01 - Mécanique

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Cours n°1 : Mécanique
1) Mouvement d’un solide – cinématique
La cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie les mouvements des corps.
1.1) La relativité du mouvement
Un objet est en mouvement par rapport à un autre objet ( celui qui sert de référence) si sa position
au cours du temps change par rapport à cet objet de référence.
On doit donc préciser le référentiel pour pouvoir déterminer la position d’un point mobile M.
Exemple : j’observe une personne se déplaçant à vélo. Quel est le mouvement de cette personne ?
Cette question n’a de sens physique que si l’on sait par rapport à quel objet il se déplace.
 La notion de mouvement est relative suivant l’objet par rapport auquel on l’étudie.
1.2) Mouvement d’un solide
Un solide est par définition un corps indéformable à l’échelle macroscopique.
1.2.1) Solide en translation
Un solide est en translation si tout segment constitué de deux points du solide reste parallèle à luimême au cours du déplacement.
Ce déplacement peut être rectiligne (cabine d’ascenseur), circulaire (nacelle d’une grande roue) ou
curviligne.
B
A
B’
A’
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
Tous les points du solide ont le même vecteur vitesse à chaque instant.
1.2.2) Solide en rotation autour d’un axe fixe
Un solide est en rotation autour d’un axe fixe si chaque point de ce solide a une trajectoire circulaire
centrée sur l’axe de rotation.
1.2.3) Trajectoire d’un point
La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions prises par ce point au cours du temps.
Le mouvement est rectiligne si la trajectoire est une droite, circulaire pour un cercle ou un arc de
cercle et curviligne pour une courbe.
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1.2.4) Vitesse linéaire
L’unité de la vitesse dans le S.I. est le m/s.
1.2.4.1) Vitesse moyenne 𝒗𝒎
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑠
=
Δ𝑡
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑠
1.2.4.2) Vitesse instantanée 𝒗(𝒕)
𝑣(𝑡) = lim
∆𝑡→0
Δ𝑥 𝑑𝑥
=
= 𝑥̇ = 𝑥′(𝑡)
Δ𝑡 𝑑𝑡
1.2.4.3) Conversions d’unités
× 3,6
m/s
km/h
×
1
3,6
1.2.5) Vitesse angulaire
La vitesse angulaire s’exprime en rad/s dans le S.I.
Son symbole est 𝜔.
𝜔 = 2𝜋𝑓
où 𝑓 est la fréquence de rotation en tours par seconde ou par minute. En S.I., 𝑓 s’exprime en Hz
1.2.5.1) Vitesse angulaire moyenne
𝜔𝑚 =
Δ𝜃 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑦é 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑑é𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
=
Δ𝑡
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑐𝑒 𝑑é𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
1.2.5.2) Vitesse angulaire instantanée
Δ𝜃 𝑑𝜃
=
= 𝜃̇ = 𝜃′(𝑡)
Δ𝑡→0 Δ𝑡
𝑑𝑡
𝜔(𝑡) = lim
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1.2.6) Lien entre vitesse angulaire et linéaire
Δ𝑙 = 𝑟Δ𝜃
Δ𝜃
 abscisse curviligne=
longueur d’arc balayé
Vitesse moyenne
𝑣𝑚 =
Δ𝑙
Δ𝜃
=𝑟
= 𝑟𝜔𝑚
Δ𝑡
Δ𝑡
Vitesse instantanée
𝑣=𝑟
𝑑𝜃
= 𝑟𝜔
𝑑𝑡
2) Mouvement d’un objet ponctuel
Le mouvement du centre d’inertie sera assimilé à celui d’un objet ponctuel de masse la masse du
solide.
2.1) Repérage d’un point – le paramètre position
Une fois le choix du référentiel fait, on lui associe un repère qui sera fixe par rapport au référentiel.
Soit le repère (𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ ) de centre 𝑂 muni d’une base orthonormale directe. Ce repère est associé au
référentiel choisi.
