
22 × 53 × 72.
b. Les diviseurs de N sont de la forme 2a × 5b × 7c
avec 0 ≤ a ≤ 2, 0 ≤ b ≤ 3, 0 ≤ c ≤ 2.
c. 24 500 a 3 × 4 × 3 = 36 diviseurs.
d. 22 et 53 × 72 ; 53 et 72 × 22, 72 et 22 × 53.
e. 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500 ;
7, 14, 28, 35, 70, 140, 175, 350, 700, 875, 1 750,
3 500 ;
49, 98, 196, 245, 490, 980, 1 225, 2 450, 4 900,
6 125, 12 250, 24 500.
Activité 6
1
a. 27 ≡ 29[33].
b. 293 ≡ 2[33].
c. 57 ≡ 14[33], 143 ≡ 2[33]. On constate que si
a7 ≡ b[33], alors b3 ≡ a[33].
2
a. n = 3 × 11.
b. 2 ≤ 7 < 20, 7 est premier avec 20.
d. 7 × 3 = 21 = 20 + 1, donc cd ≡ 1[20].
Travaux pratiques
1TP Algorithmique 1 Nombres premiers ?
1
b. Dans la division par 6, il y a 6 restes pos-
sibles. Si n ∈ {6k, 6k + 2, 6k + 4}, alors n est
pair et 6k + 3 = 3(2k + 1), donc si p est premier,
p ≥ 5, il est de la forme 6k – 1 ou 6k + 1.
c. Si n n’est divisible ni par 2, ni par 3 ni par les
entiers de la forme 6k – 1 ou 6k + 1 inférieurs à
sa racine carrée, il est premier.
2
Dans le tableau de la question 2. les lignes
sont numérotées de 1 à 9 et les colonnes de A à E.
a. B3 = 6*A3 – 1 et C3 = 6*A3 + 1
b. D2 = Mod($D$2, B2)
c. Si N est divisible par un nombre appartenant
aux colonnes B ou C, le reste sera nul. Il suffit de
compter le nombre de zéros (en utilisant
= NB.SI(D2:E 631 ; 0)). Si ce nombre est nul, n est
premier.
399 601 est premier.
3
L’algorithme de cette question doit être
modifié comme suit :
Demander N
Initialiser T à 2
Tantque T2 ≤ N faire
Si N/T = E(N/T)
Afficher T et N/T
Remplacer T par T + 1
Fin
a. Cet algorithme affiche une paire de diviseurs
éventuels de N et 12 319 = 97 × 127.
4
Dans le tableau en b. 108 doit être remplacé
par 109.
a.
p()N
p
(10) = 4,
p
(100) = 25.
ii. p
()
10
10
= 0,4 et p
()
100
100
= 0,25.
b. La table suivante donne les valeurs de
p()N
pour des valeurs de N.
N 10 100 1 000
p(N) 4 25 168
p(N)/N 0,400 0,250 0,168
Ln(N).p(N)/N 0,921 1,151 1,161
N 10 000 1 000 000
p(N) 1 229 78 498
p(N)/N 0,123 0,078
Ln(N).p(N)/N 1,132 1,084
N 1 000 000 000 10 000 000 000
p(N) 50 847 534 455 052 512
p(N)/N 0,051 0,046
Ln(N).p(N)/N 1,054 1,048
N
ap
()
N
N
est décroissante et tend vers 0.
N
aln()
()NN
N
p reste proche de 1.
Remarque : Vers la fin du 18e siècle, Legendre et
Gauss en analysant les tables de nombres pre-
miers ont conjecturé que le nombre p(n) de
nombres premiers entre 1 et n était équivalent à
n
nln
()
, ce qui signifie que lim
().ln( )pnn
n
= 1.

46 n Chapitre 3 n Nombres premiers
© éditions Belin, 2012.
2TP Algorithmique 2 Nombres parfaits
1
D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
2
a. Il affiche les diviseurs de N.
b. i. Il faut modifier la fin de l’algorithme : on
remplace
Tricroissant de L1
Afficher L1
par :
Somme (L1) = S
Si S = 2N alors,
afficher « “N” est parfait »
ii. Il faut modifier le début et la fin de l’algorithme.
