derivabilite

Novembre 2012
Dérivabilité
EX 1
Dans le graphique ci-dessous c
cc
cf
et
(O,OA ,OB)
, respectivement des fonctions f et g. f est dérivable sur IR et g est dérivable sur
∎ La droite d’équation
= −
y 1
∎
L’axe des abscisses et la droite d’équation
∎
La droite (AB) est une tangente commune de
Cocher la bonne réponse :
1°) f g(0) est égale à : A
−
2°)
( )
f g '(0) est égale à : A
−
3°)
→+∞x
lim g f(x) est égale à : A
−∞
4°)
( )
+
g f IR est égal à : A
[
0,5;
EX 2 Cocher la bonne réponse
:
1°)
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur IR telle que f
A = − g'( 2) 3 B
= −
g'( 2) 6 2
2°) Soit f une fonction d
érivable sur l’intervalle [1
A − ≤ f(3) f(1) 2 B
− ≤ − ≤
3 f(3) f(1) 2
Dérivabilité
MATHEMATIQUES 4 MATHS
et
c
cc
cg
sont les courbes représentatives, dans un repère
, respectivement des fonctions f et g. f est dérivable sur IR et g est dérivable sur
= −
y 1
est asymptote et strictement au-
dessous de
L’axe des abscisses et la droite d’équation
= −x 1
sont des asymptotes de
La droite (AB) est une tangente commune de
cf et cg.
−
1 B 0 C 1
−
1 B 0 C 1
−∞
B 0 C +∞
[
+∞
0,5;
B
[ ]
0,1 C
[ [
0; 1
:
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur IR telle que f
′(−2) = −
3 et g(x) = f(
= −
g'( 2) 6 2
C = g'( 2) 6 2
érivable sur l’intervalle [1
; 3] telle que pour tout x∈ [1 ;
3
− ≤ − ≤
3 f(3) f(1) 2
C − ≤ f(3) f(1) 6
Anis BEN ALI
sont les courbes représentatives, dans un repère
orthonormé
, respectivement des fonctions f et g. f est dérivable sur IR et g est dérivable sur
{ }
− IR \ 1 .
dessous de
cf.
sont des asymptotes de
cg.
3 et g(x) = f(
−x2) Alors :
3
] ; − ≤ ≤3 f '(x) 2
ANIS BEN ALI

3°) Le graphique ci-
dessous représenté la courbe
tangentes verticales à c
aux points d’abscisses 0 et 3.
A
→= x 0
f(x)
lim 0
x
B
→x 0
f(x)
lim
x
EX 3
Soit la fonction f définie sur
π
0;
2
par
1)
Justifier la dérivabilité de f sur
2)
Justifier que f est strictement décroissante sur
3) Montrer que l’équation
( )
f x x
EX 4 Soit f la fonction définie sur
1)
Montrer que f est dérivable sur
2) Montrer que pour tout
π
∈
t 0,
4
3) Montrer que pour tout
π
∈
x 0,
4
EX 5
Soit h la fonction définie sur
[ [
+∞
1,
1)
Montrer que h est strictement croissante sur
2) Soit α
l’unique solution de l’équation h(x)=0. Montrer que
3) Soit f la fonction définie sur
[
1,
a)
Déterminer f’(x) puis vérifier que pour tout
b) En déduire que pour tout
dessous représenté la courbe
c
d’une fonction f définie sur IR.
aux points d’abscisses 0 et 3.
= −∞
f(x)
x
C
→
= −∞
−
x 3
f(x)
lim x 3
par
( ) ( )
= πf x Cos .Sinx .
Justifier la dérivabilité de f sur
π
0; 2 et calculer
( )
f ' x .
Justifier que f est strictement décroissante sur
π
0; 2.
=
f x x
admet une unique solution α
dans l’intervalle
π
0, 4 par
( )
=+1 f x 1 cosx .
Montrer que f est dérivable sur
π
0, 4 et calculer
( )
f ' x .
π
t 0,
4
,
( )
≤ ≤ 2 0 f ' t 2.
π
x 0,
4
, ≤ ≤ +
+
1 1 1 2 x
2 1 cosx 2 2 .
par
( )
= − −
3
h x x x 1.
Montrer que h est strictement croissante sur
[ [
+∞1, puis déterminer
[
(
h 1,
l’unique solution de l’équation h(x)=0. Montrer que
α+
=α
α1.
[
+∞
1,
par
( )
+
=x 1 f x x.
Déterminer f’(x) puis vérifier que pour tout
[ [
∈ +∞x 1, ,
( )
− ≤ ≤
1
f ' x 0
2
.
( )
−
≥ α + α ≤ ≤ α
x 3
x , f x
2 2 .
d’une fonction f définie sur IR.
T1 et T2 sont deux
dans l’intervalle
π
0; 2.
[
)
+∞
h 1,
.
f ' x 0
.
ANIS BEN ALI