𝑧
𝑀
𝑟
𝑘⃗
𝑖
𝑂
𝑗
𝑦
𝑥
Un point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes (𝑥; 𝑦; 𝑧). Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 s’écrit :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
‖𝑂𝑀
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2.2) La vitesse
La vitesse est la variation du vecteur position au cours du temps :
𝑣=

𝑣=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑟
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑖
𝑑𝑡
+
𝑑𝑦
𝑗
𝑑𝑡
+
𝑑𝑧
𝑘⃗
𝑑𝑡
= 𝑥̇ 𝑖 + 𝑦̇ 𝑗 + 𝑧̇ 𝑘⃗
Le vecteur vitesse a pour caractéristiques :
-
direction = tangent en M à la trajectoire
sens = celui du mouvement
-
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
norme = ‖𝑣 ‖ = √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) + (𝑑𝑡 ) = √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2
2
2
2
2.3) L’accélération
L’accélération est la variation du vecteur vitesse au cours du temps :
𝑎=

𝑎=
𝑑𝑣 𝑑 2 𝑟
=
𝑑𝑡 𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑥
𝑖
𝑑𝑡 2
𝑑2𝑦
𝑑2 𝑧
+ 𝑑𝑡 2 𝑗 + 𝑑𝑡 2 𝑘⃗
= 𝑥̈ 𝑖 + 𝑦̈ 𝑗 + 𝑧̈ 𝑘⃗
2
‖𝑎‖ = √(
2
2
𝑑2 𝑥
𝑑2 𝑦
𝑑2 𝑧
+
+
)
(
)
(
) = √𝑥̈ 2 + 𝑦̈ 2 + 𝑧̈ 2
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 2
2.4 Base de Frenet
C’est une base orthonormée locale qui suit le mobile étudié. Elle dépend donc du temps. Elle est
constituée de deux vecteurs unitaires. Elle est notée (𝑡; 𝑛⃗).
𝑎𝑡
⃗⃗⃗
𝑡 : vecteur unitaire tangentiel porté par la
tangente et dans le même sens que 𝑣 .
𝑎
𝑡
𝑀
𝑛⃗
𝑛⃗ : vecteur unitaire normal pointé dans
le sens de la concavité de la trajectoire.
𝑅
𝑎𝑛
⃗⃗⃗⃗
𝑂
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En base de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :
𝑎 = 𝑎𝑡 𝑡 + 𝑎𝑛 𝑛⃗ =
𝑑𝑣
𝑣2
𝑡 + 𝑛⃗
𝑑𝑡
𝑅
Où 𝑅 est le rayon de courbure de la trajectoire en 𝑀.
Vecteur vitesse : 𝑣 = 𝑣𝑡
3) Analyse de mouvements particuliers
3.1) Mouvement rectiligne uniforme (MRU)
1D
axe 𝑂𝑥
trajectoire : une droite
𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0
𝑡2
𝑡1
𝑣0
𝑣0
𝑎=0
𝑣(𝑡) = 𝑣0
𝑥(𝑡) = 𝑣0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑥0
𝑠𝑖 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
Exemple de MRU : Le chien et son maître
Un chien et son maître sont séparés de 80 m. Le chien court à 12 m/s et le maître est immobile. A
quelle date se rencontrent-ils ?
Solution :
C
MRU

12 m/s
M
𝑎 (𝑡) = 0
{ 𝑀
𝑎𝐶 (𝑡) = 0
80 m
𝑣 (𝑡) = 0
{ 𝑀
𝑣𝐶 (𝑡) = 12
𝑥𝐶 (0) = 0
𝑥𝑀 (0) = 80
𝑥 (𝑡) = 80
{ 𝑀
𝑥𝐶 (𝑡) = 12𝑡
 ils se rencontrent à la date 𝑡1 telle que :
𝑥𝑀 (𝑡1 ) = 𝑥𝐶 (𝑡1 )
80 = 12𝑡1
80
⇒ 𝑡1 = 12 = 6,67𝑠
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Exemple 2 :
Deux trains roulent entre deux villes à la même vitesse (288 km/h). Etablir les équations du
mouvement et indiquer l’instant où les deux trains se rencontrent, sachant que ces deux villes sont
distantes de 600 km.
