commutant d un endomorphisme

CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée 4h
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
???
On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
???
Définitions et notations
K=Rou C,Eun K-espace vectoriel de dimension finie n∈N∗et Bune base de E. Dans tout le problème, f∈ L(E)et Ala
matrice de fdans B.
Pour tout u∈ L(E), On note, respectivement, πuet χule polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u.
Pour tout M∈ Mn(K), On note, respectivement, πMet χMle polynôme minimal et le polynôme caractéristique de M.
Pour u, v ∈ L(E), on notera uv au lieu de u◦v.
Soient u∈ L(E)et M∈ Mn(K):
– On appelle commutant de ul’ensemble C(u) = {v∈ L(E)/uv =vu}.
– De même, on appelle commutant de Ml’ensemble C(M) = {N∈ Mn(K)/MN =NM}.
– On note K[u] = {P(u)/P ∈K[X]}et on rappelle que c’est une sous-algèbre de L(E)commutative de dimension
deg πf.
– On note K[M] = {P(M)/P ∈K[X]}) et on rappelle que c’est une sous-algèbre de Mn(K)commutative de dimension
deg πM.
– Pour tout m∈N∗, on note Km[u] = {P(u)/P ∈Km[X]}.
– Pour tout m∈N∗, on note Km[M] = {P(M)/P ∈Km[X]}.
– Si Fest un sous-espace de Estable par u(on dit aussi u-stable) alors on désigne par uFla restriction de uàF.
– Pour tout λ∈ Sp(u), on note m(λ)la multiplicité de λcomme raçine de χu.
Soit Fun sous-espace vectoriel de Eet u∈ L(E). On dit que Fest stable par usi ∀x∈Fon a u(x)∈F.
Soit Fun sous-espace vectoriel de Mn1(K)et M∈ Mn(K). On dit que Fest stable par Msi ∀X∈Fon a MX ∈F.
On dit que fest cyclique si ∃x0∈Etel que E= Vect{fk(x0)/k ∈N}.
On admet que si E1, . . . , Epsont des sous-espaces vectoriels de Etels que E1∪. . . ∪Ep=Ealors ∃i∈ {1, . . . , p}, Ei=E.
Première partie
I : Propriétés du commutant
1: Montrer que C(f)est une K-algèbre. Est-elle commutative ?
2:
2-1: Soit g∈ C(E)de matrice Bdans la base B. Montrer que g∈ C(f)⇐⇒ B∈ C(A).
2-2: En déduire que dim C(f) = dim C(A).
3: Soient M∈ Mn(K)et P∈GLn(K).
3-1: Montrer que C(P MP −1) = PC(M)P−1.
3-2: Montrer que dim C(P MP −1) = dim C(M).
4: Justifier l’existence du polynôme minimal πfde f.
5:
5-1: Montrer que K[f]⊂ C(f).
5-2: Donner un exemple où l’inclusion précédente est stricte.
6: Montrer que K[f] = Km−1[f]où m= deg πf.
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7: Montrer dim C(f)≤n2.
8:
8-1: Montrer que si ∃λ∈K, f =λidEalors dim C(f) = n2.
8-2: Réciproquement, on suppose que dim C(f) = n2.
8-2-1: Soit x∈E\ {0}. En considérant la projection psur Kxparallélement un de ses supplémentaires monrer que xest un
vecteur propre de f.
8-2-2: Montrer que Eadmet une base B= (e1, . . . , en)formée de vecteurs propres de f.
8-2-3: Soirent i, j ∈ {1, . . . , n}distincts.
En considérant l’application gdéfinie par ∀k∈ {1, . . . , n}, g(ek) = 
ejsi k=i
eisi k=j
0sinon
, montrer que ∃λ∈K, f =λidE.
9: Soit M=U0
0Vune matrice par blocs avec U∈ Mp(K), V ∈ Mn−p(K)et p∈ {1, . . . , n −1}.
On suppose que χU∧χV= 1.
9-1: Soit W∈ C(M). Montrer que ker χU(M)et ker χV(M)sont stable par W.
9-2: Soit (E1, . . . , En)la base canonique de Mn1(K).
Montrer que ker χU(M) = Vect{E1, . . . , Ep}et ker χV(M) = Vect{Ep+1, . . . , En}.
9-3: En déduire que ∀W∈ C(M),∃X∈ C(U),∃Y∈ C(V)tels que W=X0
0Y.
9-4: Montrer que l’application :
ϕ:C(U)× C(V)→ C(M)
(X, Y )7→ X0
0Y
est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
9-5: En déduire dim C(M)en fonction de dim C(U)et dim C(V).
