8 Fonctions de plusieurs variables

8
Fonctions de plusieurs variables
Pour ce chapitre, en dehors des livres � généralistes � (e.g. [Liret Martinais, Lelong-Ferrand Arnaudiès,
Monier Analyse, Ramis Deschamps Odoux] etc. ), on peut vraiment recommander [Rouvière].
Munissons Rn et Rp de normes, notées � � sans préciser lesquelles : de toute façon elles sont toutes
équivalentes !
Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert de E = Rn à valeurs dans
F = Rp . Plus généralement, on peut supposer que E et F sont des espaces de Banach.
8.1
Fonctions différentiables
Soit Ω un ouvert de E = Rn et f : Ω → F = Rp une application.
Dérivée selon un vecteur. Soient a ∈ Ω et v ∈ Rn un vecteur. L’ensemble U = {t ∈ R; a + tv ∈ Ω}
est un ouvert de R contenant 0. On dit que f est dérivable en a selon le vecteur v si l’application
t �→ f (a + tv) est dérivable en 0. En particulier, lorsque v est le i-ème vecteur ei de la base canonique
∂f
de Rn , on dit que f admet une dérivée partielle qui se note alors
·
∂xi
Développement limité à l’ordre 1. Comment écrire le développement limité à l’ordre 1 de f en
un point a de Ω ? On devra écrire f (a + h) = f (a) + L(h) + ε(h) où L(h) doit être du premier degré
�ε(h)�
donc une application linéaire et ε(h) doit être un o de h, autrement dit lim
= 0.
h→0 �h�
Remarquons que si f admet un tel développement limité, alors, pour tout v ∈ E, on a f (a + tv) =
f (a) + tL(v) + ε(tv), d’où l’on déduit que L(v) est alors la dérivée de f selon le vecteur v (d’où l’on
déduit l’unicité de L).
Définition (Différentiabilité en un point). On dit que f est différentiable en a si elle admet un
développement limité f (a + h) = f (a) + L(h) + ε(h) comme ci-dessus. L’application linéaire L :
E → F ainsi définie s’appelle la différentielle de f en a et se note (df )a .
Interprétation géométrique (plan tangent à une surface). Soit Ω un ouvert de R2 et f : Ω → R
une application. On considère la surface Σ = {(x, y, f (x, y)); (x, y) ∈ R2 }. Si (a, b, c) ∈ Σ et f est
différentiable en (a, b) de différentielle L : R2 → R, le plan P = {(a + h, b + k, c + L(h, k)); (h, k) ∈ R2 }
est tangent en (a, b, c) à la surface Σ.
Matrice jacobienne, déterminant jacobien. L’application linéaire (df )a : Rn → Rp est une
∂fi
(a).
matrice à p lignes et n colonnes, appelée matrice jacobienne : c’est la matrice Ja = (bi,j ) où bi,j =
∂xj
Lorsque n = p, le déterminant de la matrice jacobienne s’appelle déterminant jacobien.
Proposition (Différentielle d’une fonction composée). Soient E = Rn , F = Rp et G = Rq des espaces
de Banach, U un ouvert de E, V un ouvert de F , f : U → V et g : V → G des applications. Si f est
différentiable en un point a ∈ U et g est différentiable en f (a), alors g ◦ f est différentiable en a et
l’on a (d(g ◦ f ))a = (dg)f (a) ◦ (df )a .
Inégalité des accroissements finis. Soient E et F des espaces de Banach. On note � �E et � �F
leurs normes respectives. Soient Ω un ouvert convexe de E et f : Ω → F une application différentiable
en tout point de Ω. Soit M ∈ R+ tel que, pour tout x ∈ Ω, on ait |||(df )x ||| � M . Alors pour tout
x, y ∈ Ω, on a �f (x) − f (y)�F � M �x − y�E .
55
La démonstration de l’inégalité des accroissements finis n’est pas au programme ; elle l’est si l’on suppose f de classe C 1 .
Corollaire. Une application différentiable de différentielle nulle définie sur un ouvert connexe d’un
espace de Banach à valeurs dans un espace de Banach est constante.
Une fonction f définie sur un ouvert Ω ⊂ E = Rn à valeurs dans F = Rp est dite de classe C 1
