8 Fonctions de plusieurs variables

8 Fonctions de plusieurs variables
Pour ce chapitre, en dehors des livres g´en´eralistes (e.g. [Liret Martinais, Lelong-Ferrand Arnaudi`es,
Monier Analyse, Ramis Deschamps Odoux] etc. ), on peut vraiment recommander [Rouvi`ere].
Munissons Rnet Rpde normes, not´ees sans pr´eciser lesquelles : de toute fa¸con elles sont toutes
´equivalentes !
Les fonctions consid´er´ees dans cette section sont d´efinies sur un ouvert de E=Rn`a valeurs dans
F=Rp. Plus g´en´eralement, on peut supposer que Eet Fsont des espaces de Banach.
8.1 Fonctions diff´erentiables
Soit Ωun ouvert de E=Rnet f:Ω→F=Rpune application.
D´eriv´ee selon un vecteur. Soient a∈Ωetv∈Rnun vecteur. L’ensemble U={t∈R;a+tv ∈Ω}
est un ouvert de Rcontenant 0. On dit que fest d´erivable en aselon le vecteur vsi l’application
t→ f(a+tv) est d´erivable en 0. En particulier, lorsque vest le i-`eme vecteur eide la base canonique
de Rn, on dit que fadmet une d´eriv´ee partielle qui se note alors ∂f
∂xi·
D´eveloppement limit´e `a l’ordre 1. Comment ´ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 de fen
un point ade Ω? On devra ´ecrire f(a+h)=f(a)+L(h)+ε(h)o`uL(h) doit ˆetre du premier degr´e
donc une application lin´eaire et ε(h) doit ˆetre un ode h, autrement dit lim
h→0ε(h)
h=0.
Remarquons que si fadmet un tel d´eveloppement limit´e, alors, pour tout v∈E,onaf(a+tv)=
f(a)+tL(v)+ε(tv), d’o`u l’on d´eduit que L(v) est alors la d´eriv´ee de fselon le vecteur v(d’o`u l’on
d´eduit l’unicit´e de L).
D´efinition (Diff´erentiabilit´e en un point).On dit que fest diff´erentiable en asi elle admet un
d´eveloppement limit´e f(a+h)=f(a)+L(h)+ε(h) comme ci-dessus. L’application lin´eaire L:
E→Fainsi d´efinie s’appelle la diff´erentielle de fen aet se note (df )a.
Interpr´etation g´eom´etrique (plan tangent `a une surface). Soit Ωun ouvert de R2et f:Ω→R
une application. On consid`ere la surface Σ={(x, y, f(x, y)); (x, y)∈R2}. Si (a, b, c)∈Σetfest
diff´erentiable en (a, b) de diff´erentielle L:R2→R, le plan P={(a+h, b +k, c +L(h, k)); (h, k)∈R2}
est tangent en (a, b, c) `a la surface Σ.
Matrice jacobienne, d´eterminant jacobien. L’application lin´eaire (df )a:Rn→Rpest une
matrice `a plignes et ncolonnes, appel´ee matrice jacobienne : c’est la matrice Ja=(bi,j )o`ubi,j =∂fi
∂xj
(a).
Lorsque n=p, le d´eterminant de la matrice jacobienne s’appelle d´eterminant jacobien.
Proposition (Diff´erentielle d’une fonction compos´ee).Soient E=Rn,F=Rpet G=Rqdes espaces
de Banach, Uun ouvert de E,Vun ouvert de F,f:U→Vet g:V→Gdes applications. Si fest
diff´erentiable en un point a∈Uet gest diff´erentiable en f(a), alors g◦fest diff´erentiable en aet
l’on a (d(g◦f))a=(dg)f(a)◦(df )a.
In´egalit´e des accroissements finis. Soient Eet Fdes espaces de Banach. On note 
Eet  F
leurs normes respectives. Soient Ωun ouvert convexe de Eet f:Ω→Fune application diff´erentiable
en tout point de Ω. Soit M∈R+tel que, pour tout x∈Ω, on ait |||(df )x||| M. Alors pour tout
x, y ∈Ω, on a f(x)−f(y)FMx−yE.
55

La d´emonstration de l’in´egalit´e des accroissements finis n’est pas au programme ; elle l’est si l’on suppose fde classe C1.
Corollaire. Une application diff´erentiable de diff´erentielle nulle d´efinie sur un ouvert connexe d’un
espace de Banach `a valeurs dans un espace de Banach est constante.