9-6: Le résultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus que χU∧χV= 1.
Deuxième partie
II : Commutant en dimension 2 et 3
On suppose que n= 2 et K=R.
1: Montrer que card(Sp(f)) ∈ {0,1,2}.
2: On suppose que card(Sp(f)) = 2.
2-1: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme a0
0boù a, b ∈Rdistincts.
2-2: Déterminer dim C(f).
3: On suppose que card(Sp(f)) = 1.
3-1: Montrer que ∃a∈Rtel que πf=X−aou πf= (X−a)2.
3-2: On suppose que ∃a∈Rtel que πf=X−a. Déterminer dim C(f).
3-3: On suppose que ∃a∈Rtel que πf= (X−a)2.
3-3-1: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme a1
0a.
3-3-2: Déterminer dim C(f).
4: On suppose que card(Sp(f)) = 0 et soit e∈Enon nul.
4-1: Montrer que B= (e, f(e)) est une base de E.
4-2: Donner la matrice de fdans cette base.
4-3: Déterminer dim C(f).
5: Etudier le cas lorsque n= 2 et K=C.
On suppose, dans la suite de cette partie, que n= 3 et K=R.
6: Montrer que card(Sp(f)) ∈ {1,2,3}.
7: On suppose que card(Sp(f)) = 3.
7-1: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme 
a0 0
0b0
0 0 c
où a, b, c ∈Rdeux à deux
distincts.
7-2: Déterminer dim C(f).
8: On suppose que card(Sp(f)) = 2.
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8-1: Montrer que ∃a, b ∈Rdistincts tels que πf= (X−a)(X−b)ou πf= (X−a)(X−b)2.
8-2: On suppose que ∃a, b ∈Rdistincts tels que πf= (X−a)(X−b).
Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme 
x0 0
0y0
0 0 y
où x, y ∈ {a, b}.
8-3: Déterminer dim C(f).
8-4: On suppose que ∃a, b ∈Rdistincts tels que πf= (X−a)(X−b)2.
8-5: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme 
a0 0
0b1
0 0 b
.
8-6: Déterminer dim C(f).
9: On suppose que card(Sp(f)) = 1.
9-1: Montrer que ∃a, b, c ∈Rtel que πf=X−aou πf= (X−a)2ou πf= (X−a)3ou πf= (X−a)(X2+bX +c)
avec b2−4c < 0.
9-2: On suppose que ∃a∈Rtel que πf=X−a. Déterminer dim C(f).
9-3: On suppose que ∃a∈Rtel que πf= (X−a)2.
9-3-1: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme 
a0 0
0a1
0 0 a
.
9-3-2: Déterminer dim C(f).
9-4: On suppose que ∃a∈Rtel que πf= (X−a)3.
9-4-1: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme 
a1 0
0a1
0 0 a
.
9-4-2: Déterminer dim C(f).
9-5: On suppose que ∃a, b, c ∈Rtel que πf= (X−a)(X2+bX +c)avec b2−4c < 0.
9-5-1: Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest de la forme a0
0Boù B∈ M2(R)avec
Sp(B) = ∅.
9-5-2: Déterminer dim C(f).
10: Etudier le cas lorsque n= 3 et K=C.
Troisième partie
III : Commutant d’un endomorphisme diagonalisable
Dans la suite, on suppose que fest diagonalisable de valeurs propres λ1, . . . , λr.
1:
1-1: Déterminer πf.
1-2: En déduire dim K[f].
2: Dans cette question, on suppose que r=n. Autrement dit, fadmet nvaleurs propres λ1, . . . , λndeux à deux distinctes.
2-1: Justifier l’existence d’une base Bde Eformée de vecteurs propres de f.
2-2: Montrer que ∀g∈ L(E), g ∈ C(f)⇐⇒ la base Best formée de vecteurs propres de g.
2-3: Soit g∈ C(f). Montrer que ∃P∈Kn−1[X]tel que g=P(f).
2-4: En déduire que C(f) = Kn−1[f]. Quelle est la dimension de C(f)?
3: Montrer que ∀g∈ C(f),∀λ∈ Sp(f), Eλ(f)est stable par g.
4: Soit l’application
ϕ:C(f)→ L(Eλ1(f)) × · · · × L(Eλr(f))
g7→ (g1, . . . , gr)
Où ∀i∈ {1, . . . , r}, gidésigne l’endomorphisme induit par gsur Eλi(f)(i.e gi=gEλi(f)).
4-1: Montrer que ϕest linéaire.
4-2: Montrer que ϕest injective.
