1ère STI Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007 FONCTIONS CIRCULAIRES Table des matières I Le radian 1 II Cercle trigonométrique 2 III Angles orientés III.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 IV Fonctions sinus et cosinus IV.1 Défintions . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . IV.3 Période et parité . . . . . . . . . . IV.4 Variations et courbe représentative IV.4.1 Fonction sinus . . . . . . . IV.4.2 Fonction cosinus . . . . . . 4 4 4 5 5 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Equations trigonométriques 7 ⋆ I ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Le radian Définition 1 Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante : ¯ Si A et M sont deux points d’un cercle de centre O de rayon r, l désigne la longueur de l’arc AM ÷ est le réel α = l ➯ La mesure en radians de l’angle AOM r M l = r×α α 0 r A Remarque 1 • Le cas particulier r = 1 est intéressant car alors l = α. Dans ce cas, la mesure en radians de l’angle ÷ est égale à la longueur de l’arc géométrique AM ‘ AOM • Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians : 360 degrés = 2π radians ou encore 180 degrés = π radians http://mathematiques.daval.free.fr -1- 1ère STI Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007 Exemple 1 On obtient le tableau de conversions suivant : Angle plein plat droit fig.b fig.a fig.b Mesure en degrés 360 180 90 60 45 30 Mesure en redians 2π π π 2 π 3 π 4 π 6 Figure a : π 4 π 6 triangle rectangle isocèle II π 4 Figure b : triangle équilatéral π 3 Cercle trigonométrique Définition 2 ➤ Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou indirect ➤ Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le direct est celui du sens inverse des aiguilles d’une montre Remarque 2 On peut donner aux sens plusieurs dénominations : • Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre. • Sens indirect : sens négatif, sens horaire. Exemple 2 Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant 4cm pour une unité 2π 3π 3 4 π 2 π 3 π 4 π 6 5π 6 π 0 11π 6 7π 6 5π 4 4π 3 http://mathematiques.daval.free.fr + 3π 2 7π 5π 4 3 -2- 1ère STI III Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007 Angles orientés III.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs (C) est le cercle trigonométrique de centre O, A et M sont deux points de (C) Définition 3 → −−→ Ÿ ‘ ou de l’angle orienté (− OA, OM ) est la longueur de chemin Une mesure, en radians, de l’arc orienté AM parcouru pour aller de A à M dans le sens direct Propriété 1 → −−→ Ÿ ‘ ou de l’angle orienté (− OA, OM ), alors toutes les Si α est une mesure en radians de l’arc orienté AM mesures en radians de cet arc sont de la forme α + 2kπ où k est un nombre entier relatif Remarque 3 Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l’on affectue sans le sens direct si k est positif, et dans le sens indirect si k est négatif Exemple 3 Placez sur le cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : − −→ −→ ÿ ➔ 5π 3 − 2π est une mesure de (OK, OL) ➔ 7π 6 ➔ 7π 6 III.2 M N K − −→ −−→ Ÿ − 3π est une mesure de (OK, OM ) + 2π − π 3 − −→ −−→ ÿ est une mesure de (OK, ON ) L Mesure principale Définition 4 On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l’intervalle [ −π; π ] Exemple 4 Donner les mesures principales des angles suivants en les plaçant sur le cercle trigonométrique : 21π 2 13π ➔ α2 = 3 −13π ➔ α3 = 6 α1 = π 2 α2 = π 3 ➔ α1 = http://mathematiques.daval.free.fr 0 α3 = − π3 -3- 1ère STI IV IV.1 Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007 Fonctions