Une fonction fd´efinie sur un ouvert Ω⊂E=Rn`a valeurs dans F=Rpest dite de classe C1
si l’application qui `a tout point ade Ωfait correspondre la diff´erentielle df ade fen aest continue
(comme application de Ωdans L(E,F)=Mp,n(R)Rpn).
Th´eor`eme. Pour qu’une fonction soit de classe C1sur un ouvert Ω⊂Rn, il faut et il suffit qu’elle
admette des d´eriv´ees partielles continues sur Ω.
La compos´ee de deux fonctions de classe C1est de classe C1.
Gradient. Soient Eun espace vectoriel euclidien,Ωun ouvert de Eet f:Ω→Rune application
de classe C1. Pour a∈Ω, l’application (df )aest une forme lin´eaire sur E. Il existe un vecteur (∇f)a
appel´e gradient de fen atel que, pour h∈Eon ait (df )a(h)=(∇f)a|h. Si E=Rnest muni du
produit scalaire canonique, (∇f)aest le vecteur de composantes ∂f
∂xi
(a).
8.2 Diff´erentielles d’ordre sup´erieur
Soit f:Ω→Fune application de classe C1. Si sa diff´erentielle qui est application df de Ωdans
L(E,F) est de classe C1, on dira que fest de classe C2. Par r´ecurrence, on dit que fest de classe Ck
si df est de classe Ck−1. Cela revient `a dire que toutes les d´eriv´ees partielles d’ordre kexistent et
sont continues.
Th´eor`eme de Schwarz. Soient Ωun ouvert de Rnet f:Ω→Fde classe C2. Alors pour i, j ∈
{1,...,n}, on a ∂2f
∂xi∂xj
=∂2f
∂xj∂xi·
Soient Ωun ouvert de Eet f:Ω→Fde classe C2. Pour a∈Ωl’application l’application (d2f)a=
(d(df ))aest une application lin´eaire de Edans L(E,F) donc une application bilin´eaire de E×Edans
F. Le th´eor`eme de Schwarz dit que l’application bilin´eaire (d2f)aest sym´etrique.
Formule de Taylor-Young `a l’ordre 2. Soient Ωun ouvert de Rnet f:Ω→Fde classe C2.On
a un d´eveloppement limit´e pour fau voisinage d’un point a=(a1,...,a
n) de Ωet h=(h1,...,h n)tel
que a+h∈Ω,
f(a+h)=f(a)+
n
i=1
hi
∂f
∂xi
(a)+1
2
n
i,j=1
hihj
∂2f
∂xi∂xj
(a)+o(h2)
=f(a)+
n
i=1
hi
∂f
∂xi
(a)+1
2
n
i=1
h2
i
∂2f
(∂xi)2(a)+ 
1�i<j�n
hihj
∂2f
∂xi∂xj
(a)+o(h2).
Extremums locaux. Soient Eun espace vectoriel de dimension finie, Ωun ouvert de E,aun point
de Ωet f:Ω→Rune application.
a) Si fest diff´erentiable en aet pr´esente un extremum local en a, alors la forme lin´eaire (df )aest
nulle.
b) Si fest de classe C2et pr´esente un minimum (resp. maximum) local en a, la forme bilin´eaire
sym´etrique (d2f)(a)est positive (resp. n´egative).
c) Si fest de classe C2, si (df )a=0et si (d2f)aest d´efinie positive (resp. d´efinie n´egative) alors
fpr´esente un minimum (resp. maximum) local en a.
56

Supposons que E=R2. Posons r=∂2f
∂x2(a), s=∂2f ∂x∂y(a)ett=∂2f ∂y2(a). Alors (d2f)aest d´efinie
positive (resp. n´egative) si et seulement si rt −s2>0etr>0(resp. rt −s2>0etr<0).
8.3 Diff´eomorphismes
D´efinition. Soient Uun ouvert de Eet Vun ouvert de F. Un diff´eomorphisme de classe Ckde U
sur Vest une application bijective f:U→Vtelle que fet f−1soient de classe Ck.
Proposition. On suppose que f:U→Vest un hom´eomorphisme. Si fest diff´erentiable en aet df a
est un inversible, alors f−1est diff´erentiable en f(a)et (df −1)f(a)=(df )−1
a. Si de plus fest de classe
Ck,f−1est de classe Ck.
Proposition. Soient Eet Fdes espaces de Banach. L’ensemble U={T∈L(E,F); T
hom´eomorphisme}est ouvert dans L(E,F)et ϕ:T→ T−1y est continue, de classe C∞. On a
(dϕ)T(h)=−T−1hT −1.
