Introduction à l`optique ondulatoire Les points du

physique
année scolaire 2016/2017
Introduction à l'optique ondulatoire
Les points du cours à connaître
mardi 6 décembre 2016
I-
Onde lumineuse
1. Sources lumineuses
Durée et longueur de cohérence temporelle (dénition)
2. Amplitude et intensité de l'onde lumineuse
Intensité de l'onde (dénition)
3. Propagation de l'onde
Chemin optique (dénition)
Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique (dénition)
4. Divers type d'ondes
Théorème de Malus (dénition)
5. Applications du chemin optique en optique géométrique
Stigmatisme (dénition)
II-
Phénomène d'interférence
1. Les conditions d'interférence
Condition d'interférence et cohérence temporelle (dénition)
Condition d'interférence et cohérence spatiale (dénition)
Condition d'interférence sur les trains d'onde (dénition)
2. Interférences de deux ondes synchrones
Formule de Fresnel (dénition)
Relation entre déphasage et diérence de marche (dénition)
3. Dispositif des trous d'Young
4. Franges
Franges claires et sombres, interférences constructives et destructives (dénition)
spé PC
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Ordre d'interférence (dénition)
Interfrange (dénition)
5. Contraste
Contraste ou visibilité des franges (dénition)
spé PC
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Techniques à maîtriser
jeudi 8 décembre 2016
I-
Les capacités exigibles
1. Calculs de chemins optiques
ce qu'il faut savoir faire capacités
Associer la grandeur scalaire de l'optique à une composante d'un champ électrique.
Exprimer le retard de phase en un point en fonction du retard de propagation ou du chemin optique.
2. Calculs de diérences de marche
ce qu'il faut savoir faire capacités
Utiliser l'égalité des chemins optiques sur les rayons d'un point objet à son image.
Associer une description de la formation des images en termes de rayon lumineux et en termes de surfaces
d'onde.
3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young
ce qu'il faut savoir faire capacités
Relier l'intensité à la moyenne temporelle du carré de la grandeur scalaire de l'optique.
Citer le temps de réponse de l'÷il. Choisir un récepteur en fonction de son temps de réponse et de sa
sensibilité fournis.
Établir la formule de Fresnel. Citer la formule de Fresnel et justier son utilisation par la cohérence des
deux ondes. Associer un bon contraste à des intensités I1 et I2 voisines.
Justier l'additivité des intensités dans le cas de deux ondes incohérentes entre elles.
Savoir que les franges ne sont pas localisées dans le cas des trous d'Young.
Dénir, déterminer et utiliser l'ordre d'interférences.
Interpréter la forme des franges observées sur un écran éloigné parallèle au plan contenant les trous
d'Young.
II-
Méthodes
1. Calculs de chemins optiques
A) Calculer un chemin optique méthode
−
~k.→
d` =
+ ϕsup .
Le calcul de chemin optique revient à évaluer la distance dans un milieu LHI et la multiplier par l'indice
optique du milieu, sachant qu'il y a égalité de chemin optique entre deux points conjugués.
NB : il y a égalité de chemin optique entre un point A et deux points B et B 0 sur le trajet de la lumière
depuis A, si B et B 0 sont sur la même surface d'onde (qui est un plan à l'inni).
∆ψO→M =
spé PC
RM
O
2π
λ0 (OM )
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2. Calculs de diérences de marche
B) Appliquer le théorème de Malus méthode
Sur le schéma ci-contre, le point d'observation
M étant dans le plan focal image, il est conjugué avec l'inni.
Du point de vue de l'optique géométrique, les
rayons issus de S1 et S2 qui aboutissent en M
sont parallèles (et parallèles au rayon ctif qui
passerait par le centre de la lentille sans être
dévié).
Du point de vue de l'optique ondulatoire,
comme H est le projeté orthogonal de S1 sur le
rayon issus de S2 , H et S1 sont dans le même
plan d'onde.