Au début :
Entrer M
Pour N variant de 1 à M
À la fin, on remplace
Tricroissant de L1
Afficher L1
par :
Somme (L1) = S
Si S = 2N alors,
Afficher N
FinSI
3
496 = 24(25 – 1), 8 128 = 26(27 – 1).
4
a. Les diviseurs de 2n–1 sont {1, 2, 22,… 2n–1}.
b. Si p = 2n – 1 est premier, ses diviseurs sont 1 et
p.
c. Les diviseurs de N = 2n–1(2n – 1) sont
{1, 2, 22,… 2n–1}, {p, 2 p, 22 p,… 2n–1 p}.
d. s(N) = (1 + 2 + 22 + . + 2n–1)(1 + p)
= 2n(2n – 1) = 2N.
5
a. On rajoute 1/D = L2(X), D/N = L2(X),
C = Somme(L2), D = Dim(L1).
Non pour 32. Oui pour 140.
b. S′(6) = 2, S′(28) = 2, S′(496) = 2, S′(8 128) = 2 ;
On conjecture que S′ = 2 pour tout nombre parfait.
c. S′(p) = 1/p + 1 donc q = 2p/(p + 1). or
p + 1 < 2p < 2p + 2 donc 1 < q < 2 n′est pas
un entier.
d. i. {1, 2, 22,… 2n–1, pn, 2 pn, 22 pn,… 2n–1 pn}.
ii. Si S′(an) = 2, alors q = n et les nombres parfaits
sont en division harmonique (on démontre faci-
lement que S′(an) = 2).
3TP TICE 1 Un test de primalité
1
a. m = 2,12 – 1 divisible par 2, donc
pour m = 2, 23 – 2 = 6 est divisible par 3.
b. Pour m = 4, 34 – 3 = 78 n’est pas divisible par 4.
c. A5 = {1, 2, 3, 4}. On vérifie que n5 ≡ n[5].
La proposition est vraie pour n = 7, n = 11.
2
Dans cette question on veut montrer que
pour tout entier naturel n, p divise np – n.
a. 0 – 0 ≡ 0[p], donc P0 est vraie.
b. (n + 1)p – (n + 1) = np + p
kn
k
p
k
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
-
Â
1
1
+
1 – n – 1 = np – n + p
kn
k
p
k
Ê
Ë
Áˆ
¯
˜
-
Â
1
1
.
c. Pour 1 ≤ k ≤ p – 1, p divise p
k
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ et p divise
np – n, donc p divise (n + 1)p – (n + 1)
d. Pour tout n, Pn est vraie.
3
Cette question doit être modifiée comme suit :
c. En utilisant un tableur, calculer le reste dans
la division par 52 633 de 252 633. Déterminer si
52 633 est premier.
a. On raisonne par contraposée.
b. 240 ≡ 1(341) et 341 = 11 × 31 est non premier.
c. 252633 ≡ 2[52 633] et 52 633 = 73 × 721 est
non premier.
4
a. 561 = 3 × 11 × 17.
b. 560 = 7 × 16 × 5 est multiple de 2, de 16 et de 10.
c. a premier avec 561 donc avec 3, 11 et 17. On
pose b = a561 – a = a(a560 – 1).
(a560 – 1) est divisible par (a2 – 1), par (a10 – 1) et
par (a16 – 1) (voir activité 3).
d. i. 3, 11, 17 étant premiers, d’après le petit
théorème de Fermat, (a2 – 1) est divisible par
3, (a10 – 1) par 11, et (a16 – 1) par 17, donc
(a560 – 1) est divisible par 3, 11, 17 premiers
entre eux, donc par leur produit.
ii. Si a est multiple de 3 (mais pas de 11 ni de
17), alors (a561 – a) = a(a560 – 1) est divisible par
3 et a560 – 1 est divisible par 11 et 17 (voir i.) et
(a561 – a) est divisible par 561.
4TP TICE 2 Le système RSA
Dans ce TP la question 1. est modifiée comme suit :
1. Deuxième cas : p divise a et a est premier avec
q.
i. Inchangé
ii. En déduire que a1+km ≡ a[q].
iii. Montrer enfin que a1+km ≡ a[n].

Chapitre 3 n Nombres premiers n 47
© éditions Belin, 2012.
