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01/12/2004 1

Modèles et Approches Formels pour les Systèmes

Distribués

-Algorithmes distribués probabilistes

-Analyse probabiliste des algorithmes distribués

A. Zemmari

[email protected]

www.labri.fr/visidia/

SDRP & MA

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01/12/2004 2

Algorithmes distribués

probabilistes

• L’algorithme exécuté par les processus est un algorithme probabiliste.

•Définition : (algorithme probabiliste) un algorithme où le hasard intervient.

– Le processus « fait un tirage aléatoire » pour décider des actions à entreprendre;

– le démarrage d’un algorithme est effectué par un processus choisi au hasard;

– …

• Pourquoi les algorithmes distribués probabilistes ?

– Quand on ne peut pas faire autrement :

• résultats d’impossibilité à cause des hypothèses sur le système :

anonymat ⇒élection déterministe impossible

– parfois plus performants que les algorithmes déterministes.

– Plus tolérants aux pannes que les algorithmes déterministes.

– …

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Analyse probabiliste des

algorithmes distribués

• L’algorithme exécuté par le processeur est (ou peut être) déterministe mais

l’algorithme exécuté par le système est lui probabiliste.

• Exemples :

– Les algorithmes distribués dans un système asynchrone;

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Table des matières

• Rappels de probabilités.

• Algorithmes distribués probabilistes.

• Analyse probabiliste d’algorithmes distribués.

• Applications :

– Le problème du rendez-vous.

– le problème de l’élection locale.

– Algorithmes d’élection.

– Résolution de conflits.

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01/12/2004 5

Références

• F. DRESS, Probabilités et Statistique, Dunod, 1997.

• R. Motwani et P. Raghavan, Randomized Algorithms. Cambridge.

• G. Tel, Introduction to Distributed Algorithms, Cambridge Press.

• C. Lavault, Analyse d’algorithmes distribués,Hermès

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Rappels de Probabilités

• Distribution de probabilité

• Variable aléatoire

• Espérance mathématique

• Linéarité de l’espérance

• Variance

• Ecart type

• Probabilités conditionnelles

• Lois usuelles

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01/12/2004 7

Probabilités Discrètes

• Exemple : on lance deux dès.

Ω = D

×

D = {(1,1),(1,2),

D = {(1,1),(1,2),…

…(6,6)}

(6,6)}

• Avec D = {1,2,…,6}

D = {1,2,…,6}

• L’espace Ω contient 6×6 = 36 éléments.

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01/12/2004 8

• Distribution uniforme :

– Tous les éléments de Ω

Ωsont de même probabilité 1/36

– tous les éléments de D

Dsont de même probabilité 1/6.

•Définition. Une mesure de probabilité P

Pest une application de l’ensemble des

événements Ω

Ωdans l’intervalle [0,1],

[0,1], qui satisfait les deux propriétés (ou

« axiomes » )

( )

∑

Ω∈ ==Ω +=∪⇒∅=∩

ω

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•Ω

Ω: espace des événements élémentaires

•

•A

A

∈

Ω

Ω: événement

•

•P

P: une loi (ou distribution) de probabilité sur Ω

Ω

• On prolonge P

Psur (

(Ω

Ω)

) par :

Pr

Pr(A)

(A) : probabilité de A

A

•Proposition

–

–Pr

Pr(

(

∅

)=0

–

– , pour toute famille au plus dénombrable A

Aii, i

, i

∈

I

d ’éléments de (

(Ω

Ω)

) 2 à 2 disjoints.

∑

∈⊂∀=

ω

∑∈

∈=

U−=

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01/12/2004 10

Exemple : Problème du rendez-vous

• Chaque processus p

p choisit uniformément un de ses voisins;

• Si le nombre de voisins est n

n, quelle est la probabilité qu’il choisisse un

processus q

qen particulier ?

• Quelle est la probabilité pour que deux processus voisins p

pet q

qse choisissent

mutuellement ?

• Quelle est la probabilité pour p

pd’obtenir un rendez-vous avec un de ses

voisins ?

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01/12/2004 11

Propriétés

• Soient A,B

A,B deux éléments de (Ω) :

–

– si A

Aet B

Bsont disjoints, alors :

• Généralisation : Principe d’inclusion-exclusion

∩−+=∪

+=∪

+++=

=

U

III −

−−−−

IIII −−

+++

III

+

−++

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A1A2

A3

A4

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Variable aléatoire

•Définition : Soit (

(Ω

Ω,

,Pr

Pr)

)un espace probabilisé discret et soit Ω’

Ω’ un ensemble

non vide au plus dénombrable. Une variable aléatoire (v.a.) X

Xà valeurs dans

Ω’

Ω’ est une application de Ω

Ωdans Ω’

Ω’ . Nous prenons souvent pour Ω’

Ω’ un sous-

ensemble de



ou de



.

On pourra munir Ω’

Ω’ d’une loi de probabilité Pr

PrX

Xen posant, pour tout

:

•Proposition : Pr

PrX

Xest une loi de probabilité sur Ω’

Ω’, i.e.

Nous avons de plus, pour tout :

( ) { }( )

( )

'

ω

=

( )

∑

∈=

ω

'' Ω⊂A

−

=

'' Ω∈

ω

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01/12/2004 14

Exemple : Problème du rendez-vous (2)

• Pour tout processus p

p, on définit la v.a. X

Xp

p(k)

(k) comme la v.a. qui compte

le nombre de sommets avec qui p

pa obtenu un rendez-vous au bout de k

k

rounds.

• Calculer Pr

Pr(

(X

Xp

p(k) =m)

(k) =m)

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01/12/2004 15

Espérance Mathématique et

Variance

• Une v.a. admet un certain nombre de valeurs typiques. Nous considérons dans la suite

les v.a. à valeurs dans



.

•Définition : En arithmétique, la valeur moyenne de nnombres est définie par leur

somme divisée par n. En calcul des probabilités, l’espérance d’une v.a. est définie

comme la somme des valeurs prises pondérées par les probabilités respectives, c’est-à-

dire :

lorsque cette somme converge absolument. ( X(

X(Ω)

Ω) est l’ensemble des valeurs prises par

la v.a. X

X). Sinon, on dit que X

Xn’admet pas d’espérance.

∑Ω∈ ==

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