Ainsi, (S1 M ) = (HM ) d'après le théorème de
Malus.
3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young
C) Déterminer l'interfrange méthode
Une fois écrit l'intensité lumineuse grâce à la formule de Fresnel sous la forme
I = I1 + I2 + 2
p
x
I1 I2 cos 2 π + ϕ0
i
l'interfrange i apparaît naturellement.
III-
Exercices
1. Calculs de chemins optiques
1.1) Calcul de chemin optique dans le cas d'une lentille
Soient A et A0 deux points sur l'axe d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f 0 , de centre O. On
connait 0A.
1) Déterminer le chemin optique (AA0 ).
2) En déduire (AH), si H est un point sur la lentille à une distance h de l'axe, du côté de A0 .
1)
(AA0 ) = − f 00A
+ (n − 1) .e.
+0A
2)
2
2
(AH) =
− f 00A
+0A
s
+ (n − 1) .e −
h2
+
0A.f 0
f 0 +0A
2 .
1.2) Calcul de chemin optique dans le cas d'un foyer
Soit F le foyer objet d'une lentille d'épaisseur e d'indice n de focale f 0 , de centre O.
1) Déterminer le chemin optique (AB), où B est accolé à la lentille, sur l'axe de la lentille, côté image.
2) Même question pour C , accolé à la lentille, à une distance h de l'axe de la lentille, côté image.
(AB) = (AC).
spé PC
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1.3) Calcul de chemin optique dans le cas d'un miroir plan
Soit A un point ayant pour symétrique A0 par rapport à un miroir plan M .
1) Déterminer le chemin optique (AP ), où P est est un point atteint par la lumière après réexion sur M .
(AP ) = A0 P .
1.4) Le pêcheur et le poisson
Un pêcheur (H ), dont les yeux sont à HS = 1, 20m au dessus de l'eau (d'indice n = 1, 33), regarde verticalement un poisson P situé à SP = 0, 60m au dessous de l'eau.
1) A quelle distance d1 le pêcheur voit-il le poisson ?
2) A quelle distance d2 le poisson voit-il le pêcheur ?
d1 = 1, 65m et d2 = P S + n.SH = 2, 20m.
1.5) Limitation du taux de transfert d'une bre optique
Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargissement temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations
à grande distance. En eet, les rayons lumineux d'inclinaisons diérentes n'ont pas le même chemin à parcourir
dans la bre, donc leur temps de parcours est variable.
1) Calculer la diérence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une bre optique
de longueur L = 10km, l'un sur l'axe de la bre et l'autre incliné de θ = 20◦ par rapport à celui-ci.
2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle bre par unité de temps ?
∆t = 3, 2µs et la fréquence des bips doit être f < N = 0, 31M Hz .
2. Calculs de diérences de marche
2.6) Calcul de chemin optique dans le cas des trous d'Young à distance nie
On s'intéresse à deux sources
qui sont à une
distance a = S1 S2 , l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs
coordonnées sont S1 − a2 , 0, 0 et S2 + a2 , 0, 0 .
Le plan d'observation est le plan z = D, D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation
M a pour coordonnées (x, y, D).
Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.
1) Déterminer le chemin optique (S1 M ).
2) En déduire (S2 M ).
3) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S1 M ) − (S2 M ) ?
∆≈
x.a
D .
2.7) Calcul de chemin optique dans le cas des trous d'Young à distance innie
On s'intéresse à deux sources
qui sont à une
distance a = S1 S2 , l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs
coordonnées sont S1 − a2 , 0, 0 et S2 + a2 , 0, 0 .
Le plan d'observation est le plan focal d'une lentille convergente de focale f 0 . Un point d'observation M a
pour coordonnées (x, y, D).
Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.
1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (S1 M ) − (S2 M ) ?
∆ = − a.x
f0 .
