Soient a et b deux entiers. Posons pgcd(a,b), pour le plus grand

Soient aet bdeux entiers. Posons
pgcd(a,b),
pour le plus grand commun diviseur de aet b.
Et
ppcm(a,b),
pour le plus petit commun multiple de aet b.
On dit que aet bsont relativement premier si pgcd(a,b) = 1.
Si a≥1, alors pgcd(0,a) = aet pgcd(1,a) = 1.
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Comment calculer le pgcd ? Avec l’algorithme d’Euclide.
Exemple : Calculons pgcd(1351,1064)avec l’algorithme d’Euclide. On
calcule la suite des restes succcessifs :
1351 =1·1064 +287
1064 =3·287 +203
287 =1·203 +84
203 =2·84 +35
84 =2·35 +14
35 =2·14 +7
14 =2·7+0.
Le dernier reste non-zero, 7, est le pgcd(1351,1064).
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La raison pourquoi ça marche.
Lemme
Soit m >0et n deux entiers. Par division-avec-reste il existe deux entiers
q et r tels que n =qm +r et 0≤r<m.
Alors pgcd(n,m) = pgcd(m,r). Si r =0alors pgcd(n,m) = m.
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1351 =1·1064 +287
donc par le lemme
pgcd(1351,1064) = pgcd(1064,287).
Et
1064 =3·287 +203
donc
pgcd(1064,287) = pgcd(287,203).
Etc. :
pgcd(1351,1064) = pgcd(1064,287) = pgcd(287,203) = pgcd(203,84) =
=pgcd(84,35) = pgcd(35,14) = pgcd(14,7) =
=pgcd(7,0) = 7
En effet : 7=le dernier reste non-zero =pgcd.
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En fait notre lemme est un peu plus grand, avec d’autres conséquences.
Lemme
Soit m >0et n deux entiers. Par division avec reste il existe des entiers q
et r tels que n =qm +r et 0≤r<m.
(i) Alors pgcd(n,m) = pgcd(m,r). Si r =0alors pgcd(n,m) = m.
(ii) Mettons d := pgcd(n,m) = pgcd(m,r). Supposons ils existent des
entiers s,t tels que d=sm +tr. Alors d=tn + (s−tq)m.
Ou (ii) en autres mots : si on peut écrire dcomme une combinaison
Z-linéaire de met r, alors on peut aussi écrire dcomme une combinaison
Z-linéaire de net m.
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