Outils Calcul numérique 1 Priorités opératoires Dans une suite de calculs, on effectue les opérations en respectant l’ordre suivant : 1) Les parenthèses 2) Les puissances 3) Les multiplications et divisions 4) Les additions et soustractions Ex : calculer A = 10 – 3 × [ 42 ÷ (9 – 5) ] = 10 – 3 × [16 ÷ 4] = 10 – 3 × 4 = 10 – 12 = -2 2 Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire Dans un calcul en écriture fractionnaire, on donne toujours le résultat sous forme d’une fraction irréductible Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire : - on réduit les dénominateurs au même dénominateur - on additionne (ou soustrait) les numérateurs entre eux et on grade le dénominateur commun 4 8 4 + 8 12 4 5 4 × 2 5 × 3 8 15 7 - = Ex : + = = − = − =− 9 9 9 9 3 2 3× 2 2 × 3 6 6 15 Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire : - on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux Remarques : - on détermine d’abord le signe du résultat en utilisant la règle des signes - on simplifie, si possible, avant de multiplier Ex : 5 1 3 × 5 × 1 15 24 -14 5 8×3×7× 2×5 1 3×- ×- =+ = × × = =4 7 4× 7 28 35 16 -6 7 × 5 × 8 × 2× 3 × 2 2 -1 a b b a a et b désignant deux nombres non nuls, l’inverse de est . On note = . b a a b 1 2 3 1 Ex : l’inverse de est 5 , l’inverse de - est , (-7)-1 = 5 3 2 7 Diviser un nombre A par un nombre B revient à 2 5 2 3 2 3 7 28 Ex : ÷ = × = 4 ÷ = 4× = 3 3 3 5 5 7 3 3 10 10 1 5 × 2 2 ÷ 5= × = = 3 3 5 3× 5 3 3 Puissances entières d’un nombre a est non nul et n un entier positif : an = a × ……… × a (n facteurs) 24 = 2×2×2×2 = 16 Produit a ×a n 2 ×2 8 -5 m =a =2 Quotient an = an-m am n+m 8-5 =2 (-3)2 = -3×-3 = 9 3 10-7 -7-(-5) = 10-2 = 10 -5 10 3-2 = 1 1 = 32 9 Puissance de puissance a0 = 1 (6,1)0 = 1 a-n = 1 an 0,71 = 0,7 Puissance d’un produit Puissance d’un quotient n n m (a ) =a nm n n n (ab) = a b (-3x)2 = (-3)2x2 = 9x2 (2-2)3 = 2-2×3 = 2-6 53 ×23 = (5×2)3 = 103 an a = bn b 3 16 163 3 = =2 3 8 8 4 Puissances de 10 et écriture scientifique d’un nombre décimal 250,7×103 = 250 700 pour multiplier un nombre par 10n (n>0), on décale la virgule de n rang vers la droite 250,7×10-3 = 0,2507 pour multiplier un nombre par 10n (n<0), on décale la virgule de n. rang vers la gauche L’écriture scientifique d’un nombre décimal est la seule écriture de la forme a × 10n de ce nombre, où a désigne un nombre décimal ayant un seul chiffre (≠0) avant la virgule et n désigne un entier relatif. Ex : donner l’écriture scientifique des nombres suivants : 2015 = 2,015×103 0,013×10-4 = 1,3×10-2×10-4 = 1,3×10-6 -0,0425 = -4,25×10-2 5 Racines carrées : Définition : Soit a un nombre positif. Il existe un unique nombre positif dont le carré est a. Ce nombre est appelé « racine carrée de a » est se note a . Le symbole est appelé radical. Ex : 25 = 5 49 = 7 16 4 = 9 3 0,81 = 0,9 Remarque : La calculatrice propose pour 2 : 1,414 213 562. Le nombre 1,414 213 562 n’est qu’un valeur approchée de 2 . La valeur exacte de 106 = 103 2 est 2 !! Les valeurs à connaître : « les carrés parfaits » 0 1 4 0 1 2 9 3 16 25 36 49 64 81 100 121 144 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Propriétés : Pour tous nombres a et b positifs : ( a ) = a (d’après la définition) 2 ab = a × a = b a b b a 2 = a (d’après la définition) « La racine d’un produit est égale au produit des racines » (avec b ≠ 0) « La racine d’un quotient est égale au quotient des racine » Ex : ( 5 )2 = 5 98 = 12 × 4, 42 = 4,4 3= 12 × 3 = 36 = 6 14 14 = = 2 7 7 49 × 2 = 49 × 2 = 7 2 9 = 4 9 3 = 4 2 Remarques : a+b ≠ a-b ≠ a + b en effet a - b en effet 9 + 16 = 25 = 5 et 100 - 64 = 36 = 6 et 9 + 16 = 3 + 4 = 7 100 - 64 = 10 - 8 = 2 Application : Ecrire les nombres suivants sous la forme a b où a et b sont des entiers et où b est le plus petit possible. Méthode : faire apparaître un « carré parfait » sous le radical et appliquer la règle de la racine d’un produit. 75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 5 3 288 = 144 × 2 = 144 × 2 = 12 2 243 = 81× 3 = 81 × 3 = 9 3 Méthode : Pour supprimer la racine carrée x au dénominateur d’une fraction , on multiplie numérateur et dénominateur par x . Pour supprimer l’expression 1 + x au dénominateur d’une fraction , on multiplie par l’expression conjuguée 1 - x et on utilise l’identité remarquable 1 + x 1 − x = 12 − ( x ) 2 = 1 − x 2 . ( Ex : )( 2 2× 3 2 3 = = 3 3 3× 3 ) − 5 2 2 =− 5× 2 5 2 5 2 =− =− 2× 2 4 2 2× 2 2 2 × (1 − 3) 2 × (1 − 3) 2 × (1 − 3) = = = = −(1 − 3) = 3 − 1 1− 3 −2 1 + 3 (1 + 3) × (1 − 3) 2 2 × ( 3 + 5) 6 +5 2 6 +5 2 = = =− 3 − 25 22 3 − 5 ( 3 − 5) × ( 3 + 5)