commutant d un endomorphisme

CPGE Lissane eddine
Filière MP
Laayoune
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée 4h
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
???
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
???
Définitions et notations
K = R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et B une base de E. Dans tout le problème, f ∈ L(E) et A la
matrice de f dans B.
Pour tout u ∈ L(E), On note, respectivement, πu et χu le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u.
Pour tout M ∈ Mn (K), On note, respectivement, πM et χM le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de M .
Pour u, v ∈ L(E), on notera uv au lieu de u ◦ v.
Soient u ∈ L(E) et M ∈ Mn (K) :
– On appelle commutant de u l’ensemble C(u) = {v ∈ L(E)/uv = vu}.
– De même, on appelle commutant de M l’ensemble C(M ) = {N ∈ Mn (K)/M N = N M }.
– On note K[u] = {P (u)/P ∈ K[X]} et on rappelle que c’est une sous-algèbre de L(E) commutative de dimension
deg πf .
– On note K[M ] = {P (M )/P ∈ K[X]}) et on rappelle que c’est une sous-algèbre de Mn (K) commutative de dimension
deg πM .
– Pour tout m ∈ N∗ , on note Km [u] = {P (u)/P ∈ Km [X]}.
– Pour tout m ∈ N∗ , on note Km [M ] = {P (M )/P ∈ Km [X]}.
– Si F est un sous-espace de E stable par u (on dit aussi u-stable) alors on désigne par uF la restriction de u à F .
– Pour tout λ ∈ Sp(u), on note m(λ) la multiplicité de λ comme raçine de χu .
Soit F un sous-espace vectoriel de E et u ∈ L(E). On dit que F est stable par u si ∀x ∈ F on a u(x) ∈ F .
Soit F un sous-espace vectoriel de Mn1 (K) et M ∈ Mn (K). On dit que F est stable par M si ∀X ∈ F on a M X ∈ F .
On dit que f est cyclique si ∃x0 ∈ E tel que E = Vect{f k (x0 )/k ∈ N}.
On admet que si E1 , . . . , Ep sont des sous-espaces vectoriels de E tels que E1 ∪ . . . ∪ Ep = E alors ∃i ∈ {1, . . . , p}, Ei = E.
Première partie
I : Propriétés du commutant
1: Montrer que C(f ) est une K-algèbre. Est-elle commutative ?
2:
2 - 1: Soit g ∈ C(E) de matrice B dans la base B. Montrer que g ∈ C(f ) ⇐⇒ B ∈ C(A).
2 - 2: En déduire que dim C(f ) = dim C(A).
3: Soient M ∈ Mn (K) et P ∈ GLn (K).
3 - 1: Montrer que C(P M P −1 ) = P C(M )P −1 .
3 - 2: Montrer que dim C(P M P −1 ) = dim C(M ).
4: Justifier l’existence du polynôme minimal πf de f .
5:
5 - 1: Montrer que K[f ] ⊂ C(f ).
5 - 2: Donner un exemple où l’inclusion précédente est stricte.
6: Montrer que K[f ] = Km−1 [f ] où m = deg πf .
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7: Montrer dim C(f ) ≤ n2 .
8:
8 - 1: Montrer que si ∃λ ∈ K, f = λidE alors dim C(f ) = n2 .
8 - 2: Réciproquement, on suppose que dim C(f ) = n2 .
8 - 2 - 1 : Soit x ∈ E \ {0}. En considérant la projection p sur Kx parallélement un de ses supplémentaires monrer que x est un
vecteur propre de f .
8 - 2 - 2 : Montrer que E admet une base B = (e1 , . . . , en ) formée de vecteurs propres de f .
8 - 2 - 3 : Soirent i, j ∈ {1, . . . , n} distincts.


ej si k = i
En considérant l’application g définie par ∀k ∈ {1, . . . , n}, g(ek ) = ei si k = j , montrer que ∃λ ∈ K, f = λidE .