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2.8) Calcul de chemin optique dans le cas du réseau
On s'intéresse à une onde plane issue de S à l'inni faisant un angle αi avec l'axe Oz . L'onde est incidente
sur un plan orthogonal à Oz contenant deux trous qui sont à une distance a = S1 S2 , l'un de l'autre sur l'axe
Ox. On observe l'onde plane émergente qui fait un angle αe avec l'axe Oz en M , à l'inni.
Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.
1) Que vaut la diérence de chemin optique ∆ = (SS1 M ) − (SS2 M ) ?
∆ = a. (αe − αi ).
2.9) Diérence de marche en lame d'air
On s'intéresse aux deux miroirs parallèles distants de e, le premier miroir traversé par la lumière rééchissnt
une partie de celle-ci, et laissant passer l'autre partie. On repère la position sur l'écran à partir du foyer F 0 avec
le rayon r. Si la focale de la lentille est f 0 , θ = fr0 est l'angle que font les rayons qui vont interférer avec l'axe
optique. Montrer que la diérence de marche en r vaut ∆ = 2.e. cos θ.
∆ = 2.e. cos θ = 2.e 1 −
θ2
2
.
3. Intensité lumineuse sur un écran éclairé par les trous d'Young
3.10) Trous d'Young sans diraction
Une source ponctuelle S0 (en (0, 0, −l0 )) monochromatique (de longueur d'onde λ) éclaire un écran opaque
(placé en z = −D, où D < l0 ) est percé de deux trous ponctuels S1 (en ( a2 , 0, −D)) et S2 (en (− a2 , 0, −D)). On
observe les inteférences sur un écran en z = 0.
1) Calculs généraux :
On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I0 . On néglige donc le
phénomène de diraction.
1.a) Exprimer l'éclairement E en fonction de ∆, la diérence de marche au point M et I0 .
1.b) Déterminer la diérence de marche ∆ pour le point M placé en (x, y, 0).
2) On suppose de plus que D |x| et D |y|.
2.a) Grâce à un développement limité, simplier l'expression de ∆.
2.b) En déduire la forme des franges.
2.c) Quelle est l'interfrange i ?
∆ = S1 M − S2 M =
q
x−
a 2
2
+ y2 + D2 −
q
x+
a 2
2
+ y 2 + D2 et i =
λ.D
a .
3.11) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à distance nie
On s'intéresse à deux sources
qui sont à une
distance a = S1 S2 , l'une de l'autre sur l'axe Ox. Ainsi, leurs
coordonnées sont S1 − a2 , 0, 0 et S2 + a2 , 0, 0 .
Le plan d'observation est le plan z = D, D est donc la distance des sources à l'écran. Un point d'observation
M a pour coordonnées (x, y, D).
Le milieu de propagation est l'air d'indice n = 1.
1) Montrer que la diérence de marche en fonction de x est
∆ = ∆0 +
x.a
D
où ∆0 est une constante.
2) En déduire que les franges sont rectilignes, parallèles à Oy.
3) Montrer que l'interfrange est i = λ.D
a .
4) Pour visualiser à l'÷il nu les franges, il faut que l'interfrange soit susant, c'est à dire i > 100µm. Qu'est
ce que cela impose sur a ?
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1) ∆ = ∆0 + x.a
D
2) Les franges sont rectilignes, parallèles à Oy. i = λ.D
a .
3) a < 2, 5mm D.
3.12) Franges rectilignes dans le cas d'une visualisation à l'inni
On s'intéresse à la visualisation des interférences dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f 0 .
1) Montrer que la diérence de marche est
∆ = ∆0 −
a.x
f0
où ∆0 est une constante.
2) En déduire que les franges sont donc rectilignes,
parallèles à Oy , comme précédemment.
λ.f 0
3) Montrer que l'interfrange est : i = a .
Les franges sont donc rectilignes, parallèles à Oy , comme précédemment.
