Calcul numérique - Expressions algébriques

1ière partie : ALGEBRE
Chapitre 1 : Calcul numérique - expressions algébriques
1. Les radicaux d'indice 2
1.1.
Définition
La racine carrée du réel positif a est le réel positif dont le carré est a.
∀a ∈ R + : a = x
⇔
 x≥0

et x ² = a
Attention : on entend souvent dire que
9 = ±3 , ce qui n’est pas correct.
En effet, 9 = 3 et rien d’autre ! Sans doute l’erreur commise provient-elle
du fait que l’équation x 2 = 9 admet comme racines +3 et –3.
Cette équation peut se résoudre de la manière suivante :
x2 = 9
x2 − 9 = 0
( x − 3)( x + 3) = 0
x − 3 = 0 ou x + 3 = 0
x = 3 ou x = −3
⇔
1.2.
x=± 3
Remarques

• Dans a , 

• Le symbole
est le signe radical ,
a est le radicand .
est un symbole arithmétique et donne toujours un résultat
positif.
•
0 = 0 et
1 = 1.
• Le carré de tout nombre est un nombre positif ; donc aucun nombre
strictement négatif n'admet de racine carrée.
Exemple : -16 n'a pas de racine carrée.
Nous serons donc amenés à poser des conditions d'existence (en abrégé :
C.E.) pour les expressions littérales contenant des radicaux d'indice 2,
c'est-à-dire les conditions qu'il faut poser pour que ces expressions
représentent un réel.
C.E. : les radicands doivent être positifs.
Pour
A,
la C.E. est
A≥0
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Rappel :
La condition d'existence (C.E.)
dénominateur ne soit pas nul.
d'une
fraction
est
que
son
A
est B ≠ 0.
B
Sauf mention contraire, on supposera par la suite que les conditions
d’existence sont satisfaites.
Exemple, la condition d'existence de
•
x² = x
si
x² = − x
x≥0
si
3² = 3
ex :
x≤0
(− 3)² = −(−3) = 3
ex :
x² = x
Dans tous les cas on peut écrire :
1.3.
Propriétés des radicaux d'indice 2
•
•
∀
∀
a ∈ R+ :
( a)
2
=a
a, b ∈ R + :
a . b= a .
b
La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le
produit des racines carrées de ces nombres.
Exemple :
4=2
9 =3
4 . 9 = 36 = 6
et
Démonstration :
(
ab
)
2
= ab
et
9 =2 . 3=6
4 .
(
) = ( a) ( b)
2
a b
2
2
= ab
et donc :
ab = a b
puisque les deux membres de cette égalité sont positifs1
•
∀
a, b ∈ R0+ :
a
a
=
b
b
La racine carrée du quotient de deux nombres strictement
positifs est le quotient des racines carrées de ces nombres.
Exemple :
36 = 6
36
= 4 =2
9
1
9 =3
et
36
9
=
6
=2
3
∀a, b ∈ R+ : a 2 = b 2 ⇔ a = b.
Deux nombres positifs sont égaux si et seulement s'ils ont le même carré.
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2
 a
a