Solution :
𝑡0 = 0
𝑥𝐴 (0) = 0
𝑥𝐵 (0) = 600 × 103
𝑣𝐵
𝑣𝐴
A
B
600 km
288
288
𝑣𝐴 (𝑡) =
𝑥𝐴 (𝑡) =
𝑡
𝑎 (𝑡) = 0
3,6
3,6
⇒{
⇒
{ 𝐴
{
288
288
𝑎𝐵 (𝑡) = 0
𝑣𝐵 (𝑡) = −
𝑥𝐵 (𝑡) = −
𝑡 + 600 ∙ 103
3,6
3,6
Les deux trains se rencontrent au temps 𝑡1 tel que :
𝑥𝐴 (𝑡1 ) = 𝑥𝐵 (𝑡1 )
288
288
𝑡1 = −
𝑡 + 600 ∙ 103
3,6
3,6 1
2 × 288
600 ∙ 103 × 3,6
𝑡1 = 600 ∙ 103 ⇒ 𝑡1 =
= 3750 𝑠 = 1 ℎ 2 min 30 𝑠
3,6
2 × 288
3.2) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)
1D suivant axe 𝑂𝑥
𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0
𝑎(𝑡) = 𝑎0
𝑣(𝑡) = 𝑎0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑣0
1
𝑥(𝑡) = 𝑎0 (𝑡 − 𝑡0 )2 + 𝑣0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑥0
2
1
si 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑣(𝑡) = 𝑎0 𝑡 + 𝑣0 ⇒ 𝑥(𝑡) = 2 𝑎0 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0
MRUA
Le mouvement rectiligne est uniformément accéléré si les vecteurs 𝑣 et 𝑎 ont même sens (𝑣 ∙ 𝑎 > 0)
𝑎
𝑎
𝑣
𝑂
𝑣
𝑂
𝑣1
𝑣2
𝑣2
𝑣1
Le mobile s’éloigne de O en accélérant
le mobile se rapproche de O en accélérant
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MRUD
Le mouvement rectiligne est uniformément décéléré si les vecteurs 𝑣 et 𝑎 sont de sens opposés (𝑣 ∙
𝑎 < 0)
𝑎
𝑎
𝑣
𝑂
𝑣1
𝑂
𝑣2
𝑣
𝑣2
𝑣1
le mobile se rapproche de O en décélérant
Le mobile s’éloigne de O en décélérant
Formule indépendante du temps
𝑣22 − 𝑣12 = 2𝑎(𝑥2 − 𝑥1 ) ⇔ ∆𝑣 2 = 2𝑎∆𝑥
Démonstration
𝑑(𝑣 2 ) 𝑑(𝑣 2 ) 𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑥
𝑑𝑣 1
= 2𝑣
×
𝑑𝑡 𝑣
𝑑𝑣
=2
= 2𝑎
𝑑𝑡
𝑥2
𝑥2
𝑑(𝑣 2 )
𝑑(𝑣 2 )
⇒
= 2𝑎 ⇒ ∫
𝑑𝑥 = ∫ 2𝑎 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥1
𝑥1
𝑜𝑟 𝑣(𝑥1 ) = 𝑣1 𝑒𝑡 𝑣(𝑥2 ) = 𝑣2
𝑥
𝑥
⇒ [𝑣 2 ]𝑥12 = 2𝑎[𝑥]𝑥12
⇒ 𝑣22 − 𝑣12 = 2𝑎(𝑥2 − 𝑥1 )
⇒ ∆𝑣 2 = 2𝑎∆𝑥
3.3) Mouvement circulaire uniforme(MCU)
1D angulaire sur un arc de cercle ou un cercle
𝑦
𝜃(𝑡0 ) = 𝜃0
𝑣0
𝑅
𝑎 = 𝑎𝑛
𝜃
𝑂
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𝑥
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𝑎𝑛 =
𝑣02
𝑅
= 𝑅𝜔02
𝜔 = 𝜔0
or
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝜔0
⇒
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎𝑡 =
et
=0
𝑣 = 𝑣0 = 𝑅𝜔0
et
𝜃(𝑡) = 𝜔0 𝑡 + 𝜃0
3.4) Mouvement circulaire uniformément varié (MCUV)
MCUA : mouvement circulaire uniformément accéléré  𝑣 et ⃗⃗⃗
𝑎𝑡 ont même sens (𝑣 ∙ 𝑎 > 0)
𝑦
𝑣
𝑎𝑡
𝑎
𝑀
𝑎𝑛
𝑅
𝜃
𝑂
𝑥
MCUD : mouvement circulaire uniformément décéléré  𝑣 et ⃗⃗⃗
𝑎𝑡 sont de sens opposés (𝑣 ∙ 𝑎 < 0)
𝑦
𝑣
𝑎𝑛
𝑅
𝑀
𝑎𝑡
𝑎
𝜃
𝑂
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