dk - ensembles infinis

DK - ENSEMBLES INFINIS
On suppose connus les définitions et les théorèmes sur les ensembles finis.
I. Ensembles équipotents
Définition Deux ensembles Eet Fsont dits équipotents, s’il existe une bijection de l’un sur
l’autre, ce que l’on notera dans ce qui suit
E↔F .
Proposition 1 Dans un ensemble d’ensembles, la relation d’équipotence est une relation d’équi-
valence.
En prenant ϕ= IdE, qui est une bijection de Esur E, on a
E↔E .
Si ϕest une bijection de Esur F, alors ϕ−1est une bijection de Fsur E, donc
(E↔F)⇒(F↔E).
Si ϕest une bijection de Esur Fet ψest une bijection de Fsur G, alors ψ◦ϕest une bijection de E
sur G, donc
((E↔F)et (F↔G)) ⇒(E↔G).
Proposition 2 Si Eest équipotent à F, alors P(E)est équipotent à P(F).
Si ϕest une bijection de Esur F, alors l’application qui à une partie Ade Eassocie la partie ϕ(A)
de Fest une bijection de P(E)sur P(F).
Proposition 3 Si pour tout id’un ensemble I, les ensembles Eiet Fisont équipotents, alors le
produit cartésien ΠEdes Eiest équipotent au produit cartésien ΠFdes Fi.
En particulier, si Eest équipotent à F, l’ensemble des suites à coefficients dans Eest équipotent à
l’ensemble des suites à coefficients dans F.

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Pour tout ide I, soit ϕiune bijection de Eisur Fi. On définit une bijection ϕde ΠEsur ΠFen posant,
si (xi)i∈Iappartient à ΠE,
ϕ((xi)i∈I) = (ϕi(xi))i∈I.
Proposition 4 Si E1est équipotent à F1et E2àF2, alors l’ensemble des fonctions de E1dans
E2est équipotent à l’ensemble des fonctions de F1dans F2.
Pour tout ide {1,2}, soit ϕiune bijection de Eisur Fi. On définit une bijection ϕde F(E1, E2)dans
F(F1, F2)en posant, si fappartient à F(E1, E2),
ϕ(f) = ϕ2◦f◦ϕ−1
1.
II. Caractérisation des ensembles infinis
Définitions
1) Un ensemble Eest dénombrable s’il est équipotent à N.
2) Un ensemble Eest infini s’il n’est pas fini
Proposition 5 Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) l’ensemble Eest infini
ii) quel que soit adans E, il existe une partie Ade Edénombrable et contenant a
ii’) il existe une partie Ade Edénombrable
iii) quel que soit adans E, l’ensemble E\ {a}est équipotent à E
iii’) il existe adans Etel que E\ {a}soit équipotent à E
iv) l’ensemble Eest équipotent à une de ses parties strictes.
i) ⇒ii)
Soit adans E. Nous construisons par récurrence une suite (an)n≥0d’éléments distincts de E.
Posons a0=a, et supposons que l’on ait trouvé néléments a0,...,an−1distincts dans E. Comme E
est infini, l’ensemble En’est pas égal à {a0,...,an−1}, et il existe donc un élément anappartenant à
E\{a0,...,an−1}. On construit donc ainsi une suite (an)n≥0d’éléments distincts de Edont le premier
terme est a. Alors {an|n∈N}est une partie de Edénombrable et contenant a.
ii) ⇒ii’) et iii) ⇒iii’) sont évidents.

