Satellite artificiel - sonde spatiale.

PCSI 2 DM 6 PHYSIQUE 22/03/2017
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Satellite artificiel - sonde spatiale.
Données numériques :
Constante universelle de gravitation : G = 6,67.10-11 u.s.i.
Masse de la Terre : M = 5,97.1024 kg Rayon de la Terre : R = 6,34.106 m
Masse de Mars : Mo = 6,42.1023 kg Rayon de Mars : Ro = 3,40.106 m
I - Propriétés générales de la trajectoire
Un satellite artificiel, S, assimilable à point matériel de masse m, évolue librement à grande distance de la Terre. La Terre est
considérée comme un corps immobile, rigoureusement sphérique et homogène, de rayon R, de masse M et de centre O.
On désigne par
€
!
r (t)=OS
le vecteur position du satellite et par
€
!
v =d!
r
dt
son vecteur vitesse. A l'instant initial t = 0, le satellite se trouve
dans la position
€
!
r
0
, animé de la vitesse
€
!
v
0
, non radiale.
L'influence de la Lune, du Soleil, des autres planètes, ainsi que celle de l'atmosphère sont ignorées. On étudie la situation pour t > 0.
1.1. Donner l'expression vectorielle du champ de force
€
!
F (r)
auquel est soumis le satellite.
On désignera par G la constante de gravitation universelle et par
€
!
u
r
le vecteur unitaire radial.
S'agit-il d'un champ de force central ? Expliquer.
1.2. Définir le vecteur moment cinétique
€
!
L
0
du satellite, par rapport au centre O.
1.3. Montrer que, quel que soit
€
t≥0
, le moment cinétique
€
!
L
0
du satellite est constant, égal à une valeur à expliciter littéralement.
1.4. Justifier le fait que la trajectoire suivie par le satellite, pour t ≥ 0, est entièrement contenue dans un plan fixe P, que l'on précisera.
Il - Etude du mouvement plan. Aspects dynamiques et énergie
On reprend les hypothèses de la section I ci-dessus, en se plaçant dans le plan P de la trajectoire. Ce plan est rapporté aux coordonnées
polaires
€
(r, θ )
de centre O et de base locale
€
ur,u
θ
{ }
.
€
!
u
r
et
€
!
u
θ
sont respectivement le vecteur unitaire radial et le vecteur unitaire
orthoradial.
2.1. Montrer que théorème du moment cinétique, appliqué au satellite, conduit à déduire une relation de la forme :
€
rn˙ θ = C = cte
.
Déterminer l'exposant n, et relier la constante C au moment cinétique
€
!
L
0
du satellite par rapport au centre de la Terre et à sa masse m.
2.2. Exprimer l'aire, dA, balayée par le rayon-vecteur
€
!
r
durant l'intervalle de temps dt.
Montrer que l'aire A balayée par le rayon-vecteur durant un intervalle de temps
€
Δt=t2−t1>0
est proportionnelle à
€
Δt
, le facteur
de proportionnalité
€
α
étant le même quel que soit
€
t1≥0
(seconde loi de Kepler). Pour cela, on identifiera le facteur
€
α
.
On note respectivement U(r) et K(r) l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du satellite dans la position courante r, et respectivement
€
U0
et
€
K0
, ces mêmes énergies à l'instant initial.
2.3. En adoptant la convention
€
U=0
à l'infini, justifier physiquement le fait que l'énergie potentielle de gravitation U(r) est négative
quelle que soit la distance r, finie.

