Les intégrales

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Les int´egrales
1 Introduction
Etant donn´ee une fonction positive fd´efinie sur un intervalle born´e [a, b],on veut ´evaluer l’aire
comprise entre l’axe des abscisses, la courbe repr´esentant fet les verticales x=aet x=b.
Bernhard Riemann a, le premier, donn´e une d´efinition pr´ecise de l’int´egrale d’une fonction.
L’id´ee fondamentale est la suivante : on d´ecoupe le graphe de la fonction par des lignes verticales.
Dans chaque bande, on consid`ere le rectangle de hauteur maximale sous le graphe et le rectangle
de hauteur minimale au-dessus du graphe. Si, `a mesure que l’on resserre les lignes verticales, la
somme des aires des petits rectangles tend vers la somme des aires des grands rectangles, on dit
que la fonction est int´egrable au sens de Riemann et la limite obtenue est la valeur de l’int´egrale
que l’on note :
Zb
a
f(x)dx
On montre que cette limite existe si la fonction fest continue sur [a, b].
Pour aet bconnus, Rb
af(x)dx est appel´ee int´egrale d´efinie, c’est un nombre.
La variable xne sert qu’`a d´ecrire la fonction f, on a Rb
af(x)dx =Rb af(t)dt .
La variable peut ˆetre not´ee x,t,u,y, etc, sans que cela change la valeur de ce nombre; on dit
que la variable est muette.
Ce nombre est positif si a < b et si fest positive sur [a, b], mais ce peut ˆetre un nombre n´egatif,
en particulier si fest n´egative sur [a, b].
2 Primitive
Si fest une fonction continue sur [a, b] , alors pour x∈[a, b] , l’int´egrale Rx
af(t)dt o`u la borne
sup´erieure varie, d´esigne une fonction de la variable ici not´ee x
F(x) = Zx
a
f(t)dt
La fonction d´eriv´ee de F, si elle existe, doit ˆetre la limite quand htend vers 0 de
F(x+h)−F(x)
h=1 hµZx+h
a
f(t)dt −Zx
a
f(t)dt¶
=1
hZx+h
x
f(t)dt
Or si hest petit, l’int´egrale Rx+h
xf(t)dt vaut h×f(c) avec centre xet x+h. Comme fest
suppos´ee continue sur [a, b],quand htend vers 0, on a f(c)→f(x) et donc:
Th´eor`eme 1 Si fest continue sur [a, b],alors Fest d´erivable pour x`a l’int´erieur de [a, b]et
F0(x) = f(x)
Une fonction, dont la d´eriv´ee est f, est appel´ee une primitive de f. Une fonction a une infinit´e
de primitives obtenues en ajoutant une constante arbitraire `a une primitive particuli`ere.
La fonction Rx
af(t)dt d´esigne la primitive de fqui s’annule pour x=a.
Nelly POINT 1 Version 1

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Connaissant une primitive quelconque, encore not´ee F, on peut calculer l’int´egrale d´efinie sur
[a, b] par
Zb
a
f(t)dt =F(b)−F(a)
qui repr´esente l’”aire alg´ebrique”.
Remarque 1 Si fest continue sur IR et si les fonctions uet vsont d´erivables sur IR , la
fonction H(x) = Rv(x)
u(x)f(t)dt =F(v(x)) −F(u(x)) est aussi d´erivable sur IR , et on a
H0(x) = v0(x)F0(v(x)) −u0(x)F0(u(x))
donc :
d
dx Zv(x)
u(x)
f(t)dt =v0(x)f(v(x)) −u0(x)f(u(x))
Remarque 2 Pour pouvoir calculer une int´egrale, la continuit´e de fsur [a, b]n’est pas
n´ecessaire, il suffit que fsoit continue et born´ee par morceaux. On peut alors utiliser les
propri´et´es pr´ec´edentes sur chacun des intervalles o`u elle est continue.
Remarque 3 La recherche de primitives est donc un outil tr`es commode pour calculer des
int´egrales. Malheureusement, un tr`es grand nombre de fonctions ont des primitives que l’on ne
peut pas expliciter `a l’aide des fonctions usuelles.
Par exemple la fonction e−x2, appel´ee Gaussienne, est continue sur IR et admet donc des
primitives mais on ne peut pas les exprimer `a l’aide des fonctions usuelles. Leur usage, courant
en probabilit´e, am`ene `a cr´eer la fonction ”erf” qui est d´efinie par
erf(x) = 2
√πZx
0
e−t2dt
Elle est tabul´ee en calculant num´eriquement ses valeurs pour diff´erents x.
Le coefficient 2
√πest choisi tel que erf(∞) = 1.
Une autre int´egrale de ce type, tr`es utilis´ee dans le traitement du signal, est le sinus int´egral,
qui est une primitive du sinus cardinal :
Si(x) = Zx
0
sin t
tdt
3 M´ethodes d’int´egration
3.1 Utilisation de la lin´earit´e
•transformation de produits en sommes ( `a l’aide de formules de trigonom´etrie)
•d´ecomposition des fractions rationnelles en sommes de fonctions simples
3.2 Changement de variables
C’est un outil tr`es utile. Si on pose x=ϕ(t) o`u ϕest une fonction d´efinie sur [α, β], d´erivable
et bijective de [α, β] sur [a, b] et telle que ϕ(α) = aet ϕ(β) = balors on a
Zb
a
f(x)dx =Zβ
α
f(ϕ(t)) ϕ0(t)dt avec α=ϕ−1(a) et β=ϕ−1(b)
Nelly POINT 2 Version 1