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ii) ⇒iii) et ii’) ⇒iii’)
Soit adans Eet {un|n∈N}une partie de Edénombrable et contenant a. Si up=a, on pose
an=
asi n= 0
un−1si 1≤n≤p
unsi n≥p+ 1
.
On construit une application bijective ϕde Esur E\ {a}de la manière suivante :
pour tout entier n≥0, on pose
ϕ(an) = an+1 ,
et si xappartient à E\ {an|n∈N}, on pose
ϕ(x) = x .
iii) ⇒iv) et iii’) ⇒iv) sont évidents.
iv) ⇒i) est évident, puisque un ensemble fini En’est jamais équipotent à une de ses parties strictes
qui a moins d’éléments que E.
Remarque : il résulte de ce qui précède que si l’on retire un nombre fini d’éléments à un ensemble
infini E, on obtient un ensemble encore équipotent à E.
III. Caractérisation des ensembles équipotents
Proposition 6 Soit Aet Bdeux ensembles non vides.
- S’il existe une application injective ϕde Adans B, alors il existe une application surjective ψde
Bsur A.
- S’il existe une application surjective ϕde Asur B, alors il existe une application injective ψde B
dans A.
Soit une application injective ϕde Adans B, et soit aun élément de A. Pour tout yde ϕ(A), il existe
un antécédent unique xde ypar ϕdans A: notons le ψ(y). Par ailleurs si yn’appartient pas à ϕ(A),
posons ψ(y) = a. Alors ψest une application surjective de Bsur A.
Soit une application surjective ϕde Asur B. Pour tout yde Bsoit ψ(y)un antécédent de y. Alors
l’application ψest une application injective de Bdans A.
Théorème 1 Deux ensembles Eet Fsont équipotents si une des conditions suivantes est satisfaite
i) il existe une application injective de Edans Fet une application injective de Fdans E.
ii) il existe une application surjective de Esur Fet une application surjective de Fsur E.
iii) il existe une application injective de Edans Fet une application surjective de Esur F.

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La propriété i) implique les deux autres compte tenu de la proposition précédente. Démontrons donc
cette propriété.
Soit ϕune application injective de Edans Fet ψune application injective de Fdans E. Si ψest
surjective, le résultat est évident. Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors l’ensemble
A0=ψ(F)C=E\ψ(F),
est non vide, et, pour tout n≥0, posons
An= (ψ◦ϕ)n(A0).
Donc, si n≥1,
An=ψ(ϕ◦(ψ◦ϕ)n−1(A0)) ⊂ψ(F).
Enfin notons
A=
∞
[
n=0
An.
Les ensembles Anet Asont inclus dans Eet ψ◦ϕ(A)est inclus dans A, .
Comme ψest injective, elle définit une application bijective e ψde Fsur ψ(F), et donc e ψ−1est une
application bijective de ψ(F)sur F.
Puisque A0est inclus dans A, le complémentaire de Aest inclus dans le complémentaire de A0c’est-
à-dire dans ψ(F). On peut donc définir une application χde Edans Fen posant
χ(x) = ϕ(x)si x∈A
e
ψ−1(x)si x∈AC.
Etudions les propriétés de χ. On a tout d’abord
χ(A) = ϕ(A) et χ(AC) = e ψ−1(AC).
Donc
ψ(χ(A)) = ψ◦ϕ(A)⊂A ,
et
ψ(χ(AC)) = ψ(e ψ−1(AC)) = AC.
Il ne peut donc pas exister d’élément se trouvant à la fois dans χ(A)et dans χ(AC)puisque son image
par ψserait à la fois dans Aet AC. Il en résulte que
χ(A)∩χ(AC) = ∅.
Alors, comme les restrictions de χàAet à ACsont injectives, il en résulte que χest injective.
Déterminons maintenant
χ(AC) = e ψ−1(AC).

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En utilisant les formules concernant l’image réciproque, on a donc
χ(AC)C=e ψ−1(AC)C
=e ψ−1(ψ(F)\AC)
=e ψ−1(ψ(F)∩A)
=e ψ−1 ∞
[
n=0
(ψ(F)∩An)!
=
∞
[
n=0 e
ψ−1(ψ(F)∩An),
avec
e
ψ−1(ψ(F)∩A0) = e ψ−1(∅) = ∅.
Par ailleurs, si n≥1, le sous-ensemble Anest inclus dans ψ(F), donc
e
ψ−1(ψ(F)∩An) = e ψ−1(An)
=e ψ−1◦(ψ◦ϕ)n(A)
=e ψ−1◦ψ◦ϕ◦(ψ◦ϕ)n−1(A)
=ϕ(An−1).
Donc
χ(AC)C=
∞
[
n=1
ϕ(An−1) = ϕ ∞
[
n=1
An−1!=ϕ(A) = χ(A).
Il en résulte donc que χest surjective.
Notation
Soit Eet Fdeux ensembles. S’il existe une application injective de Edans F(ou ce qui est équivalent,
une application surjective de Fsur E), on notera
E≺F .
En particulier, si E⊂F, on a E≺F, puisque l’inclusion canonique est injective.
On peut traduire le théorème précédent en disant que
E≺Fet F≺E
implique
E↔F .