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2.4. Partant de la position
€
!
r
, le satellite effectue un déplacement élémentaire
€
d! r
le long de sa trajectoire. Relier les variations dU(r) et
dK(r) de l'énergie potentielle et cinétique observées au cours de ce déplacement
De quelle propriété jouit la somme: E(r) = U(r) + K(r) ?
2.5. A quelle condition liant
€
U0
et
€
K0
, le satellite reste-t-il en orbite autour de la Terre (état lié) ? Quelle est alors la nature de la
trajectoire suivie par le satellite ? On donnera ces deux résultats sans les démontrer.
III - Satellite géostationnaire
La Terre tourne sur elle-même, autour de l’axe passant par ses pôles, à la vitesse angulaire
€
Ω
, avec une période correspondant par
définition au jour sidéral TS = 86164 s. On ne considère pas son mouvement de révolution autour du Soleil.
Le satellite évolue maintenant de façon géostationnaire ( immobile pour un observateur terrestre), c'est-à-dire qu'il tourne de façon
synchrone avec la Terre sur une orbite circulaire de rayon , située dans le plan équatorial.
L‘étude est menée dans le référentiel géocentrique.
3.1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique au satellite, déterminer l'expression du rayon
€
a1
de l'orbite
géostationnaire, en fonction de G, M et
€
Ω
. Calculer numériquement a1 et la vitesse v1 du satellite sur son orbite.
3.2. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de gravitation U(r) du satellite, lorsqu'il se situe à une distance r, quelconque, du
centre de la Terre. On exprimera U(r) en fonction de G, M, m et r, en retenant la condition : U = 0 à l'infini.
3.3. Exprimer l'énergie mécanique totale
€
ET
du satellite sur son orbite géostationnaire, en fonction de G, M, m et
€
a1
.
3.4. Le satellite a été lancé à partir d'une base terrestre située sur l'équateur (Kourou [Guyane]).
Déterminer l'énergie minimale
€
WL
qu'il a fallu dépenser pour le placer sur orbite géostationnaire.
On ne tient pas compte ici des frottements dans l'atmosphère, pas plus que de l'énergie dépensée pour propulser la fusée porteuse, hors
satellite.
3.5. Exprimer la différence
€
ΔWL
entre l'énergie minimale de lancement sur orbite géostationnaire à partir d'une base équatoriale et à
partir d'une base située à la latitude géographique
€
λ ≠0
.
Est-il, sur le plan énergétique, préférable d'effectuer les lancements depuis la base de Kourou (
€
λ =0
) ou du Cap Canaveral [Floride] (
€
λ =25° N
) ?
IV Erreur de positionnement du satellite sur orbite
Selon le cas, des erreurs à la mise en position du satellite peuvent l’amener sur une trajectoire elliptique. L’équation polaire de la
trajectoire du satellite dans le cas général s’exprime par :
€
r=p
1+ecos θ
(on suppose l’origine des angle polaire θ convenablement
choisie).
On montre que la valeur du paramètre p répond à : p = C²/GM où C est la constante des aires, G la constante universelle de gravitation
et M la masse du centre attractif.
4.1 Préciser les valeurs des paramètres p et e dans le cas étudié en III.
4.2 La mise en orbite du satellite est imparfaite. Il est placé à l’altitude h = a1 – R, mais avec une vitesse de module v’1 légèrement plus
grande que v1, de direction orthoradiale. Représenter schématiquement la trajectoire obtenue. Quelles sont les nouvelles valeurs C’, p’
et e’ prises par C, p et e ?
Calculer numériquement les valeurs extrémales rmin et rmax prise par la distance r entre le satellite et le centre de la Terre pour v’1 = 3300
m.s-1.
4.3 L’énergie mécanique E du satellite a une expression analogue à celle d’un satellite circulaire, en remplaçant dans cette expression
le rayon par le demi grand axe a’1 de la trajectoire. En déduire la valeur de a’1.

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4.4 Etablir la troisième loi de Kepler pour un satellite de période T situé sur une trajectoire circulaire de rayon R.
On admet que pour le satellite situé sur l’orbite elliptique, la troisième loi de Kepler reste valide en adaptant son écriture selon
l’expression :
€
a'1
3
T'=GM 4 π
où T’ est la période orbitale et a’1 est le demi grand axe de la trajectoire.
Comparer la période effective T’ du satellite à la période d’un satellite circulaire géostationnaire.
V Sonde spatiale
La sonde spatiale envisagée est conçue pour voyager à travers l’ensemble du système solaire. Elle doit pouvoir approcher
successivement les différentes planètes situées au delà de l’orbite terrestre.
5.1 Une sonde spatiale est dans un premier temps satellisée sur une orbite circulaire basse autour de la Terre. On souhaite l’envoyer
dans l’espace, en la libérant de l’attraction terrestre. La mise à feu d’un étage de propulsion l’amène rapidement à la vitesse de
libération vlib. Calculer la valeur de vlib ainsi que l’énergie Wlib qui doit lui être apportée à partir de l’orbite basse.
5.2 L’énergie effectivement fournie excède Wlib d’une quantité ΔE.
Justifier que
€
ΔE=1
2
msvs
où ms est la masse de la sonde et vs sa vitesse dans le référentiel géocentrique, quand elle se trouve en phase
d’approche de la planète Mars.
5.3 Le plan de vol prévoit une approche de Mars, puis une poursuite du voyage en direction de Jupiter. La disposition des planètes
impose alors de dévier la trajectoire de la sonde. Afin d’économiser tout moyen de propulsion, la sonde va utiliser le champ de
gravitation martien pour cette opération.
La suite de l’étude est conduite dans le référentiel planéto-centrique RM centré sur
Mars.
Dans la première partie du mouvement, la sonde est suffisamment éloignée de
Mars pour que l’on considère son mouvement comme rectiligne et uniforme,
l’interaction de gravitation avec la planète étant infime.
On note va la vitesse d’approche de la sonde dans ce référentiel. On note b la
distance entre la droite-support de la vitesse dans la phase d’approche et le centre
de la planète, nommée paramètre d’impact.
5.3.1 Quelle sera la nature de la trajectoire suivie par la sonde à proximité de Mars ? Justifier.
5.3.2 Quelle est l’énergie Ea de la sonde dans le référentiel RM ? Calculer la valeur Ca de la constante des aires pour la sonde.
La trajectoire répond à l’équation polaire :
€
r=pa
1+eacos θ
avec pa = Ca²/(GMo).
Déterminer pa, puis ea, en fonction de b, va, G, Mo.
On donne la relation entre l’énergie Ea du mobile, le paramètre pa et l’excentricité ea de la trajectoire :
€
Ea=GM 0m
pa
ea
2−1
( )
.
5.33 Etablir une condition sur b pour que la trajectoire de la sonde subisse en fin de processus une déviation de 10° par rapport à sa
direction incidente.
5.34 A quelle altitude minimale ha la sonde va-t-elle survoler la surface de Mars dans ces conditions? On donne va = 1,00.104 m/s.