Calcul numérique - Expressions algébriques

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ième
année – Technique de qualification – 1
ière
partie: ALGEBRE Page 1
1ière partie : ALGEBRE
Chapitre 1 : Calcul numérique - expressions algébriques
1. Les radicaux d'indice 2
1.1. Définition
La racine carrée du réel positif a est le réel positif dont le carré est a .
0
:²
x
a a x
et x a
≥
∀ ∈ = ⇔ 
=
+
R
Attention : on entend souvent dire que 39 ±= , ce qui n’est pas correct.
En effet, 39 = et rien d’autre ! Sans doute l’erreur commise provient-elle
du fait que l’équation
2
9
x
=
admet comme racines +3 et –3.
Cette équation peut se résoudre de la manière suivante :
2
2
9
9 0
( 3)( 3) 0
3 0 ou 3 0
3 ou 3
x
x
x x
x x
x x
=
− =
− + =
− = + =
= = −
⇔ x = ± 3
1.2. Remarques
•
.leest
,leest
, Dans radicanda
radicalsigne
a
• Le symbole est un symbole arithmétique et donne toujours un résultat
positif.
• 00 = et 11 = .
• Le carré de tout nombre est un nombre positif ; donc aucun nombre
strictement négatif n'admet de racine carrée
.
Exemple : -16 n'a pas de racine carrée.
Nous serons donc amenés à poser des conditions d'existence (en abrégé :
C.E.) pour les expressions littérales contenant des radicaux d'indice 2,
c'est-à-dire les conditions qu'il faut poser pour que ces expressions
représentent un réel.
C.E. : les radicands doivent être positifs.
Pour
, . . 0
A la C E est A
≥

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Rappel :
La condition d'existence (C.E.) d'une fraction est que son
dénominateur ne soit pas nul.
Exemple , la condition d'existence de
B
A
est B ≠ 0 .
Sauf mention contraire, on supposera par la suite que les conditions
d’existence sont satisfaites.
• 3²3:0² =≥= exxsixx
(
)
3)3(²3:0² =−−=−≤−= exxsixx
Dans tous les cas on peut écrire : xx² =
1.3. Propriétés des radicaux d'indice 2
•
(
)
2
:
a R a a
+
∀ ∈ =
•
, : . .
a b R a b a b
+
∀ ∈ =
La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le
produit des racines carrées de ces nombres.
Exemple :
4 2
=
9 3
=
4 . 9 36 6 et 4 . 9 2 . 3 6
= = = =
Démonstration :
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
ab ab et a b a b ab
= = =
et donc :
ab a b
=
puisque les deux membres de cette égalité sont positifs
1
•
0
, :
a a
a b R b
b
+
∀ ∈ =
La racine carrée du quotient de deux nombres strictement
positifs est le quotient des racines carrées de ces nombres.
Exemple : 39636 ==
2
3
6
9
36
et24
9
36 ====
1
2 2
, : .
a b a b a b
∀ ∈ = ⇔ =
+
R
Deux nombres positifs sont égaux si et seulement s'ils ont le même carré.

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Démonstration :
(
)
( )
b
a
b
a
b
a
et
b
a
b
a==
=
2
2
22
et donc : b
a
b
a=
puisque les deux membres de cette égalité sont positifs.
•
(
)
0
, :
p
p
a p a a
+
∀ ∈ ∀ ∈ =R Z
• ATTENTION !
0
, :
a b
+
∀ ∈
R
baba +≠+
Exemple : 743169et525169 =+=+==+
et donc aussi : baba +≠+ ²²
1.4. Rendre le dénominateur rationnel
• Le dénominateur n'est pas une somme ou une différence.
Exemple :
9 9 3
2
2 2
= =
Cette réponse, bien qu'exacte, est souvent transformée : on rend le
dénominateur rationnel.
Règle :
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical du
dénominateur.
Notre réponse devient :
3 3 2 3 2
2
2 2 2
= =
Autre exemple : 5 . 7
5 5 5 7 35
7 7 7
7 7 7
= = = =
• Le dénominateur est une somme ou une différence de deux termes
(binôme).
Règle :
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le binôme
conjugué du dénominateur.
Exemples :
(
)
( )( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
236
23 236
23
236
2323
236
23
6
22
+=
−+
=
−
+
=
+− +
=
−

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2. Les radicaux d'indice n ( Nn
∈
\
{
}
1 ,0 )
2.1. Exemples
5
32 2
=
car
5
2 32
=
4
81 3
=
car
4
3 81
=
4
81
−
n'existe pas aucun nombre réel n'a une quatrième puissance égale à -81.
2.2. Définition
 Dans le cas où n est pair, la racine n
e
du réel positif a est le réel positif dont
la n
e
puissance est a .
0
:
nn
x
a a x
et x a
+
≥
∀ ∈ = ⇔ 
=
R
 Dans le cas où n est impair, la racine n
e
du réel a est le réel dont la n
e
puissance est a .
axxa
n
n
=⇔=
2.3. Remarques
• 00
n
= et 11 =
n
.
• Si n est pair :
Aucun nombre réel strictement négatif n'admet de racine n
e
. En
effet, la n
e
puissance d'un nombre réel (positif ou négatif) est un
nombre réel positif.
Exemple : -16 n'a pas de racine 4
e
.
• Si n est impair :
Tout nombre réel admet une racine n
e
. En effet, la n
e
puissance
d'un nombre et ce nombre ont le même signe.
Conséquences :
♦ si n est pair, le radicand doit être positif ;
♦ si n est impair, il n'y a pas de condition d'existence liée à la racine
n
e
.
Remarques :
♦ dans
n
a, n est l'indice;
♦ l'indice 2 ne s'écrit pas.

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2.4. Propriétés
Pour rappel, les indices appartiennent à l’ensemble
{
}
\ 0, 1
N et les exposants à
l’ensemble Z.
•
(
)
aaRa
n
n
=∈∀
+
:
Exemple :
(
)
33
6
6
=
•
:
nn
a R a a
+
∀ ∈ =
Exemple :
66
3
3
=
•
nn
n
babaRba =∈∀
+
:,
Exemple :
63.2811681.16
44
4
===
•
n
n
n
b
a
b
a
Rba =∈∀
+
:,
0
Exemple :
3
5
81
625
81
625
4
4
4
==
•
(
)
p
n
np
aaRa =∈∀
+
:
0
Exemple :
(
)
6
3
3
3 6
3 9
= =
•
pr np nr
aaRa =∈∀
+
:
0
Exemple : 92727
3 26 4
==
•
.
0
:
n r
nr
rn n
p p p p
r
a R a a a a
+
∀ ∈ = = =
Exemple : 2646464
12 2
3.4 2
432
===