sinus et cosinus Défintions Définition 5 Soit x un réel quelconque − → −−→ Ÿ Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de (OA, OM ) − → − → ➤ Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère (O; i ; j ) − → − → ➤ Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ) M sin x − → j cosx et sinx sont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M dans le repère − → − → (O; i ; j ) á ë → x − i 0 cos x cos x On note : M sin x Propriété 2 ♦ cos2 x + sin2 x = 1 ♦ −1 6 cos x 6 1 IV.2 et −1 6 sin x 6 1 Valeurs remarquables 2π 3 3π 4 5π 6 −π √ − 23− √ 2 2 − 21 7π 6 π 2 √ 3 √2 2 2 1 2 0 π 3 π 4 π 6 1 2 √ 2 2 √ 3 2 11π 6 − 12 5π 4 4π 3 http://mathematiques.daval.free.fr √ 2 √2 − 23 − 3π 2 0 5π 3 7π 4 -4- 1ère STI Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007 D’après ce cercle trigonométrique, on peut déterminer quelques valeurs utiles : IV.3 x 0 sin x 0 cos x 1 π 6 1 √2 3 2 π √4 2 √2 2 2 π √3 3 2 1 2 π 2 π 1 0 0 1 Période et parité D’après la construction du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique, on en déduit que : • cos(x + 2π) = cosx sin(x + 2π) = sinx Ce qui signifie que les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, c’est à dire qu’elle se répetent de manière identique tous les 2π • cos(−x) = cosx sin(−x) = −sinx Ce qui signifie que la fonction cosinus est paire (elle admet une symétrie d’axe l’axe des ordonnées), et que la fonction sinus est impaire (elle admet 0 comme centre se symétrie). x x sin x cos x − sin x −x IV.4 −x Variations et courbe représentative Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, on les étudie sur un intervalle de période 2π Ces fonctions étant aussi paire ou impaire, on peut encore restreindre l’intervalle à [ 0 ; π ] On obntient les tableaux de variations par lecture du cercle trigonométrique : http://mathematiques.daval.free.fr -5- 1ère STI IV.4.1 Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007 Fonction sinus Le tableau de variations sur l’intervalle [ 0; π ] de la fonction sinus est : π 2 1 0 x sin(x) ր 0 π ց 0 − → − → On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l’intervalle [ 0 ; π ], puis par symétrie centrale, sur [ −π ; π ] 1 −1 π 2 −π − π 1 2 π −1 −2 π 2 π −2 puis par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction sinus qui s’appelle une sinusoïde −2π −π − 1 π 2 π 2 −1 π −2π 2π IV.4.2 Fonction cosinus Le tableau de variations sur l’intervalle [ 0; π ] de la fonction cosinus est : x 0 π 2 π 1 cos x 0 −1 − → − → On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l’intervalle [ 0 ; π ], puis par reflexion par rapport à l’axe des ordonnées, sur [ −π ; π ] http://mathematiques.daval.free.fr -6- 1ère STI Ch02 : Fonctions circulaires 1 π 2 −1 2006/2007 1 −π − π −2 π 2−1 π 2 π −2 par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction cosinus qui s’appelle une sinusoïde : 1 −π −2π − π 2 π 2 −1 −2π π 2π V Equations trigonométriques Propriété 3 Soit α une réel fixé, alors l’équation : ♦ sin x = sin α a pour solutions x = α + 2kπ et x = π − α + 2kπ, k ∈ Z ♦ cos x = cos α a pour solutions x = α + 2kπ et x = −α + 2kπ, k ∈ Z π − α + k 2π α + k 2π α + k 2π sin x α Exemple 5 Résoudre les équations suivantes : π ➔ cos(x) = cos 4 π ➔ cos(x) = cos − 3 √ ➔ cos(x) = 22 Å ã 3π ➔ sin(x) = sin 4 ã Å 5π ➔ sin(x) = sin − 6 1 ➔ sin(x) = 2 http://mathematiques.daval.free.fr αcos x −α + k 2π o n π π • S = − + 2kπ, + 2kπ 4 4 n π o π • S = − + 2kπ, + 2kπ 3 3 o n π π • S = − + 2kπ, + 2kπ 4 ß 4 ™ π 3π • S= + 2kπ, + 2kπ 4 ß4 ™ 5π π • S= − + 2kπ, − + 2kπ 6 ™ ß 6 5π π + 2kπ, + 2kπ • S= 6 6 -7-