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Travaux dirigés
vendredi 9 décembre 2016
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
L'épaisseur des verres de lunettes
Extraits de
http ://www.lunettes-experoptic.fr/verres-lunettes.htm
De quoi dépend l'épaisseur des lunettes ?
Lors du choix d'une paire de lunettes, l'épaisseur des verres de
lunettes est un critère majeur. Des verres épais sont esthétiquement
peu avantageux et surtout plus lourds.
L'épaisseur dépend de :
• La puissance de la correction
• L'indice du matériau
• La sculpture du verre
L'indice évalue la capacité du matériau à "tordre" les rayons lumineux. A correction égale, plus l'indice sera élevé et plus le verre
correcteur sera n. Nos verres Standards sont des verres d'indice 1,5
Enoncé
Evaluer l'épaisseur d'une lentille convergente de diamètre 6 cm et de focale 40 cm.
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Devoir non surveillé
vendredi 9 décembre 2016
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
Les découvertes de Galilée et le
Dioptricae
de Kepler
Kepler le musicien du ciel - Les génies de la sciences - Belin Pour la Science
Anna Maria Lombardi
L'importance, pour les partisans du système copernicien, des observations
réalisées par Galilée à l'aide de la lunette pousse Kepler à rédiger, en 1610, le
premier traité moderne d'optique.
Début 1610, la communauté des astronomes est secouée par une découverte révolutionnaire : Galileo Galilei
a rendu publiques ses observations de quatre nouveaux objets célestes qui tournent autour de Jupiter. Kepler est
ébranlé par cette nouvelle que son ami Wackher von Wackenfels (auquel l'astronome a dédicacé un intéressant
traité sur la raison pour laquelle les cristaux de neige ont des formes régulières) lui a transmise. Les deux amis
entament sans tarder une discussion sur la nature possible des quatre corps célestes. Selon von Wackenfels, il
s'agit de nouvelles planètes du Système solaire, tandis que, pour Kepler, les quatre objets ne peuvent être que
des satellites d'une autre planète : il ne peut exister que six planètes !
Le Sidereus Nuncius (Le Messager céleste), publié le 4 mars de la même année, relate les sidérantes (et
sidérales) observations eectuées par Galilée lors des automne et hiver précédents. On y lit que la Voie lactée
n'est que l'eet d'ensemble produit par une multitude d'étoiles, que la surface de la Lune, bien loin d'être une
sphère brillante et lisse, est piquetée de montagnes, et que les objets dius que l'on distingue à l'÷il nu dans le
ciel sont des amas stellaires. Surtout, Galilée annonce que Jupiter possède, comme la Terre, des satellites, dans
ce cas au nombre de quatre. Le coup est dur pour les partisans d'Aristote et de Ptolémée.
Le 8 avril, Kepler reçoit, par l'intermédiaire de Julien de Médicis, le livre Sidereus Nuncius, accompagné
d'une lettre où Galilée le prie instamment d'exprimer son opinion sur l'ouvrage. Si Galilée tenait vraiment au
soutien de Kepler, il paraît étrange qu'il ait été si indiérent à ses demandes pressantes et ne lui ait pas fait
parvenir de lunette. Kepler a nalement l'occasion de contrôler les découvertes de Galilée grâce à l'Electeur
Ernst de Cologne, duc de Bavière. Celui-ci se rend à Prague pour discuter avec d'autres princes des divergences
entre le Duc Rodolphe et son frère Matthias - divergences qui déboucheront sur la guerre de Trente Ans - et
emporte avec lui un bon instrument qu'il prête quelques jours à l'astronome. Kepler observe le ciel avec la lunette
de l'Électeur les soirs du 30 août au 9 septembre 1611. Il consigne ses observations dans un rapport intitulé
Narratio de Jouis satellibus. Tous les observateurs présents, raconte-t-il, ont noté à la craie sur un tableau ce
qu'ils ont vu. Les diérents comptes rendus ont été comparés : ils conrment les armations du Nuncius. Le
Narratio est publiée à Florence la même année et devient un témoignage supplémentaire en faveur de Galilée.