4-3: Montrer que ϕest surjective.
4-4: En déduire que dim C(f) =
r
X
i=1
(m(λi))2.
5: Montrer que dim C(f) = n⇐⇒ dim K[f] = n⇐⇒ r=n⇐⇒ C(f) = K[f].
6:Application 01 : Soit pun projecteur de Ede rang r. Déterminer dim C(p).
7:Application 02 : On note E={f∈ L(Mn(K))/∀M∈ Mn(K), f(t M) = t f(M)}.
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7-1: Soit t∈ L(Mn(K)) définie par ∀M∈ Mn(K), t(M) = t M. Montrer que test diagonalisable et déterminer les
dimensions des espaces propres de t.
7-2: Vérifier que E=C(t)et en déduire dim E.
8:Application 03 : On note F=(M∈ Mn(Mn(K))/∀i, j ∈ {1, . . . , n},
n
X
k=1
mik =
n
X
k=1
mkj ).
8-1: Soit Jla matrice de Mn(Mn(K)) dont tous les coefficients sont égaux à 1 (i.e ∀k, l ∈ {1, . . . , n}, jkl = 1).
Montrer que Jest diagonalisable et déterminer les dimensions des espaces propres de J.
8-2: Vérifier que F=C(J)et en déduire dim F.
9:Application 04 : Soit A=
101
021
000
et on considère, dans M3(R), l’équation E:X2=A.
9-1: Montrer que si X∈ M3(R)est solution de Ealors X∈ C(A).
9-2: En déduire que si X∈ M3(R)est solution de Ealors ∃x, y, z ∈Rtels que X=xI3+yA +zA2.
9-3: Résoudre E.
Quatrième partie
IV : Commutant d’un endomorphisme cyclique
1: On suppose que fest diagonalisable. Montrer que si fest cyclique alors fadmet nvaleurs propres deux à deux distincts.
2: Réciproquement, on suppose que fadmet nvaleurs propres deux à deux distincts λ1, . . . , λnet soit x1, . . . , xn∈Etels que
∀i∈ {1, . . . , n}, xiest un vecteur associé à la valeur propre λi. On pose u=x1+. . . +xn.
2-1: Montrer que la famille (u, f(u), . . . , f n−1(u)) est libre.
2-2: En déduire que fest cyclique.
3: On suppose que fest nilpotent d’indice de nilpotence n.
3-1: Justifier l’existence de x0∈Etel que fn−1(x0)6= 0.
3-2: Montrer que (x0, f(x0), . . . , fn−1(x0)) est une base de E.
3-3: En déduire que fest cyclique.
On suppose, dans la suite de cette partie, que fest cyclique et soit x0∈Etel que E= Vect{fk(x0)/k ∈N}.
4:
4-1: Montrer que ∀x∈E, ∃P∈K[X]tel que x=P(f)(x0).
4-2: Montrer que (x0, f(x0), . . . , fr−1(x0)) est une famille génératrice de Eoù r= deg πf.
4-3: En déduire que deg πf=net (x0, f(x0), . . . , fn−1(x0)) est une base de E.
5: Montrer que si fest nilpotent alors l’indice de nilpotence de fest n.
6: Soit g∈ C(f)et P∈K[X]tels que g(x0) = P(f)(x0).
6-1: Montrer que g=P(f).
6-2: En déduire que C(f) = K[f].
7: Réciproquement, soit u∈ L(E)tel que dim C(u) = net on admet que ∀v∈ L(E),dim C(v)≥n.
7-1: Montrer que deg πu=n.
7-2: Pour tout x∈Eon note Ix={P∈K[X]/P (u)(x)=0}.
Montrer que ∀x∈E, ∃µx∈K[X]unitaire tel que Ix=µxK[X].
7-3: Montrer que µx|πu.
7-4: En déduire que l’ensemble {µx/x ∈E}est fini.
7-5: Montrer que ∃x0∈Etel que E= ker µx0(u).
7-6: En déduire que µx0=πu.
7-7: Montrer que (x0, u(x0), . . . , un−1(x0)) est une base de E.
7-8: Conclure.
8:Application : Soit ϕ, ψ ∈ L(Kn[X]) définies par ∀P∈Kn[X], ϕ(P) = P0et ψ(P) = P(X+ 1).
8-1: Montrer que ϕest nilpotent et déterminer son indice de nilpotence.
8-2: Montrer que ψ∈ C(ϕ).
8-3: En déduire que ∃a0, . . . , an∈K,∀P∈Kn[X], P (X+ 1) = a0+a1P+· · · +anP(n).
∗Fin ∗
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