c2 eg1 2

CHAP 2: Fonctions numériques d’une variable réelle
Ilham HAMOUD BOULALEH
Université de Djibouti
Enseignante en Mathématique
EG 1 Mathématique 1: ANALYSE
Année 2013-2014
I.Hamoud Boulaleh ( )
ANALYSE
EG 1 Mathématique 1: ANALYSE Année 201
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Sommaire
1
2
3
4
5
6
Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )
ANALYSE
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Sommaire
1
2
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4
5
6
Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
I.Hamoud Boulaleh ( )
ANALYSE
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Notion de fonction
Une fonction est un procédé, à une association entre des éléments
d’un ensemble de départ et des éléments d’un ensemble d’arrivée. Une
fonction associe à chaque élément de l’ensemble de départ un ou
aucun (mais pas plus d’un) élément de l’ensemble d’arrivée. Dans
cette association, l’élément considère x de l’ensemble de départ est
appelée un antécédent et l’élément de l’ensemble d’arrivée est appelée
l’image.
Le domaine de définition d’une fonction f , notée Df est l’ensemble de
tous les éléments de l’ensemble de départ qui ont une image par la
fonction f .
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ANALYSE
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Sommaire
1
2
3
4
5
6
Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
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ANALYSE
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Dérivées
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0 , f est dite
dérivable en x0 .
(x0 )
existe et est un nombre réel, cette limite est
Si lim f (x0 +h)−f
h
h→0
appelée nombre dérivée de f en x0 et se note f 0 (x0 ).
Remarque
On a aussi :
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
I.Hamoud Boulaleh ( )
f (x) − f (x0 )
x − x0
ANALYSE
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Approximation affine
Une fonction est dérivable en x0 s’il existe une fonction affine de
x − x0 qui réalise une approximation de f au voisinage de x0 ,
lim
x→x0
⇔
avec
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
x − x0
f 0 (x) = f (x) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + (x − x0 )(x − x0 ),
lim (x − x0 ) = 0
x→x0
De même :
lim
h→0
⇔
avec
I.Hamoud Boulaleh ( )
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
h
f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + h(h)
lim (h) = 0
h→0
ANALYSE
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Approximation affine
Au voisinage de x0 , on a :
f (x0 + h) ' f (x0 ) + hf 0 (x0 ) pour h très proche de x0 .
f (x) ' f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) pour tout x très proche de x0 .
Exercice : Calculer à la main une valeur approchée de ln(1.002).
f (x) = ln(x), f 0 (x) =
x0 + h
f (x0 + h)
=
1
x
et x0 = 1
1.002 ⇒ 1 + h = 1.002 ⇒ h = 1.002 − 1 ⇒ h = 0.002
f (x0 ) + hf 0 (x0 ) ⇒ f (1 + 0.002) = f (1) + 0.002 × f 0 (1)
1
⇒ f (1.002) = f (1) + 0.002 ×
1
⇒ ln(1.002) = ln(1) + 0.002
=
⇒ ln(1.002) = 0.002
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Dérivée et Tangente
Définition
La tangente T à une courbe Cf en point M0 , si elle existe, est la
droite qui réalise la meilleure approximation de la courbe en M0 . Si Cf
est la courbe d’une fonction f et si T la tangente (non verticale) à Cf
en M0 (x0 , f (x0 )), T est la droite de la meilleure approximation affine
de f au voisinage de x0 . L’équation de T est alors :
y = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 )
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Fonction dérivée
Définition
Soit f une fonction définie sur I. On dit que f est dérivable sur I si
elle est dérivable en tout x de I. L’application qui à tout x de I
associe f 0 (x), le nombre dérivée de f en x , est appelée la fonction
dérivée de f notée f 0 .
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Dérivée à connaı̂tre
Fonction
f (x) = K
f (x) = x n
f (x) = x1n
√
f (x) = x
f (x) = e x
f (x) = ln(x)
f =u+v
f =K u
f = uv
f = vu
f = un
f = u1
√
f = u
f =
1
un
I.Hamoud Boulaleh ( )
Dérivée
f 0 (x) = 0
f (x) = nx n−1
f (x) = x−n
n+1
f 0 (x) = 2√1 x
f 0 (x) = e x
f 0 (x) = x1
f 0 = u0 + v 0
f 0 =K u 0
f 0 = u 0 v + uv 0
0
0
f 0 = u vv−uv
2
f 0 = nu 0 u n−1
0
f 0 = − uu2
u0
f 0 = 2√
u
Domaine de dérivabilité
R
R
R∗ = R − {0}
R∗+
R
R∗+
0
f 0 = − unu
n+1
ANALYSE
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Théorème
Soit f une fonction dérivable sur I et g dérivable sur f (I). Alors g ◦ f
est dérivable sur I.
(g ◦ f )0 (x) = f 0 (x) × g 0 (f (x)
Exemple :
f (x) = x 2 + 3 → f 0 (x) = 2x
√
1
g (x) =
x → g 0 (x) = √
2 x
g ◦ f (x) = g (f (x)) =
p
x2 + 3
1
(g ◦ f )0 (x) = f 0 (x) × g 0 (f (x)) = 2x × p
2 f (x)
1
x
(g ◦ f )0 (x) = 2x × √
=√
2 x2 + 3
x2 + 3
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Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur I.
Si f 0 (x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I ;
Si f 0 (x) ≤ 0 sur I, alors f est décroissante sur I ;
Si f 0 (x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.
Si f 0 (x) s’annule en x0 , on changera de signe, alors f adùet un
extremum local en x0 c-a-d un minimum local ou maximum local.
Théorème
1- Si f admet sur I une dérivée seconde positive (f ”(x) ≥ 0) sur I,
alors f est convexe.