0 sinon
U 0
9: Soit M =
une matrice par blocs avec U ∈ Mp (K), V ∈ Mn−p (K) et p ∈ {1, . . . , n − 1}.
0 V
On suppose que χU ∧ χV = 1.
9 - 1: Soit W ∈ C(M ). Montrer que ker χU (M ) et ker χV (M ) sont stable par W .
9 - 2: Soit (E1 , . . . , En ) la base canonique de Mn1 (K).
Montrer que ker χU (M ) = Vect{E1 , . . . , Ep } et ker χV (M ) = Vect{Ep+1
, . . . , En
}.
X 0
9 - 3: En déduire que ∀W ∈ C(M ), ∃X ∈ C(U ), ∃Y ∈ C(V ) tels que W =
.
0 Y
9 - 4: Montrer que l’application :
ϕ : C(U ) × C(V ) → C(M ) X 0
(X, Y )
7→
0 Y
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
9 - 5: En déduire dim C(M ) en fonction de dim C(U ) et dim C(V ).
9 - 6: Le résultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus que χU ∧ χV = 1.
Deuxième partie
II : Commutant en dimension 2 et 3
On suppose que n = 2 et K = R.
1: Montrer que card(Sp(f )) ∈ {0, 1, 2}.
2: On suppose que card(Sp(f )) = 2.
a 0
2 - 1: Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme
où a, b ∈ R distincts.
0 b
2 - 2: Déterminer dim C(f ).
3: On suppose que card(Sp(f )) = 1.
3 - 1: Montrer que ∃a ∈ R tel que πf = X − a ou πf = (X − a)2 .
3 - 2: On suppose que ∃a ∈ R tel que πf = X − a. Déterminer dim C(f ).
3 - 3: On suppose que ∃a ∈ R tel que πf = (X − a)2 .
a 1
3 - 3 - 1 : Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme
.
0 a
3 - 3 - 2 : Déterminer dim C(f ).
4: On suppose que card(Sp(f )) = 0 et soit e ∈ E non nul.
4 - 1: Montrer que B = (e, f (e)) est une base de E.
4 - 2: Donner la matrice de f dans cette base.
4 - 3: Déterminer dim C(f ).
5: Etudier le cas lorsque n = 2 et K = C.
On suppose, dans la suite de cette partie, que n = 3 et K = R.
6: Montrer que card(Sp(f )) ∈ {1, 2, 3}.
7: On suppose que card(Sp(f )) = 3.


a 0 0
7 - 1: Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme 0 b 0 où a, b, c ∈ R deux à deux
0 0 c
distincts.
7 - 2: Déterminer dim C(f ).
8: On suppose que card(Sp(f )) = 2.
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8 - 1: Montrer que ∃a, b ∈ R distincts tels que πf = (X − a)(X − b) ou πf = (X − a)(X − b)2 .
8 - 2: On suppose que ∃a, b ∈ R distincts tels que πf = (X − a)(X − b).


x 0 0
Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme  0 y 0 où x, y ∈ {a, b}.
0 0 y
8 - 3: Déterminer dim C(f ).
8 - 4: On suppose que ∃a, b ∈ R distincts tels que πf = (X − a)(X − b)2 .


a 0 0
8 - 5: Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme 0 b 1.
0 0 b
8 - 6: Déterminer dim C(f ).
9: On suppose que card(Sp(f )) = 1.
9 - 1: Montrer que ∃a, b, c ∈ R tel que πf = X − a ou πf = (X − a)2 ou πf = (X − a)3 ou πf = (X − a)(X 2 + bX + c)
avec b2 − 4c < 0.
9 - 2: On suppose que ∃a ∈ R tel que πf = X − a. Déterminer dim C(f ).
9 - 3: On suppose que ∃a ∈ R tel que πf = (X − a)2 .


a 0 0
9 - 3 - 1 : Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme 0 a 1.
0 0 a
9 - 3 - 2 : Déterminer dim C(f ).
9 - 4: On suppose que ∃a ∈ R tel que πf = (X − a)3 .