si l’application qui à tout point a de Ω fait correspondre la différentielle dfa de f en a est continue
(comme application de Ω dans L(E, F ) = Mp,n (R) � Rpn ).
Théorème. Pour qu’une fonction soit de classe C 1 sur un ouvert Ω ⊂ Rn , il faut et il suffit qu’elle
admette des dérivées partielles continues sur Ω.
La composée de deux fonctions de classe C 1 est de classe C 1 .
Gradient. Soient E un espace vectoriel euclidien, Ω un ouvert de E et f : Ω → R une application
de classe C 1 . Pour a ∈ Ω, l’application (df )a est une forme linéaire sur E. Il existe un vecteur (∇f )a
appelé gradient de f en a tel que, pour h ∈ E on ait (df )a (h) = �(∇f )a |h�. Si E = Rn est muni du
∂f
(a).
produit scalaire canonique, (∇f )a est le vecteur de composantes
∂xi
8.2
Différentielles d’ordre supérieur
Soit f : Ω → F une application de classe C 1 . Si sa différentielle qui est application df de Ω dans
L(E, F ) est de classe C 1 , on dira que f est de classe C 2 . Par récurrence, on dit que f est de classe C k
si df est de classe C k−1 . Cela revient à dire que toutes les dérivées partielles d’ordre � k existent et
sont continues.
Théorème de Schwarz. Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω → F de classe C 2 . Alors pour i, j ∈
∂2f
∂2f
{1, . . . , n}, on a
=
·
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Soient Ω un ouvert de E et f : Ω → F de classe C 2 . Pour a ∈ Ω l’application l’application (d2 f )a =
(d(df ))a est une application linéaire de E dans L(E, F ) donc une application bilinéaire de E × E dans
F . Le théorème de Schwarz dit que l’application bilinéaire (d2 f )a est symétrique.
Formule de Taylor-Young à l’ordre 2. Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω → F de classe C 2 . On
a un développement limité pour f au voisinage d’un point a = (a1 , . . . , an ) de Ω et h = (h1 , . . . , hn ) tel
que a + h ∈ Ω,
f (a + h) = f (a) +
= f (a) +
n
�
i=1
n
�
i=1
n
∂f
1�
∂2f
hi
(a) +
hi hj
(a) + o(�h�2 )
∂xi
2 i,j=1
∂xi ∂xj
n
�
∂f
1 � 2 ∂2f
∂2f
hi
(a) +
hi
(a)
+
h
h
(a) + o(�h�2 ).
i
j
∂xi
2 i=1 (∂xi )2
∂x
∂x
i
j
1�i<j�n
Extremums locaux. Soient E un espace vectoriel de dimension finie, Ω un ouvert de E, a un point
de Ωet f : Ω → R une application.
a) Si f est différentiable en a et présente un extremum local en a, alors la forme linéaire (df )a est
nulle.
b) Si f est de classe C 2 et présente un minimum (resp. maximum) local en a, la forme bilinéaire
symétrique (d2 f )(a) est positive (resp. négative).
c) Si f est de classe C 2 , si (df )a = 0 et si (d2 f )a est définie positive (resp. définie négative) alors
f présente un minimum (resp. maximum) local en a.
56
∂2f
∂2f
∂2f
(a),
s
=
(a)
et
t
=
(a). Alors (d2 f )a est définie
∂x2
∂x ∂y
∂y 2
positive (resp. négative) si et seulement si rt − s2 > 0 et r > 0 (resp. rt − s2 > 0 et r < 0).
Supposons que E = R2 . Posons r =
8.3
Difféomorphismes
Définition. Soient U un ouvert de E et V un ouvert de F . Un difféomorphisme de classe C k de U
sur V est une application bijective f : U → V telle que f et f −1 soient de classe C k .
Proposition. On suppose que f : U → V est un homéomorphisme. Si f est différentiable en a et dfa
est un inversible, alors f −1 est différentiable en f (a) et (df −1 )f (a) = (df )−1
a . Si de plus f est de classe
k
−1
k
C , f est de classe C .
Proposition. Soient E et F des espaces de Banach. L’ensemble U = {T ∈ L(E, F ); T
homéomorphisme} est ouvert dans L(E, F ) et ϕ : T �→ T −1 y est continue, de classe C ∞ . On a
(dϕ)T (h) = −T −1 hT −1 .
Théorème d’inversion locale. Soient E et F des espaces de Banach, U un ouvert de E et f : U → F