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3.3 Int´egration par parties
Formule qui d´ecoule de la formule bien connue de d´erivation d’un produit :
(uv)0=u0v+u v0
Elle peut s’´ecrire :
Zb
a
u(x)v0(x)dx = [u(x)v(x) ]b
a−Zb
a
u0(x)v(x)dx
La notation diff´erentielle du =u0(x)dx et dv =v0(x)dx permet une ´ecriture plus synth´etique
pour les primitives : Zudv =uv −Zvdu
A utiliser dans des cas bien sp´ecifiques :
•Pour int´egrer le produit d’un polynˆome par une exponentielle, par un cosinus, ou par un
sinus.
(on pose alors u(x) = P(x) pour avoir de proche en proche des polynˆomes de degr´e de
plus en plus petit dans l’int´egrale `a calculer, jusqu’`a obtenir un polynˆome de degr´e z´ero
donc constant)
•Pour se d´ebarrasser des fonctions transcendantes qui ont des d´eriv´ees de type fractions
rationnelles comme ln(x), tan(x),et plus g´en´eralement ln(R(x)) o`u Rest une fraction
rationnelle etc ..
(on pose alors u(x) = f(x) o`u fest la fonction transcendante )
3.4 Int´egration de fractions rationnelles
Une fraction rationnelle Rest le quotient de deux polynˆomes Pet Q. La m´ethode d’int´egration
consiste, en g´en´eral, `a d´ecomposer cette fraction en ´el´ements simples sur IR (c.f. autours des
polynˆomes). Ainsi on se ram`ene au calcul d’int´egrales de la forme :
Zdx
(x−a)αou ZAx +B
(x2+px +q)βdx
Or
Zdx
(x−a)α=(1
(1−α)(x−a)α−1+Csi α6= 1
ln |x−a|+Csi α= 1
Pour les int´egrales du deuxi`eme type, il faut mettre le d´enominateur sous forme canonique:
x2+px +q= (x+p
2)2+r2
puis faire le changement de variables :
x+p
2=rt
On obtient alors
ZCt +D
(t2+ 1)βdt =C 2Z2t (t2+ 1)βdt +DZ1 (t2+ 1)βdt
La premi`ere int´egrale est de la forme Rdu
uβ, la seconde s’int`egre en posant t= tan θcar
dt =¡1 + (tan θ)2¢dθ d’o`u dθ =dt
1+t2et 1 1+(tan θ)2= cos2θ
Nelly POINT 3 Version 1

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3.4.1 Fractions rationnelles de fonctions trigonom´etriques
R(cos x, sin x, tan x)
On peut toujours faire le changement de variable t= tan x
2
(car dt =d(tan x
2) = 1 2(1 + (tan x 2)2)dx d’o`u dx =2
1+t2dt)
et utiliser les formules de trigonom´etrie
sin x=2t
1 + t2, cos x=1−t2 1 + t2, tan x=2t 1−t2
On se ram`ene alors `a une fraction rationnelle en t:
ZR(cos x, sin x, tan x)dx =ZRµ1−t2
1 + t2,2t 1 + t2,2t 1−t2¶2 1 + t2dt
Mais il peut ˆetre plus judicieux d’essayer les changements de variable suivants t= cos x, ou
t= sin x, ou t= tan x, pour ne pas avoir des polynˆomes de degr´e trop ´elev´e.
3.4.2 Fractions rationnelles de fonctions hyperboliques
R(chx, shx, thx)
Le changement de variable ex=timplique dx =dt
tet ram`ene `a une fraction rationnelle en t.
3.4.3 Fractions rationnelles particuli`eres (int´egrales ab´eliennes)
•R(x, n
qax+b
cx+d) o`u Rest une fraction rationnelle, on fait le changement de variable :
n
rax +b
cx +d=t
•R(x, √ax2+bx +c) o`u Rest une fraction rationnelle, on met ax2+bx +csous la forme
canonique puis on fait un changement de variable adapt´e.
Par exemple
pour √1−t2poser t= sin θ,
pour √1 + t2poser t=sh θ,
pour t≥0 et √t2−1 poser t=ch θ.
4 Exemples
1. Utilisation de la lin´earit´e
a) Transformation de produit en somme
Rcos(3x) sin(2x)dx =R¡1
2sin 5x−1 2sin x¢dx =1 2cos x−1 10 cos 5x+C
b) Utilisation de formules connues
Rtan2(x)dx =R¡tan2(x) + 1¢dx −Rdx = tan x−x+C
2. D´erivation d’une int´egrale d´ependant de ses bornes
a) Soit H(x) = R3x2
1
sin t
tdt , sa d´eriv´ee est H0(x) = 6xsin(3x2)
3x2et elle est d´efinie pour x > 0
.(Bien qu’on ne puisse pas calculer analytiquement H, on peut ´etudier ses variations grˆace
`a sa d´eriv´ee).
b) Soit H(x) = Rx2
3xexp(−t2)dt , sa d´eriv´ee est
H0(x) = 2xexp(−x4)−3 exp(−9x2)
Nelly POINT 4 Version 1