a 1 0
9 - 4 - 1 : Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme 0 a 1.
0 0 a
9 - 4 - 2 : Déterminer dim C(f ).
9 - 5: On suppose que ∃a, b, c ∈ R tel que πf = (X − a)(X 2 + bX + c) avec b2 − 4c < 0. a 0
9 - 5 - 1 : Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme
où B ∈ M2 (R) avec
0 B
Sp(B) = ∅.
9 - 5 - 2 : Déterminer dim C(f ).
10: Etudier le cas lorsque n = 3 et K = C.
Troisième partie
III : Commutant d’un endomorphisme diagonalisable
Dans la suite, on suppose que f est diagonalisable de valeurs propres λ1 , . . . , λr .
1:
1 - 1: Déterminer πf .
1 - 2: En déduire dim K[f ].
2: Dans cette question, on suppose que r = n. Autrement dit, f admet n valeurs propres λ1 , . . . , λn deux à deux distinctes.
2 - 1: Justifier l’existence d’une base B de E formée de vecteurs propres de f .
2 - 2: Montrer que ∀g ∈ L(E), g ∈ C(f ) ⇐⇒ la base B est formée de vecteurs propres de g.
2 - 3: Soit g ∈ C(f ). Montrer que ∃P ∈ Kn−1 [X] tel que g = P (f ).
2 - 4: En déduire que C(f ) = Kn−1 [f ]. Quelle est la dimension de C(f ) ?
3: Montrer que ∀g ∈ C(f ), ∀λ ∈ Sp(f ), Eλ (f ) est stable par g.
4: Soit l’application
ϕ : C(f ) → L(Eλ1 (f )) × · · · × L(Eλr (f ))
g
7→
(g1
, ... ,
gr )
Où ∀i ∈ {1, . . . , r}, gi désigne l’endomorphisme induit par g sur Eλi (f ) (i.e gi = gEλ (f ) ).
i
4 - 1: Montrer que ϕ est linéaire.
4 - 2: Montrer que ϕ est injective.
4 - 3: Montrer que ϕ est surjective.
r
X
4 - 4: En déduire que dim C(f ) =
(m(λi ))2 .
i=1
5: Montrer que dim C(f ) = n ⇐⇒ dim K[f ] = n ⇐⇒ r = n ⇐⇒ C(f ) = K[f ].
6: Application 01 : Soit p un projecteur de E de rang r. Déterminer dim C(p).
7: Application 02 : On note E = {f ∈ L(Mn (K))/∀M ∈ Mn (K), f (tM ) = tf (M )}.
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7 - 1: Soit t ∈ L(Mn (K)) définie par ∀M ∈ Mn (K), t(M ) = tM . Montrer que t est diagonalisable et déterminer les
dimensions des espaces propres de t.
7 - 2: Vérifier que E = C(t) et en déduire
dim E.
(
)
n
n
X
X
8: Application 03 : On note F = M ∈ Mn (Mn (K))/∀i, j ∈ {1, . . . , n},
mik =
mkj .
k=1
k=1
8 - 1: Soit J la matrice de Mn (Mn (K)) dont tous les coefficients sont égaux à 1 (i.e ∀k, l ∈ {1, . . . , n}, jkl = 1).
Montrer que J est diagonalisable et déterminer les dimensions des espaces propres de J.
8 - 2: Vérifier que F = C(J) et
en déduire
dim F.
1 0 1
9: Application 04 : Soit A = 0 2 1 et on considère, dans M3 (R), l’équation E : X 2 = A.
0 0 0
9 - 1: Montrer que si X ∈ M3 (R) est solution de E alors X ∈ C(A).
9 - 2: En déduire que si X ∈ M3 (R) est solution de E alors ∃x, y, z ∈ R tels que X = xI3 + yA + zA2 .
9 - 3: Résoudre E.
Quatrième partie
IV : Commutant d’un endomorphisme cyclique
1: On suppose que f est diagonalisable. Montrer que si f est cyclique alors f admet n valeurs propres deux à deux distincts.
2: Réciproquement, on suppose que f admet n valeurs propres deux à deux distincts λ1 , . . . , λn et soit x1 , . . . , xn ∈ E tels que
∀i ∈ {1, . . . , n}, xi est un vecteur associé à la valeur propre λi . On pose u = x1 + . . . + xn .
2 - 1: Montrer que la famille (u, f (u), . . . , f n−1 (u)) est libre.
2 - 2: En déduire que f est cyclique.
3: On suppose que f est nilpotent d’indice de nilpotence n.
3 - 1: Justifier l’existence de x0 ∈ E tel que f n−1 (x0 ) 6= 0.
3 - 2: Montrer que (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base de E.
3 - 3: En déduire que f est cyclique.
On suppose, dans la suite de cette partie, que f est cyclique et soit x0 ∈ E tel que E = Vect{f k (x0 )/k ∈ N}.
4:
4 - 1: Montrer que ∀x ∈ E, ∃P ∈ K[X] tel que x = P (f )(x0 ).
4 - 2: Montrer que (x0 , f (x0 ), . . . , f r−1 (x0 )) est une famille génératrice de E où r = deg πf .
4 - 3: En déduire que deg πf = n et (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) est une base de E.
5: Montrer que si f est nilpotent alors l’indice de nilpotence de f est n.
6: Soit g ∈ C(f ) et P ∈ K[X] tels que g(x0 ) = P (f )(x0 ).
6 - 1: Montrer que g = P (f ).
6 - 2: En déduire que C(f ) = K[f ].
7: Réciproquement, soit u ∈ L(E) tel que dim C(u) = n et on admet que ∀v ∈ L(E), dim C(v) ≥ n.
7 - 1: Montrer que deg πu = n.
7 - 2: Pour tout x ∈ E on note Ix = {P ∈ K[X]/P (u)(x) = 0}.
Montrer que ∀x ∈ E, ∃µx ∈ K[X] unitaire tel que Ix = µx K[X].
7 - 3: Montrer que µx |πu .
7 - 4: En déduire que l’ensemble {µx /x ∈ E} est fini.
7 - 5: Montrer que ∃x0 ∈ E tel que E = ker µx0 (u).
7 - 6: En déduire que µx0 = πu .
7 - 7: Montrer que (x0 , u(x0 ), . . . , un−1 (x0 )) est une base de E.
7 - 8: Conclure.
8: Application : Soit ϕ, ψ ∈ L(Kn [X]) définies par ∀P ∈ Kn [X], ϕ(P ) = P 0 et ψ(P ) = P (X + 1).
8 - 1: Montrer que ϕ est nilpotent et déterminer son indice de nilpotence.
8 - 2: Montrer que ψ ∈ C(ϕ).
8 - 3: En déduire que ∃a0 , . . . , an ∈ K, ∀P ∈ Kn [X], P (X + 1) = a0 + a1 P + · · · + an P (n) .
∗ Fin ∗
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