de classe C 1 . Soit a ∈ U . On suppose que (df )a est inversible. Il existe un voisinage ouvert U0 de a
tel que la restriction de f à U0 soit un difféomorphisme de classe C 1 de U0 sur un ouvert de F .
D’après la proposition ci-dessus, si f est de plus de classe C k , il en va de même pour sa réciproque.
Théorème des fonctions implicites. Soient E, F et G des espaces de Banach U un ouvert de
E × F et f : U → G une application de classe C 1 . Soit a = (b, c) un point de U . On suppose que
f (a) = 0 et que la différentielle partielle (d2 f )a : F → G est inversible. Alors il existe des ouverts
V, W de E et F et une application g : V → W de classe C 1 tels que {b, c} ∈ V × W ⊂ U , g(b) = c et,
pour (x, y) ∈ V × W on ait l’équivalence f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = g(x). On a (dg)b = −(d2 f )−1
a (d1 f )a .
Si f est de classe C k , il en va de même pour g.
8.4
Exercices
8.1 Exercice. On munit R2 et R de leur topologie usuelle. Pour (x, y) ∈ R2 , on pose f (x, y) =
x3 + y 3 − 3xy.
1. Calculer df .
2. En quels points de R2 l’application df est-elle nulle ?
3. Pour chacun de ces points déterminer s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum local ou global.
8.2 Exercice. (Point de Fermat) Soient E un espace affine euclidien et A ∈ E. Notons fA l’application
M �→ AM qui à M ∈ E associe sa distance à A.
1. Démontrer que fA est de classe C 2 dans E \ {A} et calculer sa différentielle et sa différentielle
seconde (on pourra bien choisir un repère et effectuer un développement limité).
Soient A, B, C trois points non-alignés de E. Posons f = fA + fB + fC .
2.
a) Démontrer que f atteint son minimum en un point au moins.
b) Établir que la fonction f est strictement convexe sur E.
c) En déduire que f possède un unique minimum situé dans le plan affine contenant le triangle
ABC.
57
3. Supposons que f atteigne son minimum en un point F de E \ {A, B, C}.
−→
−−→
−→
→
−
a) Établir que ce point satisfait à l’équation suivante : F A/F A + F B/F B + F C/F C = 0 .
b) Dans le cas précédent, démontrer que les trois angles sous les quels le point F voit les côtés
du triangle sont égaux à 2π/3. (On dit pour cela que F est le centre optique du triangle
ABC.
c) Dans quels cas est-ce-que F coı̈ncide avec le centre de gravité G ?
d) Le triangle ABC est bordé extérieurement par trois triangles équilatéraux BCA� , CAB � et
ABC � . Démontrer que F est situé sur les cercles circonscrits de ces trois triangles.
� F B et en déduire que A, F, A� sont alignés. En déduire que
�
e) Calculer la mesure de l’angle A
�
�
�
les droites AA , BB et CC sont concurrentes en F .
4. On suppose que l’un des angles du triangle ABC est supérieur ou égal à 2π/3. démontrer que le
minimum de f est atteint en l’un des sommets. Lequel ?
5. On suppose qu’aucun des angles du triangle ABC n’est supérieur ou égal à 2π/3. Démontrer qu’il
existe un centre optique F de ABC et que ce point est l’unique minimum de f sur R2 .
8.3 Exercice. Pour (x, y) ∈ R2 , posons F (x, y) = x − y + sin xy.
1. Démontrer qu’il existe un intervalle ouvert I contenant 0 et une fonction f : I → R de classe C 1
tels que f (0) = 0 et, pour tout x ∈ I on ait F (x, f (x)) = 0.
2. Calculer f � (0).
3. Démontrer que f admet en 0 un développement limité à l’ordre 2 et calculer ce développement.
8.4 Exercice. Pour (x, y, z) ∈ R3 , on pose f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 3 et g(x, y, z) = x2 − 3xy + 2z 2 .
Considérons l’application F : R3 → R2 définie par
F (x, y, z) = (f (x, y, z), g(x, y, z)).
1. Calculer dF .
2. Démontrer que la matrice
est inversible.