Kepler tirera un autre prot de la lecture du Nuncius. Galilée, dans l'introduction de son livre, donne une
première et vague explication du grossissement permis par la lunette, ce qui incite Kepler à traiter de façon
systématique, par la méthode de l'optique géométrique, les problèmes liés aux lentilles et à leur combinaison.
Nombre de ses successeurs verront dans le livre qui rassemble ces études le premier traité d'optique moderne.
Kepler écrit le premier ouvrage d'optique géométrique
L'÷uvre, rédigée entre août et septembre 1610 et imprimée en 1611, est intitulée Dioptricae, en référence à
l'astronome Geminus qui a utilisé ce terme pour qualier l'observation eectuée avec des instruments optiques
tels que le dioptre. La place consacrée au fonctionnement des lentilles mérite d'être soulignée : au début du XVIIe
siècle, il est presque inconvenant qu'un philosophe naturel, tenu d'étudier les phénomènes réels, s'interroge sur le
fonctionnement des lentilles. Les miroirs ou les sphères, gures parfaites, méritent l'intérêt des scientiques ;
mais quel bénéce tirerait un chercheur rationnel d'un objet tel que la lentille, qui est de forme hybride et
qui déforme l'image du monde ? Les lentilles sont laissées aux lunetiers ou, si l'on en croit le succès du De
magia universalis (1593) de Délia Porta, à qui veut stupéer et émerveiller un auditoire à l'aide de tours et
d'artices : les lentilles sont des instruments destinés au magicien, et non au scientique. Au début du XVIIe
siècle, même un dispositif qui nous paraît scientique par excellence, telle la lunette astronomique, est, pour
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nombre de personnes, un instrument trompeur : il altère la réalité et ne peut être compté parmi les moyens
de connaissance sérieux.
Galilée ne s'est pas attardé sur le mécanisme par lequel ses instruments donnent un certain grossissement,
et les premières lunettes astronomiques sont construites par les artisans qui fabriquent les lunettes de vue.
Les observations qu'il eectue en automne 1609 bouleversent cette convention. Les résultats exceptionnels qu'il
obtient à l'aide de sa lunette attirent l'attention des esprits les plus rationnels sur la théorie des lentilles, suscitant
une compétition entre ceux qui commencent à se spécialiser dans la construction de divers types de lunettes.
La première ÷uvre qui place l'étude des lentilles parmi les vraies sciences sous le nom de Dioptrique n'est
autre que le Dioptricae de Kepler. Le livre est constitué d'une succession de 141 théorèmes, classés en quatre
catégories diérentes : les dénitions, les axiomes (théorèmes qui ne nécessitent pas de démonstration), les problèmes (théorèmes étayés par une démonstration expérimentale) et les propositions (théorèmes qui découlent
d'axiomes et de dénitions via des démonstrations fondées sur la logique aristotélicienne). Dans le Dioptricae,
Kepler reprend de nombreux thèmes déjà abordés dans l'Optica, mais dans un langage plus dépouillé et rigoureux. Outre la présentation approfondie de thèmes, par exemple articulés autour de la réfraction, signalons aussi
de nouvelles avancées, telle la découverte de la réexion totale. Kepler, expérimentant divers prismes, remarque
l'existence d'un angle de réexion totale : si l'angle d'inclinaison du rayon est supérieur à cette valeur, la lumière
ne traverse plus le cristal et est entièrement rééchie.