1
a. • 1er cas : a est premier avec pq.
i. a est premier avec pq donc avec p et q et d’après
le petit théorème de Fermat : a(p–1) ≡ 1[p], et
par puissance, a(p–1)(q–1) ≡ 1[p] ; et a(q–1) ≡ 1[q] ;
a(p–1)(q–1) ≡ 1[p].
ii. De même, a(q–1) ≡ 1[q] ; a(p–1)(q–1) ≡ 1[q] ;
donc a(p–1)(q–1) – 1 est multiple de p et q premiers
entre eux, donc, d’après le théorème de Gauss,
de leur produit et a(p–1)(q–1) ≡ 1[pq] et am ≡ 1[n].
iii. Par puissance, akm ≡ 1[n] et par produit,
a1+km ≡ a[n].
• Deuxièmecas:p divise a (ou q divise a)
i. a1+km ≡ 0[p] et a ≡ 0[p] donc a1+km ≡ a[n].
ii.iii. Voir le premier cas.
b. i. Voir le savoir faire 3. page 85.
ii. cd = 1 + km, donc, d’après a., acd ≡ a[n].
Dans la question 2.a. la méthode A est modifiée
comme suit :
A. Utiliser la calculatrice et la suite de récurrence
un+1 = Mod(un × a, n), où Mod(s, n) désigne le
reste dans la division euclidienne de s par n.
2
a. Méthode B : A4 = A3 × $A$2
b. i. 12 319 = 97 × 127,
donc m = 96 × 126 = 12 096.
ii. d = 7 925.
c. Nd = Mcd et Mcd ≡ M[n].
Exercices
Maîtriser le cours
1 On utilise l’algorithme d’Euclide.
2 La somme de leurs chiffres est multiple de 3.
3 Si p ou q vaut 1, n peut être premier.
4 Si n = 3, N = 13 est premier, sinon il est divi-
sible par n – 2 > 1
5 a2 – b2 = (a – b)(a + b) peut être premier si
a – b = 1.
6 192 > 317. Il est premier.
7 a. 1, 2, 3, 4 sont premiers avec 5.
b. Les nombres non multiples de 5 sont premiers
avec 25. Il y en a 24 – 4 = 20.
8 5 est premier donc premier avec 2 012 qu’il
ne divise pas. Ainsi, d’après le théorème de
Bézout, 2 012x + 5y = 1 a des solutions dans Z.
9 p premier divise n = ab, p divise a ou p ne
divise pas a. Dans ce cas, il est premier avec a,
donc d’après le théorème de Gauss, il divise b.
10
a. Faux : 2 par exemple. b. Vrai si n > 1.
c. Faux : 5 et 7 par exemple. d. Faux : 7 et 9 par
exemple. e. Vrai.
11
a. iii. b. i. c. i.
12
2x ≡ 0[11] et 2 premier avec 11, donc x est
multiple de 11 et x < 100.
x ∈ {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
13
Soit p premier et p > 2, p est premier avec
2, donc x est multiple de p, x < p2.
x ∈ {p, 2p,… (p – 1)p}.
14
60 = 6 × 10 = 22 × 3 × 5 ;
90 = 9 × 10 = 32 × 2 × 5 ;
120 = 2 × 60 = 23 × 3 × 5 ;
140 = 14 × 10 = 22 × 5 × 7.
15
{1, 3, 32, 33, …, 39} de somme
31
2
10 -.
16
72 = 23 × 32,
D72 = {1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72}.
600 = 23 × 3 × 52,
D600 = {1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 5, 10, 20, 40, 15,
30, 60, 120, 25, 50, 100, 200, 75, 150, 300, 600}.
17
Dans cet exercice on a supprimé la question
sur le PPCM.
a. Da = {1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36,
72, 144}.
Db = {1, 3, 9, 5, 15, 45, 25, 75, 225, 125, 375,
1 125}
PGCD(a, b) = 9.
b. PGCD(a, b) = 25.
18
72
60
= 6
5
;
25
257
32
5
¥
¥¥
= 5
27
2
¥
.
19
5
60
7
42
 = 1
12
1
6
 = 1
4
;
3
257
5
237
53
2
¥¥
¥¥
= 37
52
2357
22
2
52
¥ ¥
¥¥¥
= 163
23 520.
20
a. Faux, 5 ne divise pas 1 273.
b. Faux, 3 divise 111 et pas 11 111.
c. Vrai, 172 × 292 = (17 × 29)2.
d. Faux.