∂f
(1, 1, 1)

 ∂y
∂z





 ∂g
∂g
(1, 1, 1)
(1, 1, 1)
∂y
∂z
 ∂f
(1, 1, 1)
3. Démontrer qu’il existe un intervalle J centré en 1 et des applications ϕ : J → R et ψ : J → R de
classe C 1 telles que ϕ(1) = ψ(1) = 1 et pour tout x ∈ J on a F (x, ϕ(x), ψ(x)) = 0.
4. Calculer les ϕ� (1) et ψ � (1).
8.5 Exercice. Soient U un ouvert de R2 et f : U → R une fonction de classe C 1 . Soit (x0 , y0 ) ∈ U tel
∂f
que
(x0 , y0 ) �= 0. Posons z0 = f (x0 , y0 ).
∂y
1. Démontrer qu’il existe un voisinage ouvert V de (x0 , z0 ) et une application F de classe C 1 tels
que, pour tout (x, z) ∈ V on ait
�
�
�
�
x, F (x, z) ∈ U et f x, F (x, z) = z .
Indication. On pourra considérer l’application ϕ : (x, y) �→ (x, f (x, y)).
∂F
∂f
∂F
(x, z) et
(x, z) en fonction
(x, y) et
2. Soit (x, z) ∈ V . Posons y = F (x, z). Calculer
∂x
∂z
∂x
∂f
(x, y).
∂y
58
8.6 Exercice. Notons E l’espace vectoriel réel des matrices 2 × 2 (à coefficients réels) et f : E → E
l’application A �→ A2 .
1. Démontrer que l’application f est différentiable et déterminer sa différentielle df .
2. Notons I ∈ E la matrice identité. Démontrer qu’il existe des voisinages ouverts U et V de I tels
que f induise un difféomorphisme de U sur V .
8.7 Exercice. Soient E un espace de Banach et f : E → E de classe C 1 . On suppose qu’il existe
k ∈ R+ , avec k < 1 tel que pour tout x ∈ E, on a |||dfx ||| � k. On pose F (x) = x − f (x).
1. Démontrer que l’application f est lipschitzienne.
2.
a) Soit a ∈ E. Démontrer que l’équation x = f (x) + a admet une et une seule solution dans E.
b) Démontrer que l’application F est bijective.
3. Démontrer que F est un difféomorphisme de classe C 1 de E sur E.
8.8 Exercice. On note � � la norme euclidienne de Rn . Soit F : Rn →�Rn de classe �C 1 . On suppose
qu’il existe une norme N sur Rn telle que pour tout x, y ∈ Rn , on ait N F (x) − F (y) � N (x − y).
1. Démontrer que F est injective.
2. Soit a ∈ Rn .
�
1�
a) Soit x ∈ R . Démontrer que la fonction t �→
F (a + tx) − F (a) admet une limite lorsque
t
�
�
t → 0. En déduire que N (dF )a (x) � N (x).
n
b) Montrer que (dF )a est bijective.
c) Soient Q : Rn → R une application différentiable et a ∈ Rn . On suppose que (d(Q◦F ))a = 0.
Démontrer que (dQ)F (a) = 0.
d) Démontrer qu’il existe un voisinage ouvert U de a et un voisinage ouvert V de F (a) tels que
la restriction de F soit un difféomorphisme de U sur V .
�
�
3. Démontrer qu’il existe k ∈ R∗+ tel que, pour tout x, y ∈ Rn , on ait �F (x) − F (y)� � k�x − y�.
�
�2
4. Soit b ∈ Rn . Pour u, x ∈ Rn , posons Q(u) = �u − b�2 et ϕ(x) = Q ◦ F (x) = �F (x) − b� .
a) Démontrer que Q est différentiable et donner une expression de dQ.
b) Démontrer que pour tout x ∈ Rn , on a �F (x) − b� + �b − F (0)� � k�x�. En déduire qu’il
existe R ∈ R∗+ tel que l’on ait �x� > R ⇒ ϕ(x) > ϕ(0).
c) Notons B la boule fermée de Rn de centre 0 et de rayon R. Démontrer que l’on a