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3. Changement de variable (primitive ou int´egrale d´efinie)
a) Calculons les primitives de la fonction f(x) = cos5(x) sin(x) en faisant le changement
de variable t= cos x. Alors dt =−sin x dx et on a
Rcos5(x) sin(x)dx =R−t5dt =−t6
6+C=−cos6(x) 6+C.
b) Pour calculer non pas une primitive mais une int´egrale d´efinie, on ´evite souvent de
revenir en xmais alors, il faut imp´erativement penser `a changer les bornes d’int´egration.
Par exemple :
Rπ/2
0cos5(x) sin(x)dx =R0 1−t5dt =R1 0t5dt =ht6
6i1
0=1
6
Il est utile de v´erifier, quand c’est possible, la validit´e du signe trouv´e. Ici, comme f(x)>0
sur ]0, π/2[,il est clair que le r´esultat doit ˆetre strictement positif.
c) Pour calculer une int´egrale d´efinie,connaissant d´ej`a une primitive on ´ecrit
directement
Rπ/2
0cos5(x) sin(x)dx =h−cos6(x)
6iπ/2
0.
4. Changement de variable (validit´e)
Soit l’int´egrale d´efinie Rπ
0
dx
1+sin2x,c’est une fraction rationnelle en sin x, on peut donc
toujours faire le changement de variable tan x
2=t, mais ici on peut plus simplement poser
tan x=t(car sin2x= 1 −cos2x= 1 −1
1+t2) et donc dx =dt 1+t2.Or tan xs’annule en 0 et
π. Si on ´ecrit Rπ
0
dx
1+sin2x=R0
0
1+t2
1+2t2
dt
1+t2on obtient la valeur 0, comme la fonction 1
1+sin2x
est strictement positive sur ]0, π[ , l’int´egrale doit ˆetre positive.
Chercher l’erreur !
5. Int´egration par parties
a) Rln(x)dx
La fonction ln(x) a pour d´eriv´ee la fraction rationnelle 1
x. Donc en posant
u= ln(x) et dv =dx , on a du =dx
xet v=x
Il vient Rln(x)dx =xln(x)−Rdx =xln(x)−x+C
b) R1
−1(x2−1) cos(πx)dx
Il suffit de poser u´egal au polynˆome, donc ici u=x2−1 et dv = cos(πx)dx.
On a alors du = 2xdx et v=sin(πx)
πd’o`u
R1
−1(x2−1) cos(πx)dx =h(x2−1)sin(πx)
πi1
−1−R1
−12xsin(πx)
πdx
= 0 −R1
−12xsin(πx)
πdx.
On refait une int´egration par parties en suivant le mˆeme principe.
Soit u= 2xet dv =sin(πx)
πdx , d’o`u du = 2dx et v=−cos(πx)
π2, alors
−R1
−12xsin(πx)
πdx =−h−2xcos(πx)
π2i1
−1+R1
−1−2cos(πx)
π2dx
=2
π2(−1−(−1)2) + 0 = −4 π2(Rq (x2−1) cos(πx)≤0 sur [−1,1] ).
c) RP(x)eαx dx avec Ppolynˆome et d◦P=n.
Apr`es n+ 1 int´egrations par parties o`u l’on pose dv =eαxdx, on trouve
ZP(x)eαx dx =eαx ÃP(x)
α−P0(x) α2+P”(x) α3−P(3)(x) α4+...
... + (−1)nP(n)(x)
αn+1 !+C
Nelly POINT 5 Version 1