fonctions circulaires

1ère STI Ch02 : Fonctions circulaires 2006/2007
FONCTIONS CIRCULAIRES
Table des matières
I Le radian 1
II Cercle trigonométrique 2
III Angles orientés 3
III.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III.2 Mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
IV Fonctions sinus et cosinus 4
IV.1 Défintions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IV.2 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IV.3 Période et parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.4 Variations et courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.4.1 Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.4.2 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Equations trigonométriques 7
⋆⋆⋆⋆⋆⋆
I Le radian
Définition 1
Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante :
Si Aet Msont deux points d’un cercle de centre Ode rayon r,ldésigne la longueur de l’arc ¯ AM
➯La mesure en radians de l’angle ÷ AOM est le réel α=l
r
A
M
r
α
0
l=r×α
Remarque 1
•Le cas particulier r= 1 est intéressant car alors l=α. Dans ce cas, la mesure en radians de l’angle
÷
AOM est égale à la longueur de l’arc géométrique ‘ AM
•Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians :
360 degrés = 2πradians ou encore 180 degrés = πradians
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Exemple 1
On obtient le tableau de conversions suivant :
Angle plein plat droit fig.b fig.a fig.b
Mesure en degrés 360 180 90 60 45 30
Mesure en redians 2π π π
2
π
3
π
4
π
6
π
4
π
4
Figure a:
triangle rectangle isocèle π
3
π
6Figure b:
triangle équilatéral
II Cercle trigonométrique
Définition 2
➤Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct
ou indirect
➤Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1orienté de telle sorte que le direct est celui
du sens inverse des aiguilles d’une montre
Remarque 2
On peut donner aux sens plusieurs dénominations :
•Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre.
•Sens indirect : sens négatif, sens horaire.
Exemple 2
Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant 4cm pour une unité
+
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
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III Angles orientés
III.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs
(C) est le cercle trigonométrique de centre O,Aet Msont deux points de (C)
Définition 3
Une mesure, en radians, de l’arc orienté ‘ AM ou de l’angle orienté ( Ÿ
−→
OA, −−→ OM ) est la longueur de chemin
parcouru pour aller de AàMdans le sens direct
Propriété 1
Si αest une mesure en radians de l’arc orienté ‘ AM ou de l’angle orienté ( Ÿ
−→
OA, −−→ OM), alors toutes les
mesures en radians de cet arc sont de la forme α+ 2kπ où kest un nombre entier relatif
Remarque 3
Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l’on affectue sans le sens direct si kest positif, et dans
le sens indirect si kest négatif
Exemple 3
Placez sur le cercle trigonométrique les quatre points
K, L, M, N tels que :
➔5π
3−2πest une mesure de (ÿ
−−→
OK, −→ OL)
➔7π
6−3πest une mesure de (Ÿ
−−→
OK, −−→ OM )
➔7π
6+ 2π−π 3est une mesure de (ÿ
−−→
OK, −−→ ON )
K
M
N
L
III.2 Mesure principale
Définition 4
On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l’intervalle [−π;π]
Exemple 4
Donner les mesures principales des angles suivants en les
plaçant sur le cercle trigonométrique :
➔α1=21π
2
➔α2=13π
3
➔α3=−13π
6
0
α1=π
2
α2=π
3
α3=−π
3
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IV Fonctions sinus et cosinus
IV.1 Défintions
Définition 5
Soit xun réel quelconque
Il lui correspond un unique point Mde (C)tel que xsoit une mesure en radians de (Ÿ
−→
OA, −−→ OM)
➤Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de Mdans le repère (O;−→
i;−→ j)
➤Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de Mdans le repère (O;−→
i;−→ j)
cosx et sinx sont donc respectivement l’abs-
cisse et l’ordonnée du point Mdans le repère
(O;−→ i;−→ j)
On note : Mácos x
sin xë
M
x
cos x
sin x
0
−→
j
−→
i
Propriété 2
♦cos2x+ sin2x= 1
♦−16cos x61 et −16sin x61
IV.2 Valeurs remarquables
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
−π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2
√2
2
√3
2
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
1
2
√2
2
√3
2
−1
2
−√2
2
−√3
2
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D’après ce cercle trigonométrique, on peut déterminer quelques valeurs utiles :
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin x01
2
√2
2
√3
21 0
cos x1√3
2
√2
2
1
20 1
IV.3 Période et parité
D’après la construction du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique, on en déduit que :
•
cos(x+ 2π) = cosx
sin(x+ 2π) = sinx
Ce qui signifie que les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, c’est à dire qu’elle se répetent de
manière identique tous les 2π
•
cos(−x) = cosx
sin(−x) = −sinx
Ce qui signifie que la fonction cosinus est paire (elle admet une symétrie d’axe l’axe des ordonnées), et
que la fonction sinus est impaire (elle admet 0 comme centre se symétrie).
x
−x
sin x
−sin x
x
−x
cos x
IV.4 Variations et courbe représentative
Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, on les étudie sur un intervalle de période 2π
Ces fonctions étant aussi paire ou impaire, on peut encore restreindre l’intervalle à [ 0 ; π]
On obntient les tableaux de variations par lecture du cercle trigonométrique :
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