inf{ϕ(z); z ∈ Rn } = inf{ϕ(z); z ∈ B} et que cet � inf � est atteint en un point a de B.
d) Démontrer que F (a) = b.
5. Démontrer que F est un difféomorphisme de Rn sur Rn .
6. On se propose de donner une autre démonstration de la surjectivité de F .
a) Déduire de la question 2.d) que F (Rn ) est ouvert dans Rn .
�
�
b) Soit (xn ) une suite de points de Rn tels que la suite F (xn ) soit convergente. Démontrer
que la suite (xn ) est de Cauchy.
c) Démontrer que F (Rn ) est fermé dans Rn .
d) En déduire que F est surjective.
59
8.5
Solutions
Exercice 8.1.
∂f
∂f
1. On a
(x, y) = 3x2 − 3y et
(x, y) = 3y 2 − 3x.
∂x
∂y
∂f
∂f
2. On a
(x, y) =
(x, y) = 0 si et seulement si x2 = y et y 2 = x. Deux solutions possibles (0, 0)
∂x
∂y
et (1, 1).
∂2f
∂2f
∂2f
(0,
0)
=
0
=
(0,
0)
=
t
et
s
=
(0, 0) = −3, donc on n’a pas d’extremum
3. On a r =
(∂x)2
(∂y)2
∂x∂y
local en (0, 0).
∂2f
∂2f
∂2f
On a r =
(1,
1)
=
6
=
(1,
1)
=
t
et
s
=
(1, 1) = −3. Il vient rt − s2 = 27 > 0,
(∂x)2
(∂y)2
∂x∂y
donc on a un extremum local en (1, 1) qui est un minimum local puisque r � 0. Ce n’est pas un
minimum global puisque lim f (x, 0) = −∞.
x→−∞
Exercice 8.2.
�
� n
��
1. On choisit un repère orthonormé, dont on peut fixer l’origine en A, de sorte que fA (M ) = �
x2i .
i=1
n
�
x2i est polynomiale, donc de classe C ∞ ; elle est positive et ne
i=1
√
s’annule qu’en A ; la fonction x �→ x est de classe C ∞ sur R∗+ ; donc fA est de classe C ∞ sur
E \ {A}.
−−→
Soit M0 ∈ E distinct de A. Notons �u0 le vecteur AM0 /AM0 . Soit w
� un � petit � vecteur et
effectuons un développement limité à l’ordre 2 de fA (M0 + w).
� Pour cela, on écrit w
� = t�u0 + �v
avec t = w.�
� u0 et �v = w
� − (w.�
� u0 ) �u0 orthogonal à �u0 . Pour |t| < AM0 , on a
�
AM =
(AM0 + t)2 + ��v �2
�
��v �2
= (AM0 + t) 1 +
(AM0 + t)2
La fonction M �→ AM 2 =
= AM0 + t +
��v �2
+ o(�w�
� 2 ).
2 AM0
On en déduit que dfA (w)
� = t = w.�
� u0 et d2 fA (w,
� w)
� =
d2 fA (w
� 1, w
� 2) =
2.
��v �2
w.
�w
� − t2
=
, donc,
AM0
AM0
w
� 1 .w
� 2 − (w
� 1 .�u0 )(w
� 2 .�u0 )
·
AM0
a) Notons B = {M ∈ E; AM � f (A)} la boule fermée de centre A et de rayon f (A). C’est une
partie compacte non vide de E : puisque f est continue, il existe F ∈ B tel que f (F ) � f (M )
pour tout M ∈ B. Si M �∈ B, on a f (M ) � AM > f (A) � f (F ). On en déduit que
f (F ) = inf{f (M ); M ∈ E}.
b) Soient M, N deux points distincts de E et t ∈ ]0, 1[. Posons P = tM + (1 − T )N . On a
−→
−−→
−−→
donc AP = tAM + (1 − t)AN , donc fA (P ) � tfA (M ) + (1 − t)fA (N ), l’inégalité étant
stricte si A, M et N ne sont pas alignés. De même, fB (P ) � tfB (M ) + (1 − t)fB (N ) et
fC (P ) � tfC (M ) + (1 − t)fC (N ) et l’une au moins de ces inégalités n’est pas stricte puisque
A, B et C n’étant pas alignés, ils ne peuvent être tous trois dans la droite (M N ).
60
c) Soient F, G deux points distincts de E et notons H leur milieu. Si f (F ) = f (G), alors
