Chapitre 3 ... I) ÉCRITURE FRACTIONNAIRE 1°/ Addition

Chapitre 3
CALCUL NUMÉRIQUE
I) ÉCRITURE FRACTIONNAIRE
1°/
Addition
Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
 on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs
 on garde le dénominateur commun.
a b a+b
+ =
c c
c
Autrement dit :
Exemple :
a b a-b
– =
c
c
c
3 4 7
+ =
9 9 9
Cas où les dénominateurs ne sont pas les mêmes
Règle : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture en écriture fractionnaire qui n’ont
pas le même dénominateur, on commence par les mettre au même dénominateur.
Exemple :
-3 4
+
7 5
7 ≠ 5 donc on ne peut pas additionner sans mettre auparavant les fractions au même dénominateur.
On va chercher un nombre qui soit dans la table de multiplication de 5 et dans celle de 7.
5
10
15
20
25
30
35
40
35 = 7 × 5
7
14
21
28
35
42
49
56
35 = 5 × 7
-3 4 -3 × 5 4 × 7
+ =
+
7 5
7×5 5×7
-3 4 -15 28
+ =
+
7 5
35 35
-3 4 13
+ =
7 5 35
2°/
Multiplication
Règle :
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire :
 on multiplie les numérateurs entre eux
 on multiplie les dénominateurs entre eux.
Autrement dit :
a c a×c
× =
(b ≠ 0 et d ≠ 0)
b d b×d
Exemples :
2 7 2×7
× =
5 3 5×3
2 7 14
× =
5 3 15
7 5×7
5× =
3
3
7 35
5× =
3 3
Car 5 peut s’écrire
7 36 70
= ×
0,6 10 6
7 6 × 6 × 7 × 10
3,6 ×
=
0,6
10 × 6 × 1
7
3,6 ×
= 42
0,6
3,6 ×
5
1
3°/
Division
Définition :
Soit a un nombre non nul. Le nombre qui, multiplié par a donne 1 est appelé l’inverse de a.
1
a
On le note .
1
=1
3
3 4
× =1
4 3
1
est l’inverse de 3.
3
3
4
donc l’inverse de est
4
3
donc
Exemples :
3×
Propriété :
Diviser un nombre par
Exemples :
c
d
(c ≠ 0 et d ≠ 0) revient à le multiplier par
d
c
5 4
5 3
:
= ×
9 3
9 4
5 4
5×3
:
=
9 3
9×4
5 4
5×3
:
=
9 3
3×3×4
de même
5
1
=5×
3
3
donc
5 4 5
: =
9 3 12
II) PUISSANCE D’EXPOSANT ENTIER RELATIF
1°/
Définitions
Définition :
Pour tout nombre relatif a et tout entier positif n (n>0) :
an = a × a × a × …….. × a × a × a
et on lit : « a exposant n »
si n = 2
a2 se lit : « a au carré »
si n = 3
a3 se lit : « a au cube »
n facteurs
4
Exemples :
2
3
= 2 × 2 × 2 × 2
3
3
3
3
(- 3)4 = ( - 3) × ( - 3) × ( - 3) × ( - 3)
(- 3)4 = 81
5
10 = 100 000
Remarque :
Attention il ne faut pas confondre : 2 5 22222 32 et 2donc 2 5 25
Attention aux rôles des parenthèses :
5²5525 et 5² = 5525
Définition : Pour tout nombre relatif a (a≠0) et tout entier positif n (n>0) :
L’inverse du nombre an est a-n :
a-n =
1
(a≠0)
an
2-4 =
Exemples :
10-5 =
1
105
1
24
donc 10-5 =
2°/
2-4 =
donc
1
16
1
100 000
(-2)-3 =
1
(-2)3
donc
(-2)-3 = -
1
8
donc 10-5 = 0,000 01
Écriture scientifique.
Définition :
On dit qu’un nombre est écrit en écriture scientifique s’il est sous la forme :
a × 10n (1≤ a <10 et n est un entier relatif)
12546 = 1,2546 × 104
Exemples :
3°/
0,00001267 = 1,267 × 10–5
7358 = 7,358 × 103
Propriétés des puissances.

Pour tout nombre relatif a (a≠0) et pour tous les nombres entiers m et n :
am
am × an = am+n P1
et
= am – n
P2
an
 Pour tous les nombres relatifs a et b (a≠0 et b≠0) et tout entier m :
am × bm = (a × b)m

am
a
= ( )m
bm
b
et
Pour tout nombre relatif a (a≠0) et pour tous les nombres entiers m et n :
(am)n = am × n
P3
Demonstration:
P1:
am × an = a×a×…×a × a ×a ..×a
= a×a×….×a = am+n
m facteurs
n facteurs
(Definition des puissances)
P2 :
am
=
an
am ×
= am ×
(m+n) facteurs
= am – n
Définition
P3:
(am)n = am × am × … × am
Produit (P1)
= a m+m+…+m
=
am × n
n fois
n facteurs par definition
Exemples :

43 × 48 = 43 + 8
donc
43 × 48 = 411

57
= 5 (7 – 3)
53
donc
57
= 54
53

53 × 23 = (5×2)3 donc
53 × 23 = 103

(42)3 = 42 × 3
(42)3 = 46
donc
23
= 2 3–6
26
donc
23
= 2 –3
26
donc
23 1
=
26 23
4°/
Multiple et sous-multiple
Parmi les unités rencontrées en sciences, certaines ont un statut particulier : ce sont les unités du système
international (SI).
Chaque unité, du système international ou non, peut-être précédée d’un préfixe, qui indique un multiple ou un
sous-multiple de l’unité. Le préfixe indique donc par combien il faut multiplier l’unité.
Les différents préfixes, à connaître, sont les suivants.
III) RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
Définition :
Soit « a »un nombre positif.
On appelle racine carrée de « a » noté
l’unique nombre positif « x » tel que : x2 = a.
Notation : La racine carrée du nombre positif « a » se note « a » et se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ».
Vocabulaire : Le symbole « . » est appelé radical. Le nombre sous le radical s’appelle le radicande.
Remarque : Puisqu’un carré est toujours positif, La racine carrée d’un nombre négatif n’a pas de sens.
-9 n’a pas de sens car –9 est un nombre négatif.
Propriétés : Si a existe, alors cette écriture signifie : a  0 ; a  0 ( a)² = a.
Si a  0, alors ( a)² = a
et
a² = a.
Démonstration :
On sait que
est le nombre positif dont le carré est a².
a est le nombre positif dont le carré est a².
Or si les carrés de deux nombres positifs sont égaux alors ces deux nombres sont égaux.
Donc
Exemples :
=1
² = 2,5
Remarques :
Pour calculer une racine carrée, on peut :
-
la déterminer mentalement si on connaît les carrés parfaits (voir ci-dessous),
utiliser la calculatrice en donnant le résultat sous la forme de valeur approchée arrondie.
Attention :
a n’est pas toujours un nombre entier, décimal ou rationnel. Dans ce cas on dit que a est un
nombre irrationnel. (exemples : 2 et 3)
Les carrés parfaits de 1 à 20 :