2015/16 - Master 1 - M414
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TD2 - Topologie quotient
Exercice 1.
Les groupes topologiques GLn(R), On(R), SOn(R) sont-ils compacts ? connexes ?
Même question pour GLn(C), Un(C), SUn(C).
Exercice 2. (Projection stéréographique)
Soit N=(0,...,0,1) le pole nord de la sphère Sn={(x1,...,xn+1)Rn+1
x2
1+···+x2
n+1=1}. La
projection stéréographique de pole N est l’application p:Sn\{N} → Rnqui associe à tout xSn\{N}
l’unique point p(x) de Rntel que les points N,x, et (p(x),0) soient alignés dans Rn+1.
a. Calculer p(x) pour tout x=(x1,...,xn+1)Sn\{N}.
On fera un dessin illustrant la situation dans le cas n=2.
b. Montrer que pest un homéomorphisme.
Exercice 3. (Cônes d’espaces topologiques)
Le cône d’un espace topologique Xest l’espace quotient C(X)=X×[0,1]/X× {0}.
Montrer que C(Sn1)Bn.
[Indication : on pourra utiliser l’application (x,t)Sn1×[0,1] 7→ tx Bn.]
Exercice 4.
Montrer que la sphère S3est obtenue en recollant les tores pleins S1×B2et B2×S1le long de leur bord
commun S1×S1.
[Indication : montrer que A={(x,y,z,t)S3
x2+y21/2}et B={(x,y,z,t)S3
x2+y21/2}
sont homéomorphes à des tores pleins.]
Exercice 5. (Espaces projectifs)
Soient Kun corps et n1. Lespace projectif sur Kdimension n est le quotient
KPn=Kn+1\{0}/K
Kagit par multiplication scalaire. La classe de (x1,...,xn+1)Kn+1\ {0}se note [x1,...,xn+1].
Lorsque K=Rou C, on munit KPnde la topologie quotient.
a. Montrer que
RPnSn/Z2Bn/R,
Z2={1,1}agit sur Sn={(x1,...,xn+1)Rn+1
x2
1+···+x2
n+1=1}par multiplication scalaire et
Rest la relation d’équivalence sur Bn={(x1,...,xn)Rn
x2
1+···+x2
n1}définie par yRxsi y=x
ou (xSn1et y=x).
b. Montrer que
CPnS2n+1/S1B2n/R,
S1={zC| |z|=1}agit sur S2n+1={(z1,...,zn+1)Cn+1
|z1|2+···+|zn+1|2=1}par multipli-
cation scalaire et Rest la relation d’équivalence sur B2n={(z1,...,zn)Cn
|z1|2+···+|zn|21}
définie par yRxsi y=xou (xS2n1et il existe λS1tel que y=λx).
c. Montrer que CPnet RPnsont compacts.
d. Montrer que CP1S2. En déduire que S3/S1S2.
Exercice 6. (Décomposition celllulaire des espaces projectifs)
Un carré cocartésien d’espaces topologiques est un carré
A
g
f//X
i
Yj//Z
A,X,Y,Zsont des espcaces topologiques et f,g,i,jsont des applications continues, qui est commu-
tatif (c’est-à-dire, if =jg) et tel que pour tout espace topologique Wet toutes applications continues
h:XWet l:YWvérifiant hf =lg, il existe une unique application continue φ:ZWtelle
que h=φiet l=φj. On rappelle que Zest alors homéomorphe à l’espace topologique Xf,gYobtenu
en recollant Xet Yle long de fet g.
a. Utiliser les projections canoniques pn1:Sn1RPn1et qn1:S2n1CPn1de l’exercice 5 et les
inclusions Sn1֒Bnpour construire des carrés cocartésiens :
Sn1
_
pn1//RPn1
Bn//RPn
et
S2n1
_
qn1//CPn1
B2n//CPn
b. En déduire que RPnRPn1pn1Bnet CPnCPn1qn1B2n.
c. Déterminer une décomposition cellulaire de RPnet CPn.
Exercice 7.
Montrer que R/Qn’est pas séparé, où Qagit sur Rpar translation.
Exercice 8.
Soient Gun groupe topologique séparé et Hun sous-groupe de G.
Montrer que l’espace des orbites G/H={gH |gG}est séparé si et seulement si Hest fermé.
Exercice 9. (Exponentielle d’espaces topologiques)
Etant donés des espaces topologiques Xet Y, on note par C(X,Y) l’ensemble des applications continues
de Xvers Y, et par YXl’espace topologique d’ensemble sous-jacent C(X,Y) et muni de la topologie dite
compacte-ouverte, c’est-à-dire engendrée par les ensembles
W(K,U)={f∈ C(X,Y)
f(K)U}
Kest un compact de Xet Uun ouvert de Y.
Soient X,Y,Zdes espaces topologiques. On considère l’application
Φ:C(Z×X,Y)→ C(Z,YX)
définie par Φ(f)(z)=fzYXpour tous f∈ C(Z×X,Y) et zZ, où fz(x)=f(z,x) pour tour xX.
a. Montrer que l’application Φest bien définie et injective.
b. Montrer que si Xest localement compact (i.e., Xest séparé et tout point de Xadmet un voisinage
compact) alors l’application Φest bijective.
[Indication : montrer que dans un espace topologique localement compact, tout voisinage d’un point
contient un voisinage compact du point.]
Exercice 10. (Actions de groupes topologiques)
Soient Gun groupe topologique et Xun espace topologique. Soit Homeo(X) l’ensemble des homéo-
morphismes de Xvers Xmuni de la topologie compacte-ouverte (voir l’exercice précédent).
a. Montrer que toute action continue de Gsur Xinduit un morphisme de groupes continu de Gvers
Homeo(X).
b. Montrer que si Xest localement compact, alors tout morphisme de groupes continu ϕ:GHomeo(X)
définit une unique action continue de Gsur Xtelle que ϕsoit le morphisme de groupes induit.
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