f (H) < f (G) par stricte convexité, donc f ne peut pas réaliser son minimum en deux points
distincts. De plus, soit M ∈ E et notons N sont projeté orthogonal dans le plan (ABC). On
a AM 2 = AN 2 + M N 2 , donc fA (N ) � fA (M ) avec égalité si M = N - et il en va de même
pour fB et fC . On en déduit que le maximum de f ne peut être atteint en dehors du plan
(ABC).
3. a) Puisque f atteint son minimum en F , le gradient de la fonction f est nul en F , autrement
−→
−−→
−→
→
−
dit AF /AF + BF /BF + CF /CF = 0 .
b) En effet, si �u et �v sont deux vecteurs d’un espace Euclidien satisfaisant ��u� = ��v � = ��u+�v � =
1
1, il vient �u.�v = − , donc �u et �v forment un angle de 2π/3.
2
c) Si F = G, alors les coordonnées barycentriques de F dans le repère A, B, C sont (1, 1, 1)
mais aussi (AF, BF, CF ). Par unicité, il vient AF = BF = CF , donc le triangle ABC est
invariant par la rotations d’angle 2π/3 de centre F : il est équilatéral.
� C est un angle de mesure π/3, les points du cercle circonscrit situés sur l’arc de
�
d) Puisque BA
cercle entre B et C et ne contenant pas A� sont les points M du demi-plan (ABC) bordé par
�
la droite (BC) et contenant A tels que BM
C soit un angle de mesure 2π/3. On en déduit
que F est bien dans cet arc de cercle - et de même pour les deux autres cercles circonscrits.
�F C = A
� BC = π/3. On en déduit que A� est situé sur la demi-droite
�
�
e) Par cocyclicité, on a A
issue de F opposée à A.
4. Supposons par exemple que l’angle en A soit � 2π/3. On a vu que lorsque F n’est pas un des
points A, B ou C, il est situé à l’intérieur du triangle A, B, C (ses coordonnées barycentriques
�
dans le repère A, B, C sont strictement positives) et aussi BF
C = 2π/3. Impossible. Donc F est
le point parmi A, B et C en lequel la fonction f est la plus petite. C’est évidemment le point A
(puisque BC est le côté le plus long du triangle).
−→
−→
CA
BA
+
de norme > 1. On a
5. Dans ce cas, le gradient en A de fB + fC est le vecteur w
� =
BA
CA
fA (A − tw)
� = |t|�w�,
� donc la dérivée à droite en 0 de t �→ f (A − tw)
� est �w�
� − �w�
� 2 ; elle est
négative et donc f n’atteint pas son minimum en A.
Exercice 8.3.
∂F
(0, 0) = −1, donc on peut appliquer le théorème des fonctions implicites
∂y
et écrire localement F (x, y) = 0 ⇐⇒ y = f (x) : il existe des intervalles ouverts I, J et une
application f : I → J de classe C ∞ tels que 0 ∈ I ∩ J et, pour (s, t) ∈ I × J on ait l’équivalence
F (s, t) = 0 ⇐⇒ t = f (s).
2. Pour x ∈ I, on a F (x, f (x)) = 0, soit f (x) = x + sin xf (x). On a sin xf (x) ∼0 xf (x) = o(x)
puisque f est continue en 0 et f (0) = 0. Il vient f � (0) = 1.
3. Il vient f (x) = x + xf (x) + o(xf (x)) = x + x2 + o(x2 ) (puisque f (x) ∼0 x).
1. On a F (0, 0) = 0 et
Exercice 8.4.
1. La matrice Jacobienne de f , i.e. la matrice de df dans les bases canoniques est


