DIVISIONS PAR UN NOMBRE ENTIER.

DIVISIONS PAR UN NOMBRE ENTIER.
I Division euclidienne.
1) Définitions et propriétés
Un exemple : Le CDI du collège dispose de 315 € pour acheter de nouveaux livres à 26 € l’unité.
Combien de nouveaux livres pourra-t-on avoir au CDI ?
Nous aurons 12 nouveaux livres au CDI
a) Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste.
3 < 26 et (26 × 12) + 3 = 315
b) Quand le reste est nul on dit que le dividende est un multiple du diviseur ou encore que le dividende est divisible par le diviseur.
874 est un multiple de 23 car le reste de la division euclidienne de 874 par 23 est nul.
Ou bien 874 est divisible par 23.
On dit aussi que 23 divise 874 ou que 23 est un diviseur de 874
2) Critères de divisibilité par 2; 5; 4; 3 et 9
a) Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair.
b) Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
c) Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui même divisible par 4.
d) Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
e) Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples : 9328 est divisible par 4 car 28, est divisible par 4.
314 n’est pas divisible par 4 car 14 n’est pas divisible par 4.
Exemples : 8451 est divisible par 9 car 8 + 4 + 5 + 1 = 18.
267 est divisible par 3, car 2 + 6 + 7 = 15.
3) Division par 10, par 100 ou par 1000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ou 1000, revient à multiplier par 0,1 ; 0,01 ou 0,001.
Exemples : a) 78,1 : 10 = 78,1 × 0,1 = 7,81
b) 345,3 : 100 = 345,3 × 0,01 = 3,453.
c) 12,54 : 1000 = 12,54 × 0,001 = 0,01254.
5
1
3
6
2
2
1
6
2
−
5
5
2
5
−
3
Diviseur
Quotient
Reste
Dividende
1) le reste est toujours inférieur au diviseur.
2) dividende = (diviseur × quotient) + reste.
4
7
8
2 3
3 8
9
6
−
4
8
1
4
8
1
−
0
874 = 23 × 38 + 0
874 = 23 × 38

II Division décimale.
1) Définition (a et b sont deux nombres b ≠ 0)
La division décimale d’un nombre décimal a par un nombre entier b (différent de zéro) permet de calculer le quotient exact de a
divisé par b ou une valeur approchée de a divisé par b.
Exemples :
a) Calculer le quotient exact de 114 par 8
b) Calculer le quotient de 81 par 11 en donnant 2 chiffres après la virgule.
Une valeur approchée du quotient de 81 par 11 est : 7,36.
La partie décimale du quotient de 81 par 11 contient un nombre infini de chiffres non nuls.
Donc le quotient n’est pas un nombre décimal.
2) Propriété
(a et b sont deux nombres où b non nul)
Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b donne a.
Si q = a : b alors q × b = a.
Exemples:
1) Le quotient de 82,25 par 7 est égal à 11,75, car 11,75 × 7 = 82,25.
2) Quel est le nombre qui, multiplié par 15 donne 352,5 ?
15 × …… = 352,5.
Pour obtenir ce nombre on effectue la division décimale de 352,5 par 15.
5
7
1,
1
x
7
5
2
2,
8
4
1
1
8
5
2
4,
1
8
−
4
3
2
3
−
0
2
6
1
−
0
4
0
4
−
0
Le quotient exact de 114 divisé
par 8 est 14,25
Vérification 14,25 × 8 = 114
5
2
4,
1
×
8
0
0
4,
1
1
1
8
1 1
7, 36
7
7
−
0
4
3
3
−
0
7
6
6
−
4
5
2,
5
3
15
23,5
0
3
−
2
5
5
4
−
5
7
5
7
−
0
On vérifie le résultat trouvé :
Est-ce que 15 × 23,5 = 352,5 ?