2- Si f ”(x) ≤ 0 sur I, alors f est concave sur I.
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Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
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Primitives :Définition et proprièté
Soit F et f deux fonctions définies sur I. F est une primitive de f sur
I, alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme F +constante.
Exemple :
f (x) = 2x
Toutes les primitives de f sur R sont de la forme x 7→ x 2 + k.
Théorème
Si f est continue sur I, alors f admet des primitives sur I.
Théorème
Si f est une fonction continue sur I et x0 ∈ I, alors il existe une et
une primitive F tels que F (x0 ) = y0 pour tout x0 ∈ I et y0 ∈ R.
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Intégrale : Définition et proprièté
Soit f une fonction continue sur [a, b], f est intégrable sur [a, b] et
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a) où F est la
l’intégrale de f sur [a, b] est
a
primitive de f sur [a, b].
Exemple :
Z 2
2x dx = F (2) − F (1) = 4 − 1 = 3
1
f (x) = 2x → F (x) = x 2
Théorème
Z x
Si f est continu sur [a, b], la fonction F (x) =
primitive de f qui s’annule en a.
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f (t) αt est la
a
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Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
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Formule de Taylor-Young
On sait qu’une fonction est dérivable etadmet f 0 (x) comme nombre
dérivé en x0 si et seulement si :
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) ⇔ f (x0 +h) = f (x0 )+hf 0 (x0 )+h(x0 )
h
avec lim (h) = 0
h→0
Théorème
Si une fonction f admet des dérivées jusqu’à l’ordre n en x0 alors il
existe un intervalle I contenant x0 tel que : ∀h ∈ I,
h
h2
h3
hn
f (x0 +h) = f (x0 )+ f 0 (x0 )+ f ”0 (x0 )+ f 3 (x0 )+...+ f n (x0 )+hn (h)
1
2
3!
n!
avec lim (h) = 0.
h→0
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Developpements limités usuels
Voici les principaux D.L au voisinage de 0 à connaı̂tre :
1
1−x
= 1 + x + x 2 + ... + x n + x n (x)
x2
xn
+ ... +
+ x n (x)
2
n!
xn
x2 x3
+
+ ... + (−1)n−1 + x n (x)
ln(1 + x) = x − x
2
3
n
2
α(α − 1)(α − 2)x 3
α(α − 1)x
+
+ ...
(1 + x)α = 1 + αx +
2!
3!
α(α − 1)(α − 2)...(α − (n − 1)) n
+
x + x n (x)
n!
ex
= 1+x +
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Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
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6
Notion de fonction
Dérivées
Approximation affine
Dérivée et Tangente
Fonction dérivée
Dérivée d’une fonction composée
Variation
Primitives
Intégrale
Développements limités
Formule de Taylor-Young
Developpements limités usuels
Fonction logarithme, exponentielle, puissance
Fonction Logarithme
Logarithme de base a
Fonction exponentielle
Fonction puissance
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Fonction logarithme
Définition
On appelle fonction logarithme néperien, notée la primitive sur
]0, +∞[ de la fonction x 7→ x1 qui s’annule en 1.
Propriètés :
⇒ ln1 = 0, ln(e) = 1
⇒ ln(a + b) = ln(a) × ln(b);
ln( ba ) = ln(a) − ln(b) ;
ln(an ) = n × ln(a) ;
ln( 1a ) = −ln(a)
⇒ lim ln(x) = −∞
x→0
lim ln(x) = +∞
x→+∞
lim ln(x ) = 0
x→+∞ x
lim x n ln(x) = 0 ; lim ln(1+x)
x
x→0
x→0
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=1
ANALYSE
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Logarithme de base a
Définition
Soit a un réel strictement positif et différent de 1 ( a > 0 et a 6= 1).
Le logarithme de base a est la fonction définie sur ]0, +∞[ et noté
loga :
ln(x)
loga (x) =
ln(a)
Exemple :
f (x) = log5 (x). Calculer f 0 (x). Nous avons f (x) =
1
1
f 0 (x) = x1 × ln(5)
= xln(5)
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ANALYSE
ln(x)
ln(5)
;
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Fonction exponentielle
Définition
la fonction ln est une fonction bijective de ]0, +∞[ dans R. Elle
admet une fonction réciproque. Sa réciproque est appelée fonction
exponentielle de base e et est notée exp(x) ou e x .
Propriètés :
e 1 ' 2.718; e 0 = 1
e ln(x) = x et ln(e x ) = x
e x+y = e x e y
e −x = e1x
(e x )n = e nx
lim e x = 0 et
x→−∞
x
lim e n
x→+∞ x
x
lim e x−1
x→0
lim e x = +∞
x→+∞
= +∞
=1
I.Hamoud Boulaleh ( )
ANALYSE
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Exponentielle de base a
Définition
Soit a > 0 et a 6= 1. La fonction log est une fonction bijective de
]0, +∞[ dans R. Elle admet une fonction réciproque appelée fonction
exponentielle de base a notée expa (x) ou ax .
loga (ax ) = x et aloga (x) = x
x
ax = e ln(a ) = e xln(a)
Exemple :
f (x) = (0.7)x
Calculer la dérivée de f .
f 0 (x) = ln(0.7)e xln(0.7)
I.Hamoud Boulaleh ( )
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Fonction puissance et propriètés
Définition
Pour tout réel α, on appelle fonction puissance α la fonction fα
définie sur ]0, +∞[ par fα (x) = x α = e αln(x) .
Propriètés :
x n+m = x n × x m
x −n =
1
xn
n
x n−m = xxm
(xy )n = x n
I.Hamoud Boulaleh ( )
× yn
ANALYSE
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