2x
2y 2z

.
2x − 3y −3x 4z

 ∂f
∂f
(1, 1, 1)
(1, 1, 1)
�
 �
 ∂y
∂z
2 2


qui est inversible.
2. On a 
=
−3
4

 ∂g
∂g
(1, 1, 1)
(1, 1, 1)
∂y
∂z
61
3. Il s’agit encore d’une application directe du théorème des fonctions implicites.
� � �
�
�−1 � � � �
2
5/7
ϕ (1)
2 2
4. D’après le théorème des fonctions implicites, on a
=−
=
.
ψ � (1)
−3 4
−1
2/7
Exercice 8.5.
1. On applique le 
théorème d’inversion
locale à ϕ : (x, y) �→ (x, f (x, y)) : la matrice jacobienne de

∂f
1 ∂x (x, y)
�
�
ϕ en (x, y) est  ∂f
 qui est inversible pour (x, y) = (x0 , y0 ). Notons ψ : V → U la
(x, y)
0
∂y
réciproque de ϕ définie sur un voisinage de (x0 , z0 ). Pour (u, y) ∈ U � et (x, z) ∈ V � , on a
(u, y) = ψ(x, z) ⇐⇒ (x, z) = ϕ(u, y) ⇐⇒ x = u et z = f (x, y)
donc ψ(x, z) est de la forme (x, F (x, z)).


∂F
1
1 ∂x (x, z)



2. On a ψ(x, z) = (x, y) et dψ(x,z) = dϕ−1
=
x,y . Il vient donc 


 ∂F
0
0
(x, z)
∂z
∂F
∂f
∂F
∂f
∂f
vient
(x, z) =
(x, y)−1 et
(x, z) = − (x, y) (x, y)−1 .
∂z
∂y
∂x
∂x
∂y

