Equation cartésienne d'un plan dans l'espace - Exos corrigés Terminale

Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : vecteur normal à un plan
 Exercice 2 : équation cartésienne d’un plan défini par un vecteur normal et un point du plan
 Exercice 3 : vecteurs coplanaires
 Exercice 4 : vecteurs directeurs non colinéaires d’un plan
 Exercice 5 : équation cartésienne d’un plan défini par deux vecteurs directeurs et un point du plan
 Exercice 6 : équation cartésienne d’un plan défini par trois points non alignés du plan
 Exercice 7 : équation cartésienne d’un plan défini par un plan parallèle et un point du plan
 Exercice 8 : plans orthogonaux
 Exercice 9 : équation cartésienne du plan médiateur d’un segment
 Exercice 10 : droite d’intersection de 2 plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection
 Exercice 11 : point d’intersection de 3 plans et coordonnées du point d’intersection
 Exercice 12 : distance d’un point à un plan
 Exercice 13 : représentation paramétrique d’un plan connaissant une équation cartésienne de ce plan
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Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace
Exercices corrigés

Equation cartésienne d’un plan – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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On munit l’espace d’un repère 
. Les questions suivantes sont indépendantes.
1) On considère le plan  d’équation cartésienne . Donner un vecteur normal à 
et un point de .
2) Donner une équation cartésienne des plans ,  et  et un vecteur normal à chacun de ces
trois plans.
3) On considère le plan  d’équation cartésienne . Le vecteur 
 est-il un
vecteur normal au plan  ?
1) Donner un vecteur normal à  et un point de .
Rappel : Vecteur normal à un plan et équation cartésienne d’un plan
Dire qu’un vecteur 
non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur 
est
orthogonale à ce plan.
L’ensemble des points    de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne  (où
, ,  désignent des réels non tous nuls et  un réel) est un plan de vecteur normal 
.
Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal 
, alors ce plan a une équation cartésienne de la forme
 (où , ,  désignent des réels non tous nuls et  un réel).
Une équation cartésienne du plan  est , c’est-à-dire . Il vient
que le vecteur 
 est un vecteur normal au plan.
Remarque : Tout vecteur non nul colinéaire à  est un vecteur normal à . C’est le cas par exemple du
vecteur 
. Il existe une infinité de vecteurs normaux au plan .
En outre, on sait que tout point dont les coordonnées vérifient l’équation du plan  appartient à . Or,
 donc le point de coordonnées  appartient au plan .
Remarque : Il existe une infinité de points appartenant au plan . C’est le cas par exemple des points de
coordonnées respectives  et  puisque  et .
Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile
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2) Donnons une équation cartésienne des plans ,  et  et un vecteur normal à chacun de
ces trois plans.
Une équation cartésienne du plan  est . Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur 
.
Une équation cartésienne du plan  est . Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur 
.
Une équation cartésienne du plan  est . Un vecteur normal à ce plan est donc le vecteur 
.
3) Vérifions si le vecteur 
 est un vecteur normal au plan .
Une équation cartésienne du plan  est , c’est-à-dire  donc
un vecteur normal au plan est le vecteur 
.
 est un vecteur normal au plan  si et seulement s’il est colinéaire au vecteur  .
Or,  ,  et  donc les vecteurs  et  ne sont pas colinéaires. Il vient donc que
 n’est pas un vecteur normal au plan .

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On munit l’espace d’un repère 
. Donner une équation cartésienne du plan  passant par
 et dont un vecteur normal est 
.
 est un vecteur normal au plan  donc une équation cartésienne de  est 
où  est un réel qu’il reste à déterminer. On a donc provisoirement .
En outre,  appartient au plan  donc ses coordonnées vérifient l’équation de . Par
conséquent, .
Or, .
Finalement, une équation cartésienne de  est .
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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On munit l’espace d’un repère 
. Pour quelle(s) valeur(s) du réel , les vecteurs 
,   et
 sont-ils coplanaires ?
Rappel : Vecteurs coplanaires
Soient 
,  et 
trois vecteurs de l’espace. 
,  et 
sont des vecteurs coplanaires si et seulement si :
et  ne sont pas colinéaires
 il existe des réels  et  non tous nuls tels que 
Les vecteurs 
,   et   sont coplanaires si et seulement s’il existe un couple de réels non tous
nuls  tels que   (par exemple).
Or, pour tous réels ,  et , on a :
Soit le trinôme du second degré  d’inconnue  et soit  le discriminant de ce trinôme. Alors
. Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :
Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen
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