2015/16 - Master 1 - M414
——
TD2 - Topologie quotient
Exercice 1.
Les groupes topologiques GLn(R), On(R), SOn(R) sont-ils compacts ? connexes ?
Même question pour GLn(C), Un(C), SUn(C).
Exercice 2. (Projection stéréographique)
Soit N=(0,...,0,1) le pole nord de la sphère Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2
n+1=1}. La
projection stéréographique de pole N est l’application p:Sn\{N} → Rnqui associe à tout x∈Sn\{N}
l’unique point p(x) de Rntel que les points N,x, et (p(x),0) soient alignés dans Rn+1.
a. Calculer p(x) pour tout x=(x1,...,xn+1)∈Sn\{N}.
On fera un dessin illustrant la situation dans le cas n=2.
b. Montrer que pest un homéomorphisme.
Exercice 3. (Cônes d’espaces topologiques)
Le cône d’un espace topologique Xest l’espace quotient C(X)=X×[0,1]/X× {0}.
Montrer que C(Sn−1)Bn.
[Indication : on pourra utiliser l’application (x,t)∈Sn−1×[0,1] 7→ tx ∈Bn.]
Exercice 4.
Montrer que la sphère S3est obtenue en recollant les tores pleins S1×B2et B2×S1le long de leur bord
commun S1×S1.
[Indication : montrer que A={(x,y,z,t)∈S3
x2+y2≥1/2}et B={(x,y,z,t)∈S3
x2+y2≤1/2}
sont homéomorphes à des tores pleins.]
Exercice 5. (Espaces projectifs)
Soient Kun corps et n≥1. L’espace projectif sur Kdimension n est le quotient
KPn=Kn+1\{0}/K∗
où K∗agit par multiplication scalaire. La classe de (x1,...,xn+1)∈Kn+1\ {0}se note [x1,...,xn+1].
Lorsque K=Rou C, on munit KPnde la topologie quotient.
a. Montrer que
RPnSn/Z2Bn/R,
où Z2={1,−1}agit sur Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2
n+1=1}par multiplication scalaire et
Rest la relation d’équivalence sur Bn={(x1,...,xn)∈Rn
x2
1+···+x2
n≤1}définie par yRxsi y=x
ou (x∈Sn−1et y=−x).
b. Montrer que
CPnS2n+1/S1B2n/R,
où S1={z∈C| |z|=1}agit sur S2n+1={(z1,...,zn+1)∈Cn+1
|z1|2+···+|zn+1|2=1}par multipli-
cation scalaire et Rest la relation d’équivalence sur B2n={(z1,...,zn)∈Cn
|z1|2+···+|zn|2≤1}
définie par yRxsi y=xou (x∈S2n−1et il existe λ∈S1tel que y=λx).
c. Montrer que CPnet RPnsont compacts.
d. Montrer que CP1S2. En déduire que S3/S1S2.