EX 6
Soit f la fonction définie sur [0 ;
π
2
[
1)
Montrer que f est une fonction dérivable sur [0
2) a)
Montrer que, pour tout n de IN*, il existe un réel
  − =
  n
1
n f f(0) f '(U ).
n
(On admet que
b) Déterminer →+∞ n
n
lim U .
c)
Vérifier que, pour tout entier n de IN*, on a
d) En déduire →+∞ n
n
lim n f '(U ).
EX 7
Dans le graphique ci-dessus : c
cc
c
et
d’une fonction f dérivable sur IR et de sa fonction dérivée f
∎
Une branche parabolique de direction l’axe des ordonnés au voisinage de +
∎ Une asymptote d’équation y =
0 au voisinage de
∎ Le point A(1 ; 7
3) appartient à
Γ
ΓΓ
Γ
1°) Par une lecture graphique :
a) Déterminer parmi les courbes c
cc
c
par : =1 f(x) cosx .
Montrer que f est une fonction dérivable sur [0
;
π
2[ et déterminer f '(x).
Montrer que, pour tout n de IN*, il existe un réel
n
U
élément de l’intervalle ]0
(On admet que
n
Uest unique )
Vérifier que, pour tout entier n de IN*, on a
:
− 
= ×
n2
1
1 cos
1
n
n f '(U )
1
1
cos
n
n
et
Γ
ΓΓ
Γ
sont les courbe représentative dans un repère orthonormé
d’une fonction f dérivable sur IR et de sa fonction dérivée f
′.
Chacune de deux courbe
Une branche parabolique de direction l’axe des ordonnés au voisinage de +
∞.
0 au voisinage de
−∞.
Γ
ΓΓ
Γ
.
et Γ
ΓΓ
Γ celle qui représente la fonction f.
élément de l’intervalle ]0
; 1
n[ tel que :
1
1
n
sont les courbe représentative dans un repère orthonormé
(O,i ,j)
Chacune de deux courbe
c
cc
c et Γ
ΓΓ
Γ possède :
∞.
ANIS BEN ALI

C
1
C
2
2 3-1-2-3-4-5-6-7-8-9
2
3
4
5
-1
-2
0 1
1
x
y
C1
C2
2 3-1-2-3-4
2
-1
0 1
1
x
y
A
B
C
I
K
E
b) Déterminer : f(0) ; →−∞x
lim f(x)
; →+∞x
lim f(x)
;
→+∞x
f(x)
lim
x
;
→
−
x 0
f(x) 1
lim
x
;
→
−
−
x 1
3f(x) 7
lim
3x 3
c) Dresser le tableau de variation de f.
2°) a) Prouver que l’équation f(x) = x admet dans [0 ;1] une solution unique α.
b) Montrer que pout tout x∈ [0 ;1] ,
−α ≤ −α
1
f(x) x
5
.
3°) Soit u la suite définie sur IN par :
[
]
∈
=
0 ; 1
0
n+1 n
u
u f(u )
a) Montrer que pour tout n ∈IN on a :
≤ ≤1
n
u0
b) Montrer que pour tout n ∈IN on a :
+
−α ≤ −α
n 1 n
|u | |u |
1
5 et que pour tout n ∈ IN on a :
−α ≤
n
n
1
5
|u |
c) En déduire que (un) converge et calculer sa limite.
EX 8
On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction f deux fois dérivables sur IR,et celle de sa dérivée f ’.
On suppose que : ∎ Au voisinage de -∞, la courbe de f a une asymptote y=0 .
∎ Au voisinage de +∞, la courbe de f a une branche parabolique de direction (Oy).
VUE GLOBALE
VUE LOCALE
ANIS BEN ALI

− −
7 3 3 1
A(-3, ) B(-3,0) C(0, ) E(
,1) K(0, ) I(1,0)
4 4 4 2
Partie A-
1) a- Justifier que C1 est la courbe de f.
b- Calculer : −
→−∞ → ∞
→3
x x +
x 4
1 1 1
lim , lim et lim
fof(x) fof(x) fof(x)
2) a-Montrer que :
→ → →x 1 x -3 x 0
f(x) 4f(x)-7 2f(x)-1 3
lim = 0 , lim = 0 et lim = -
x-1 x+3 x 2
b- Donner les variations de f’ sur [-3 , 1].
c- En déduire que, pour tout x ∈ [-3 , 1 ]:
≤
3
f '(x)
4
.
3) a- Montrer que le point K est un point d’inflexion pour C1
b- Ecrire une équation de la tangente T à C1 au point K.
Partie B-
1) Montrer que l’équation : f(x) = x , admet une solution unique a dans [-3 , 1]et que : 0 < a < 1.
2) On définit la suite réelle (Un) par Uo = 0 et Un+1 = f(Un) pour tout n∈ IN.
a- Montrer que pour tout n∈ IN , 0 ≤ Un ≤ 1.
b- Montrer que pour tout n∈ IN , ≤
n+1 n
3
U - a . U - a
4
c- En déduire que pour tout n∈ IN , ≤
n
n3
U - a ( )
4
d- Montrer que la suite (Un) est convergente, et donner sa limite.
e- Trouver un entier N tel que a soit une valeur approchée de UN à 10-2 près.
EX 9
Soit f une fonction dérivable sur
[
]
−
2,3
telle que f (-2) = 1 et f (3) = 6 .L’équation f’(x)=1 admet au moins
une solution dans
[
]
−
2,3
.
1) Dans un repère orthogonal la courbe représentative de la fonction :
(
)
(
)
− +
2
x 2x x x 1
֏ admet
exactement deux tangentes horizontales.
EX 10
Soit
(
)
= +
f x x 1
.
1) Montrer que la fonction f ’ est strictement décroissante sur
[
]
0,1
.
2) Soit
[
]
∈
a 0,1
.Montrer que
≤ + − ≤
+
a a
a 1 1
2
2 a 1 .
ANIS BEN ALI