Th´eor`eme d’inversion locale. Soient Eet Fdes espaces de Banach, Uun ouvert de Eet f:U→F
de classe C1. Soit a∈U. On suppose que (df )aest inversible. Il existe un voisinage ouvert U0de a
tel que la restriction de f`a U0soit un diff´eomorphisme de classe C1de U0sur un ouvert de F.
D’apr`es la proposition ci-dessus, si fest de plus de classe Ck, il en va de mˆeme pour sa r´eciproque.
Th´eor`eme des fonctions implicites. Soient E,F et Gdes espaces de Banach Uun ouvert de
E×Fet f:U→Gune application de classe C1. Soit a=(b, c)un point de U. On suppose que
f(a)=0et que la diff´erentielle partielle (d2f)a:F→Gest inversible. Alors il existe des ouverts
V,W de Eet Fet une application g:V→Wde classe C1tels que {b, c}∈V×W⊂U,g(b)=cet,
pour (x, y)∈V×Won ait l’´equivalence f(x, y)=0 ⇐⇒ y=g(x). On a (dg)b=−(d2f)−1
a(d1f)a.
Si fest de classe Ck, il en va de mˆeme pour g.
8.4 Exercices
8.1 Exercice. On munit R2et Rde leur topologie usuelle. Pour (x, y)∈R2,onposef(x, y)=
x3+y3−3xy.
1. Calculer df .
2. En quels points de R2l’application df est-elle nulle ?
3. Pour chacun de ces points d´eterminer s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum local ou global.
8.2 Exercice. (Point de Fermat) Soient Eun espace affine euclidien et A∈E. Notons fAl’application
M→ AM qui `a M∈Eassocie sa distance `a A.
1. D´emontrer que fAest de classe C2dans E\{A}et calculer sa diff´erentielle et sa diff´erentielle
seconde (on pourra bien choisir un rep`ere et effectuer un d´eveloppement limit´e).
Soient A, B, C trois points non-align´es de E. Posons f=fA+fB+fC.
2. a) D´emontrer que fatteint son minimum en un point au moins.
b) ´ Etablir que la fonction fest strictement convexe sur E.
c) En d´eduire que fposs`ede un unique minimum situ´e dans le plan affine contenant le triangle
ABC.
57

3. Supposons que fatteigne son minimum en un point Fde E\{A, B, C}.
a) ´ Etablir que ce point satisfait `a l’´equation suivante : −→ F A/F A +−−→ FB/FB +−→ FC/FC =−→0.
b) Dans le cas pr´ec´edent, d´emontrer que les trois angles sous les quels le point Fvoit les cˆot´es
du triangle sont ´egaux `a 2π/3.(On dit pour cela que Fest le centre optique du triangle
ABC.
c) Dans quels cas est-ce-que Fco¨ıncide avec le centre de gravit´e G?
d) Le triangle ABC est bord´e ext´erieurement par trois triangles ´equilat´eraux BCA�,CAB�et
ABC�. D´emontrer que Fest situ´e sur les cercles circonscrits de ces trois triangles.
e) Calculer la mesure de l’angle � A�FB et en d´eduire que A, F, A�sont align´es. En d´eduire que
les droites AA�,BB�et CC�sont concurrentes en F.
4. On suppose que l’un des angles du triangle ABC est sup´erieur ou ´egal `a 2π/3.d´emontrer que le
minimum de fest atteint en l’un des sommets. Lequel ?
5. On suppose qu’aucun des angles du triangle ABC n’est sup´erieur ou ´egal `a 2π/3.D´emontrer qu’il
existe un centre optique Fde ABC et que ce point est l’unique minimum de fsur R2.
8.3 Exercice. Pour (x, y)∈R2, posons F(x, y)=x−y+ sin xy.
1. D´emontrer qu’il existe un intervalle ouvert Icontenant 0 et une fonction f:I→Rde classe C1
tels que f(0) = 0 et, pour tout x∈Ion ait F(x, f(x)) = 0.
2. Calculer f�(0).
3. D´emontrer que fadmet en 0 un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 et calculer ce d´eveloppement.
8.4 Exercice. Pour (x, y, z)∈R3,onposef(x, y, z)=x2+y2+z2−3etg(x, y, z)=x2−3xy +2z2.
Consid´erons l’application F:R3→R2d´efinie par
F(x, y, z)=(f(x, y, z),g(x, y, z)).
1. Calculer dF .
2. D´emontrer que la matrice
∂f
∂y(1,1,1) ∂f ∂z(1,1,1)
∂g
∂y(1,1,1) ∂g ∂z(1,1,1)
est inversible.