−1
∂f
(x, y)
∂x

 ; il

∂f
(x, y)
∂y
Exercice 8.6.
1. On a f (A + H) = f (A) + AH + HA + H 2 = f (A) + AH + HA + o(�H�). On en déduit que f
est différentiable en A et que dfA (H) = AH + HA.
2. L’application A �→ dfA est linéaire, donc continue. On a dfI (H) = 2H, donc dfI est l’homothétie
de rapport 2 : elle est bijective, et l’on peut appliquer le théorème d’inversion locale.
Exercice 8.7.
1. Puisque f est définie sur tout E (qui est convexe), il résulte immédiatement du théorème des
accroissements finis que f est k-lipschitzienne.
2.
a) L’application x �→ f (x) + a est contractante ; puisque E est complet, elle admet un unique
point fixe.
b) D’après la question précédente, tout a ∈ E admet un unique antécédent par F .
3. Soit x ∈ E. Puisque |||dfx ||| � k, l’application linéaire dFx = IdE − dfx est inversible d’inverse
+∞
�
(dfx )n . D’après le théorème d’inversion locale, F induit un difféomorphisme de classe C 1 entre
n=0
un voisinage U de x et un voisinage V de F (x) ; on en déduit que F −1 est de classe C 1 sur V .
Cela étant vrai pour tout x, F est un difféomorphisme de classe C 1 .
Exercice 8.8.
1. Si F (x) = F (y), il vient N (x − y) � N (F x) − F (y)) = 0, donc x = y.
2.
N (Ra (z))
=
a) On a F (a + tx) = F (a) + tdFa (x) + Ra (tx) où Ra est un reste et vérifie donc lim
z→0
N (z)
�
1�
0. On en déduit que
F (a + tx) − F (a) = (dFa )(x). Comme pour tout t �= 0, on a
t��
�1�
N
F (a + tx) − F (a) � N (x) il vient à la limite N (dFa (x)) � N (x) (par continuité de
t
N ).
62
b) On déduit de (a) que l’endomorphisme (dF )a est injectif, donc bijectif puisque on est en
dimension finie
c) On a (d(Q ◦ F ))a = (dQ)F (a) ◦ dFa . Puisque (dF )a est bijective, si (d(Q ◦ F ))a = 0, alors
(dQ)F (a) = (d(Q ◦ F ))a ◦ ((dF )a )−1 = 0.
d) Cela résulte immédiatement du théorème d’inversion locale puisque (dF )a est bijective. Notons que ((dF )a )−1 est continue puisque on est en dimension finie.
3. Les normes N et � � étant équivalentes, il existe α, β ∈ R∗+ tels que, pour tout x ∈ Rn on ait
α�x� � N (x) � β�x� et �x� � βN (x). On en déduit que, pour x, y ∈ Rn , on a
α�x − y� � N (x − y) � N (F (x) − F (y)) � β�x − y�.
α
·
β
a) Pour c, h ∈ Rn , on a Q(c + h) = Q(c) + 2�c − b|h� + �h�2 . Comme �h�2 = o(�h�), on en
déduit que Q est différentiable en c et (dQ)c (h) = 2�c − b|h�.
On peut prendre k =
4.
b) On a �F (x) − b� + �b − F (0)� � �F (x) − F (0)� � k�x�. Donc, si k�x� > 2�b − F (0)�, on
a �F (x) − b� � k�x� − �b − F (0)� > �b − F (0)�, donc ϕ(x) = �F (x) − b�2 > ϕ(0). Il suffit
2�b − F (0)�
de poser R =
·
k
c) Comme B est compacte, la fonction continue ϕ y atteint son minimum en un point a. Pour
z ∈ Rn , on a alors
• si z ∈ B alors ϕ(z) � ϕ(a) par définition de a
• si z �∈ B alors ϕ(z) > ϕ(0) � ϕ(a) (puisque 0 ∈ B).
d) La fonction ϕ = Q ◦ F atteint un minimum en a, donc (d(Q ◦ F ))a = 0 ; par 2.c), il vient
(dQ)F (a) = 0 ; en particulier 2�F (a) − b�2 = (dQ)F (a) (F (a) − b) = 0 (d’après 4.a), donc
F (a) = b.
5. On a démontré que F est bijective. Par ailleurs, pour tout a ∈ Rn , F induit un difféomorphisme
de classe C 1 d’un voisinage ouvert U de a sur un voisinage ouvert V de F (a), donc F −1 est de
classe C 1 sur V . Cela étant vrai pour tout a, F est un difféomorphisme de classe C 1 .
6.
a) Il résulte de 2.d), que pour tout a ∈ Rn , F (Rn ) est un voisinage de F (a), donc F (Rn ) est
ouvert. De plus, comme en 5, F est un difféomorphisme de classe C 1 de Rn sur F (Rn ).
b) Puisque (F (xn )) est convergente, elle est de Cauchy ; comme N (xm − xn ) � N (F (xm ) −
F (xn )), on en déduit que (xn ) est aussi de Cauchy.
c) Soit y ∈ F (Rn ). Il existe une suite (yn ) = (F (xn )) convergeant vers y. Par (a), la suite (xn )
est de Cauchy, donc converge vers un point x ∈ E ; on a alors F (x) = y puisque F est
continue, donc F (Rn ) est fermé dans Rn ).
d) On a vu que l’ensemble F (Rn ) est ouvert et fermé dans l’espace connexe Rn ; il n’est pas
vide, donc F (Rn ) = Rn . On en déduit que F est surjective (c’est donc un difféomorphisme
de classe C 1 ).
63