 b =b


Démonstration :
2
 a


 b =


et
( a)
( b)
2
2
=
a
b
a
a
=
b
b
puisque les deux membres de cette égalité sont positifs.
et donc :
a ∈ R0+ , ∀
•
ATTENTION ! ∀a, b ∈ R0+ : a + b ≠ a + b
9 + 16 = 25 = 5
9 + 16 = 3 + 4 = 7
et
a ² + b² ≠ a + b
et donc aussi :
1.4.
p
∀
Exemple :
p∈ Z : ap =
( a)
•
Rendre le dénominateur rationnel
•
Le dénominateur n'est pas une somme ou une différence.
9
9
3
Exemple :
=
=
2
2
2
Cette réponse, bien qu'exacte, est souvent transformée : on rend le
dénominateur rationnel.
Règle :
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical du
dénominateur.
Notre réponse devient :
5 . 7
5
5
5 7
35
=
=
=
=
7
7
7
7
7 7
Autre exemple :
•
3
3 2
3 2
=
=
2
2
2 2
Le dénominateur est une somme ou une différence de deux termes
(binôme).
Règle :
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le binôme
conjugué du dénominateur.
Exemples :
6
=
3− 2
(
6
(
3− 2
3+ 2
)(
3+
)
( 3 + 2) = 6( 3 + 2) = 6(
3−2
2) ( 3) − ( 2)
=
6
2
2
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3+ 2
)
2. Les radicaux d'indice n ( n ∈ N \ {0, 1} )
2.1.
4
Exemples
5
32 = 2 car 25 = 32
4
81 = 3 car 34 = 81
−81 n'existe pas aucun nombre réel n'a une quatrième puissance égale à -81.
2.2.
Définition
Dans le cas où n est pair, la racine ne du réel positif a est le réel positif dont
la ne puissance est a.
 x≥0
∀a ∈ R + : n a = x ⇔ 
n
et x = a
Dans le cas où n est impair, la racine ne du réel a est le réel dont la ne
puissance est a.
n
a = x ⇔ xn = a
2.3.
•
Remarques
n
0 = 0 et
n
1 = 1.
• Si n est pair :
Aucun nombre réel strictement négatif n'admet de racine ne. En
effet, la ne puissance d'un nombre réel (positif ou négatif) est un
nombre réel positif.
Exemple : -16 n'a pas de racine 4e.
• Si n est impair :
Tout nombre réel admet une racine ne. En effet, la ne puissance
d'un nombre et ce nombre ont le même signe.
Conséquences :
♦ si n est pair, le radicand doit être positif ;
♦ si n est impair, il n'y a pas de condition d'existence liée à la racine
ne.
Remarques :
♦ dans n a , n est l'indice;
♦ l'indice 2 ne s'écrit pas.
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2.4.
Propriétés
Pour rappel, les indices appartiennent à l’ensemble N \ {0, 1} et les exposants à
l’ensemble Z.
• ∀ a ∈ R+ :
( a)
=a
Exemple :
( 3)
=3
n
n
6
6
• ∀ a ∈ R+ :
Exemple :
n
an = a
36 = 3
6
• ∀ a, b ∈ R + : n a b = n a
Exemple :
4
• ∀ a, b ∈ R0+ :
Exemple :
•
•
n
b
16 .81 = 4 16
4
a
=
b
n
4
n
a
n
b
625 4 625 5
= 4
=
81
3
81
∀ a ∈ R0+ :
n
ap =
( a)
Exemple :
3
36 =
( 3)
∀ a ∈ R0+ :
np
a nr = a r
Exemple :
6
27 4 = 3 27 2 = 9
• ∀ a ∈ R0+ :
Exemple :
81 = 2 .3 = 6
n
p
3
6
=9
p
n r
4 3
ap =
64 2 =
n.r
4 .3
a p = rn a p =
r n
ap
64 2 = 12 64 2 = 2
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3. Puissances à exposants rationnels
3.1.
Définition
Si r est un entier non nul, si s est un naturel distinct de 0 et 1 et si a est un
réel strictement positif, alors
r
s
a = s ar
3.2.
Exemples
1
4
2
3
1296 = 1296 = 6
8 = 3 8 2 = 3 64 = 4
4
3.3. Remarque
Si r est un entier non nul, si s est un naturel distinct de 0 et 1 et si a est un
réel strictement positif, alors
1
a −r = r
et
a0 = 1
a
et donc
r
−
1
a s =
s
ar
3.4. Propriétés
∀ a, b ∈ R0+ , ∀ r , s ∈Q.
• a r . a s = a r +s
1
2
2 .2 = 2
Exemple :
•
(a )
r s
3
4
1
(a . b )r
= 2 = 4 2 5 = 4 32
6
(3 6 ) 2 = 3 2 = 3 3 = 27
= a r .b r
Exemple :
•
5
4
= a r .s
Exemple :
•
1 3
+
2 4
1
3
1
3
1
3
(8 .125) = 8 .125 = 3 8 . 3 125 = 2 .5 = 10
ar
= a r −s
as
1
Exemple :
32
3
•
r
a
a
  = r
b
b
r
1
3
1 1
−
3
= 32
1
= 36 = 6 3
1
3
1
3
27
 27 
Exemple :   = 1 =
 8 
83
3
3
27
8
=
3
2
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