Le point central du Dioptricae reste l'étude des phénomènes liés aux lentilles. À l'aide de l'optique géospé PC
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métrique, Kepler explique comment on grossit ou réduit une image grâce à un choix adéquat de lentilles. En
particulier, après avoir reconstitué le schéma optique de la lunette galiléenne, il propose un nouveau montage
pour cette lunette : au lieu d'utiliser une lentille concave et une convexe, il aligne deux lentilles convexes. Grâce
à cette combinaison optique, l'image est bien plus nette. D'aucuns objecteront que l'on obtient une image renversée, mais cela ne perturbe certainement pas Kepler, qui a passé tant d'heures à observer des images inversées
dans les chambres obscures, acceptant même l'idée que notre rétine reçoit des images à l'envers. L'astronome
étudie aussi des systèmes à trois lentilles ou plus, encore utilisés à l'heure actuelle dans les téléobjectifs modernes.
Kepler, conscient d'avoir écrit une ÷uvre compliquée, lance, dès l'introduction, un avertissement : Je t'ore,
ami lecteur, un livre mathématique, c'est-à-dire un livre qui n'est pas facile à comprendre et qui présume non
seulement un esprit intelligent, mais une certaine vivacité intellectuelle et un incroyable désir d'apprendre les
causes des choses. Le mérite de Kepler, qui ne mit que deux mois pour rédiger ce chef-d'÷uvre, en est d'autant
plus grand. Le manuscrit, présenté à l'Électeur Ernst de Cologne en septembre, aurait dû paraître peu après ;
fort heureusement, les problèmes liés à son impression retardent grandement sa publication. Ce délai se révèle
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favorable car, entretemps, Galilée a obtenu un précieux résultat qui fait vaciller l'image géocentrique du cosmos :
il a observé les phases de Vénus. Suivant l'usage de l'époque, Galilée a breveté sa découverte en diusant
dans toute l'Europe une anagramme qui recèle la clé de ses observations et dont, pendant de nombreux mois,
les astronomes les plus célèbres chercheront en vain la signication.
Galilée observe les phases de Vénus à la lunette astronomique
Finalement, le premier janvier 1611, Galilée révèle la solution : de même que la Lune, Vénus présente des
phases diérentes. Le Dioptricae n'est pas encore publié et Kepler en prote pour expliquer, dans l'introduction,
la signication de ce phénomène pour l'astronomie : ces phases montrent que le Système solaire est décrit par
le modèle de de Copernic, mais pas par celui de Ptolémée. Si Vénus tournait autour de la Terre le long d'un
épicycle, l'on ne verrait, depuis la Terre, que des croissants de lumière sur Vénus, et non la face complète de
la planète éclairée. La Terre ne peut être le centre du monde. La possibilité d'écarter avec certitude le modèle
géocentrique, qui parut intouchable pendant des siècles, fascine Kepler, qui écrit : Ô tube [la lunette], qui sais
tant de choses, plus précieux que n'importe quel sceptre. Celui qui te tient dans sa main droite ne connaît ni
roi ni maître dans l'÷uvre divine.
Enoncé
1) Lunette de Galilée
1.a) Refaire le schéma de la lunette de Galilée. On fera apparaître les foyers des lentilles, on tracera la
marche d'un rayon incident sur la lunette avec un angle α non nul par rapport à l'axe optique et qui émerge de
celle-là avec un angle α0 par rapport à l'axe optique.
0
1.b) Exprimer le grossissement G = αα . L'image est-elle retournée ?
2) Lunette de Kepler
Mêmes questions.
3) Expliquer le phénomène de réexion totale expérimenté par Kepler avec un prisme.
4) Les phases de Vénus observées à la lunette par Galilée
4.a) Relier les diérentes phases de Vénus (c1 à c5) à des congurations de Vénus, de la Terre et du Soleil,
soit dans le système de Ptolémée (congurations a1 à a10), soit dans le système de Copernic (congurations b1
à b12).
4.b) En quoi cela permet-il de choisir entre les systèmes de Ptolémée et de Copernic ?
Devoir surveillé
samedi 10 décembre 2016
Un DS commun aura lieu samedi 10 décembre 2016 de 8h à 12h, il portera sur toutes les ondes mécaniques
avec les ondes sonores (de 8h à 11h, puis forum des grandes écoles).
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