3. D´emontrer qu’il existe un intervalle Jcentr´e en 1 et des applications ϕ:J→Ret ψ:J→Rde
classe C1telles que ϕ(1) = ψ(1) = 1 et pour tout x∈Jon a F(x, ϕ(x),ψ(x)) = 0.
4. Calculer les ϕ�(1) et ψ�(1).
8.5 Exercice. Soient Uun ouvert de R2et f:U→Rune fonction de classe C1. Soit (x0,y
0)∈Utel
que ∂f
∂y(x0,y
0)= 0. Posons z0=f(x0,y 0).
1. D´emontrer qu’il existe un voisinage ouvert Vde (x0,z
0) et une application Fde classe C1tels
que, pour tout (x, z)∈Von ait
x, F (x, z)∈Uet fx, F (x, z)=z.
Indication. On pourra consid´erer l’application ϕ:(x, y)→ (x, f(x, y)).
2. Soit (x, z)∈V. Posons y=F(x, z). Calculer ∂F
∂x(x, z)et∂F ∂z(x, z) en fonction ∂f ∂x(x, y)et
∂f
∂y(x, y).
58

8.6 Exercice. Notons El’espace vectoriel r´eel des matrices 2 ×2 (`a coefficients r´eels) et f:E→E
l’application A→ A2.
1. D´emontrer que l’application fest diff´erentiable et d´eterminer sa diff´erentielle df .
2. Notons I∈Ela matrice identit´e. D´emontrer qu’il existe des voisinages ouverts Uet Vde Itels
que finduise un diff´eomorphisme de Usur V.
8.7 Exercice. Soient Eun espace de Banach et f:E→Ede classe C1. On suppose qu’il existe
k∈R+,aveck<1 tel que pour tout x∈E,ona|||df x||| k.OnposeF(x)=x−f(x).
1. D´emontrer que l’application fest lipschitzienne.
2. a) Soit a∈E. D´emontrer que l’´equation x=f(x)+aadmet une et une seule solution dans E.
b) D´emontrer que l’application Fest bijective.
3. D´emontrer que Fest un diff´eomorphisme de classe C1de Esur E.
8.8 Exercice. On note la norme euclidienne de Rn. Soit F:Rn→Rnde classe C1. On suppose
qu’il existe une norme Nsur Rntelle que pour tout x, y ∈Rn, on ait NF(x)−F(y)N(x−y).
1. D´emontrer que Fest injective.
2. Soit a∈Rn.
a) Soit x∈Rn. D´emontrer que la fonction t→ 1
tF(a+tx)−F(a)admet une limite lorsque
t→0. En d´eduire que N(dF )a(x)N(x).
b) Montrer que (dF )aest bijective.
c) Soient Q:Rn→Rune application diff´erentiable et a∈Rn. On suppose que (d(Q◦F))a=0.
D´emontrer que (dQ)F(a)=0.
d) D´emontrer qu’il existe un voisinage ouvert Ude aet un voisinage ouvert Vde F(a) tels que
la restriction de Fsoit un diff´eomorphisme de Usur V.
3. D´emontrer qu’il existe k∈R∗
+tel que, pour tout x, y ∈Rn, on ait 
F(x)−F(y)
kx−y.
4. Soit b∈Rn. Pour u, x ∈Rn,posonsQ(u)=u−b2et ϕ(x)=Q◦F(x)=
F(x)−b
2.
a) D´emontrer que Qest diff´erentiable et donner une expression de dQ.
b) D´emontrer que pour tout x∈Rn,onaF(x)−b+b−F(0)kx. En d´eduire qu’il
existe R∈R∗
+tel que l’on ait x>R⇒ϕ(x)>ϕ(0).
c) Notons Bla boule ferm´ee de Rnde centre 0 et de rayon R. D´emontrer que l’on a
inf{ϕ(z); z∈Rn}= inf{ϕ(z); z∈B}et que cet inf est atteint en un point ade B.
d) D´emontrer que F(a)=b.
5. D´emontrer que Fest un diff´eomorphisme de Rnsur Rn.
6. On se propose de donner une autre d´emonstration de la surjectivit´e de F.
a) D´eduire de la question 2.d) que F(Rn) est ouvert dans Rn.
b) Soit (xn) une suite de points de Rntels que la suite F(xn)soit convergente. D´emontrer
que la suite (xn) est de Cauchy.
c) D´emontrer que F(Rn) est ferm´e dans Rn.
d) En d´eduire que Fest surjective.
59