Outils Calcul numérique 1 Priorités opératoires 2 Opérations sur les

Outils Calcul numérique
1 Priorités opératoires
Dans une suite de calculs, on effectue les opérations en respectant l’ordre suivant :
1) Les parenthèses 2) Les puissances 3) Les multiplications et divisions 4) Les additions et soustractions
Ex : calculer A = 10 – 3 × [ 42 ÷ (9 – 5) ] = 10 – 3 × [16 ÷ 4] = 10 – 3 × 4 = 10 – 12 = -2
2 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire
Dans un calcul en écriture fractionnaire, on donne toujours le résultat sous forme d’une fraction irréductible
Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire :
- on réduit les dénominateurs au même dénominateur
- on additionne (ou soustrait) les numérateurs entre eux et on grade le dénominateur commun
4
8
4 + 8 12
4 5
4 × 2 5 × 3 8 15
7
- =
Ex : + =
=
−
= − =−
9
9
9
9
3 2
3× 2 2 × 3 6 6
15
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire :
- on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux
Remarques : - on détermine d’abord le signe du résultat en utilisant la règle des signes
- on simplifie, si possible, avant de multiplier
Ex :
5
1
3 × 5 × 1 15
24
-14
5
8×3×7× 2×5
1
3×- ×- =+
=
×
×
= =4
7
4× 7
28
35
16
-6
7 × 5 × 8 × 2× 3 × 2 2
-1
a
b
b
a
a et b désignant deux nombres non nuls, l’inverse de
est
. On note   =
.
b
a
a
b
1
2
3
1
Ex : l’inverse de est 5
, l’inverse de - est , (-7)-1 = 5
3
2
7
Diviser un nombre A par un nombre B revient à
2
5
2 3 2
3
7 28
Ex :
÷
=
× =
4 ÷
= 4× =
3
3
3 5 5
7
3 3
10
10 1 5 × 2 2
÷ 5=
× =
=
3
3 5 3× 5 3
3 Puissances entières d’un nombre
a est non nul et n un entier positif : an = a × ……… × a (n facteurs)
24 = 2×2×2×2 = 16
Produit
a ×a
n
2 ×2
8
-5
m
=a
=2
Quotient
an
= an-m
am
n+m
8-5
=2
(-3)2 = -3×-3 = 9
3
10-7
-7-(-5)
= 10-2
= 10
-5
10
3-2 =
1 1
=
32 9
Puissance de
puissance
a0 = 1
(6,1)0 = 1
a-n =
1
an
0,71 = 0,7
Puissance d’un
produit
Puissance d’un
quotient
n
n m
(a )
=a
nm
n
n n
(ab) = a b
(-3x)2 = (-3)2x2 = 9x2
(2-2)3 = 2-2×3 = 2-6
53 ×23 = (5×2)3 = 103
an
a
=
 
bn
b
3
 16 
163
3
=  =2
3
8
8
 
4 Puissances de 10 et écriture scientifique d’un nombre décimal
250,7×103 = 250 700 pour multiplier un nombre par 10n (n>0), on décale la virgule de n rang vers la droite
250,7×10-3 = 0,2507 pour multiplier un nombre par 10n (n<0), on décale la virgule de n. rang vers la gauche
L’écriture scientifique d’un nombre décimal est la seule écriture de la forme a × 10n de ce nombre, où a
désigne un nombre décimal ayant un seul chiffre (≠0) avant la virgule et n désigne un entier relatif.
Ex : donner l’écriture scientifique des nombres suivants : 2015 = 2,015×103
0,013×10-4 = 1,3×10-2×10-4 = 1,3×10-6
-0,0425 = -4,25×10-2
5 Racines carrées :
Définition : Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est a.
Ce nombre est appelé « racine carrée de a » est se note a . Le symbole
est appelé radical.
Ex :
25 = 5
49 = 7
16
4
=
9
3
0,81 = 0,9
Remarque : La calculatrice propose pour 2 : 1,414 213 562.
Le nombre 1,414 213 562 n’est qu’un valeur approchée de 2 . La valeur exacte de
106 = 103
2 est
2 !!
Les valeurs à connaître : « les carrés parfaits »
0
1
4
0
1
2
9
3
16
25
36
49
64
81
100
121
144
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Propriétés : Pour tous nombres a et b positifs :
( a ) = a (d’après la définition)
2
ab = a ×
a
=
b
a
b
b
a 2 = a (d’après la définition)
« La racine d’un produit est égale au produit des racines »
(avec b ≠ 0)
« La racine d’un quotient est égale au quotient des racine »
Ex :
( 5 )2 = 5
98 =
12 ×
4, 42 = 4,4
3=
12 × 3 = 36 = 6
14
14
=
= 2
7
7
49 × 2 = 49 × 2 = 7 2
9
=
4
9 3
=
4 2
Remarques :
a+b ≠
a-b ≠
a + b en effet
a - b en effet
9 + 16 = 25 = 5 et
100 - 64 = 36 = 6 et
9 + 16 = 3 + 4 = 7
100 - 64 = 10 - 8 = 2
Application :
Ecrire les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont des entiers et où b est le plus petit possible.
Méthode : faire apparaître un « carré parfait » sous le radical et appliquer la règle de la racine d’un produit.
75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 5 3
288 = 144 × 2 = 144 × 2 = 12 2
243 = 81× 3 = 81 × 3 = 9 3
Méthode : Pour supprimer la racine carrée x au dénominateur d’une fraction , on multiplie numérateur et
dénominateur par x .
Pour supprimer l’expression 1 + x au dénominateur d’une fraction , on multiplie par l’expression conjuguée
1 - x et on utilise l’identité remarquable 1 + x 1 − x = 12 − ( x ) 2 = 1 − x 2 .
(
Ex :
)(
2
2× 3
2 3
=
=
3
3
3× 3
)
−
5
2 2
=−
5× 2
5 2
5 2
=−
=−
2× 2
4
2 2× 2
2
2 × (1 − 3)
2 × (1 − 3) 2 × (1 − 3)
=
=
=
= −(1 − 3) = 3 − 1
1− 3
−2
1 + 3 (1 + 3) × (1 − 3)
2
2 × ( 3 + 5)
6 +5 2
6 +5 2
=
=
=−
3 − 25
22
3 − 5 ( 3 − 5) × ( 3 + 5)