resume derivabilite 4e 1

L.S.C.J.Gafsa RESUME DE COURS (Dérivation 4è.) B.Tabbabi
Définition
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dite dérivable en un réel a de I s’il existe un réel l
tel que
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim ( lim )
x a h
f x f a f a h f a
l ou l
x a h
.Dans ce cas l est noté f’(a) et est appelé nombre
dérivé de f en a.
Approximation affine
Si f est dérivable en a alors le réel
( ) '( ) ( )f a hf a est une approximation afiine de f a h 
lorsque
h est voisin de 0 .
Dérivabilité à droite et à gauche
Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dite dérivable en un réel a de I si elle est dérivable à droite
et à gauche de a et
' '
( ) ( )
d g
f a f a
.
Dérivabilité et continuité
Si f est dérivable en a alors f est continue en a .
La réciproque de cette implication est en général fausse.Néanmoins,on peut dire si f est discontinue en a alors
f n’est pas dérivable en a.
Dérivabilité sur un intervalle
f est dite dérivable sur un intervalle ouvert ]a,b[ si elle est dérivable en chacun des points de ]a,b[.
f est dite dérivable sur [a,b] si elle est dérivable sur l’ouvert ,à droite de a et à gauche de b.
Interprétation graphique
.Si f est dérivable en a alors la courbe ( C ) de f admet au point (a,f(a)) une tangente T d’équation cartésienne
'( )( ) ( )y f a x a f a  
.
.Si f est dérivable à droite et à gauche en a avec
' '
( ) ( )
d g
f a f a
alors ( C ) admet au point (a,f(a)) deux
demi-tangentes (on dit que (a,f(a)) est un point anguleux pour ( C )).
.Si
( ) ( )
lim
x a
f x f a
x a
alors ( C ) admet au point (a,f(a)) une demi-tangente verticale .
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction f
Intervalle I
Fonction dérivée f ’
*
; \{1}
n
x x n IN
.
IR
1n
x nx 
*
1;
n
x n IN
x
.
*
I IR
1n
n
xx
sin( )x ax b
IR
cos( )x a ax b
cos( )x ax b
IR
cos( )x a ax b 
tan( )x ax b
,
2 2
k k
;
k
1 tan²( ) cos²( )
a
x a ax b ax b
Opérations sur les fonctions dérivées
f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Fonctions
Intervalle J
Fonction dérivée
f g
J = I
' 'f g
f
;
IR
J =I
'f
fg
J =I
' 'f g fg
1
f
; ( ) 0J x I f x  
'
²
f
f
f
g
; ( ) 0J x I g x  
' '
²
f g fg
g
*
; \{1}
n
f n IN
J=I
1
'n nf f 
*
1;
nn IN
f
; ( ) 0J x I f x  
1
'
n
nf
f
f
; ( ) 0J x I f x  
'
2
f
f

Dérivabilité des fonctions composées
Théorème
Si g est une fonction dérivable sur un intervalle I et f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant
g(I) alors la fonction
f g
est dérivable sur I et pour tout x de I on a :
( )'( ) '( ). ' ( )f g x g x f g x
.
Théorème de Rolle
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que
( ) ( )f a f b
;alors il existe un réel c de
]a,b[ tel que
'( ) 0f c 
.
Théorème des accroissements finis
Soient a et b deux réels tels que a < b.Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ ;alors il
existe un réel c de ]a,b[ tel que
( ) ( )
'( ) f b f a f c b a
.
Inégalités des accroissements finis
Théorème
Soient a et b deux réels tels que a < b.
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ ;s’il existe deux constantes réelles m et M telles que
m
f ’(x)
M pour tout x de ]a,b[, alors
( ) ( )f b f a
m M
b a
.
Corollaire
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ;s’il existe un réel k > 0 tel que pour tout x de I on a
'( )f x k
alors pour tous réels a et b de I on a
( ) ( )f b f a k b a  
.
Sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
f est strictement croissante(resp.strictement décroissante) sur I si et seulement si pour tout x de I on a
f’(x) > 0 (resp.f’(x )< 0).
Remarque
Si
'( ) 0f x 
pour tout x de I et f’ ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I alors f est strictement
croissante sur I.
Si
'( ) 0f x 
pour tout x de I et f’ ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I alors f est strictement
décroissante sur I.
Théorème
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Si f est croissante (resp.strictement croissante) sur]a,b[ alors f est croissante (resp.stritement croissante)
sur[a,b].
Si f est décroissante (resp.strictement décroissante) sur]a,b[ alors f est décroissante (resp.stritement
décroissante) sur[a,b].
Extrêma
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit a un réel de I.
Si f admet un extremum local en a alors f’(a)
0.
Si f’ s’annule en a en changeant de signe alors f admet un extremum local en a.
Point d’inflexion
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et dérivable en un réel a de I.
On dit que le point A(a,f(a)) est un point d’inflexion de la courbe (C) de f si la tangente à (C) en a traverse (C).
Théorème
Soit f une fonction deux fois dérivable un intervalle ouvert I et soit a un réel de I.
Si f ’’ s’annule en a en changeant de signe alors le point A(a,f(a)) est un point d’inflexion de la courbe de f.
Eléments de symétrie d’une courbe
Soit f une fonction définie sur un ensemble D.
.Le point I(a,b) est un centre de symétrie de la courbe de f si pour tout de x de D on a :
(2a-x)
D et f(2a-x)
( ) 2f x b 
.
.La droite
:x a 
est un axe de symétrie de la courbe de f si pour tout de x de D on a :
(2a-x)
D et f(2a-x)
( )f x
.