Espaces vectoriels normés

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Espaces vectoriels norm´es r´eels ou complexes
Ce document n’est pas un cours mais pr´esente seulement quelques notions `a connaˆıtre sur le sujet.
Dans ce chapˆıtre Ed´esigne un Kespace vectoriel (ou K=Rou C)
1 Normes et distances
1.1 Espace vectoriel norm´e
D´efinition 1
On appelle norme sur Etoute application de Nde Edans R+v´erifiant les propri´et´es suivantes :
1. ∀~x ∈E, N (~x) = 0 ⇒~x =~ 0
2. ∀(λ, ~x)∈K×E, N(λ.~x) = |λ|.N (~x)
3. ∀(~x, ~y)∈E2, N (~x +~y)6N(~x) + N(~y)( in´egalit´e triangulaire).
On dit alors que (E, N)ou E(s’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e sur la norme) est un Kespace vectoriel norm´e.
Pour ~x ∈E, N(~x)se note aussi souvent k~x k
Remarque 1 Pour un espace vectoriel norm´e (E, kk)on a :
1. Les propri´et´es 1. et 2. donnent pour ~x ∈E,k~x k= 0 ⇔~x =~ 0
2. La propri´et´e 3. permet de montrer l’in´egalit´e de Minkowski : ∀(~x, ~y)∈E2,|k ~x k − k ~y k| 6k~x −~y k
D´efinition 2 (norme induite)
Soit (E, kk)un espace vectoriel norm´e et Fun sous-espace vectoriel de E, la restriction kk|Fde kk `a Fest une
norme sur Fappel´ee norme induite, (F, kk|F)est un espace vectoriel norm´e que l’on notera encore (F, kk)
D´efinition 3 (vecteurs unitaires)
Soit (E, kk)un espace vectoriel norm´e et ~x ∈E
•~x est un vecteur unitaire si k~x k= 1
•Si ~x 6=~ 0, on appelle vecteur unitaire associ´e `a ~x le vecteur unitaire ~e =1
k~x k.~x
D´efinition 4 (parties born´ees)
Soit (E, kk)un espace vectoriel norm´e et Aune partie de E
Aest une partie born´ee de Esi ∃M>0,∀~x ∈A, k~x k6M.
D´efinition 5
Soit Aun ensemble non-vide, (E, kk)un espace vectoriel norm´e et fune application de Adans E
fest une application born´ee si f(A)est une partie born´ee de E(c’est `a dire ∃M>0,∀t∈A, kf(t)k6M).
On notera B(A, E)l’ensemble des applications born´ees de Adans E
Proposition 1
Soit Aun ensemble non-vide et (E, kk)un espace vectoriel norm´e et (F(A, E),+, . )l’espace vectoriel des applications
de Adans E.
B(A, E)est un sous-espace vectoriel de F(A, E)
D´efinition 6
Soit (E1, N1)et (E2, N2)deux Kespaces vectoriels norm´es, si fest un isomorphisme d’espace vectoriel de E1sur E2
tel que ∀~x ∈E1, N2(f(~x)) = N1(~x)on dit que fest une isom´etrie vectorielle.
Remarque 2 Si (E1, N1)est un Kespace vectoriel norm´e, E2est un Kespace vectoriel et fest un isomorphisme
d’espace vectoriel de E1sur E2, on peut munir E2d’une norme N2pour laquelle fest une isom´etrie d’espace vectoriel
norm´e de (E1, N1)sur (E2, N2)en posant ∀~y ∈E2, N2(~y) = N1(f−1(~y))
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1.2 Exemples d’espaces vectoriels norm´es
1.2.1 Espaces vectoriels de dimension finie
1. (R,| |), Rmuni de la valeur absolue est un Respace vectoriel norm´e, (C,| |) , Cmuni du module est un C
espace vectoriel norm´e ( de dimension 1) c’est aussi un Respace vectoriel norm´e (de dimension 2).
Soit nun entier naturel non-nul et E=Kn,Epeut ˆetre muni de l’une des trois normes classiques suivantes
d´efinies par : pour ~x = (x1, . . . , xn)∈E
•N1(~x) =
n
X
k=1 |xk|
•N2(~x) = v
u
u
t
n
X
k=1 |xk|2
•N∞(~x) = sup
k∈[[1,n]]|xk|
2. Soit Eun Kespace vectoriel de dimension finie n>1 rapport´e `a une base B= (~e1, . . . , ~en), l’application
Kn→E
(x1, . . . , xn)7→ x1~e1+··· +xn~enest un isomorphisme d’espace vectoriel, en utilisant la remarque 2 on
peut alors relativement `a la base Bmunir Edes trois normes N1, N2, N∞suivantes :
pour ~x =x1~e1+··· +xn~en∈E
•N1(~x) =
n
X
k=1 |xk|
•N2(~x) = v
u
u
t
n
X
k=1 |xk|2
•N∞(~x) = sup
k∈[[1,n]]|xk|
1.2.2 Applications continues
Soit E=C([a, b],K) le Kespace vectoriel des fonctions num´eriques continues sur un intervalle [a, b] `a valeurs dans
K, on peut munir Ede l’une des trois normes classiques suivantes : pour f∈E
•N1(f) = Zb
a|f(t)|dt,N1est la norme de la convergence en moyenne.
•N2(f) = Zb
a|f(t)|2dt!
1
2
,N2est la norme de la convergence quadratique.
•N∞(f) = sup
t∈[a,b]|f(t)|,N∞est la norme de la convergence uniforme.
1.2.3 Espaces `p
On consid`ere E=S(K) le Kespace vectoriel des suites `a valeurs dans Ket
•`∞(K) = {(un)n∈N∈E, (un)n∈Nest born´ee}
•`1(K) = {(un)n∈N∈E, X
n>0|un|converge}
•`2(K) = {(un)n∈N∈E, X
n>0|un|2converge}.
`∞(K), `1(K), `2(K) sont des sous-espaces vectoriels de Eon peut les munir respectivement des normes N∞, N1, N2
suivantes :
•`∞(K), N∞((un)n) = sup
n∈N|un|
•`1(K), N1((un)n) =
+∞
X
n=0 |un|
•`2(K), N2((un)n) = +∞
X
n=0 |un|2!
1
2
(`∞(K), N∞),(`1(K), N1),(`2(K), N2) sont trois espaces vectoriels norm´es.
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Propri´et´es 1
•`1(K)⊂`∞(K)
•`2(K)⊂`∞(K)
•`1(K)⊂`2(K)
Les inclusions sont strictes.
1.2.4 Applications born´ees
Soit Aun ensemble non-vide et (F, k k) un Kespace vectoriel norm´e, on consid`ere B(A, F ), le Kespace vectoriel
des applications born´ees de Adans F. On muni cet espace vectoriel de la norme :
Pour f∈ B(A, F ), N∞(f) = sup
~x∈Akf(~x)k. (B(A, F ), N∞) est un Kespace vectoriel norm´e,
N∞est la norme de la convergence uniforme.
1.2.5 Espaces pr´ehilbertiens r´eels
D´efinition 7 (forme bilin´eaire)
Soit Eun Respace vectoriel, < , > est une forme bilin´eaire sur Esi
1. < , > est une application de E×Edans R
2. ∀(~x, ~y)∈E2,
a)
E→R
~z 7→ < ~x, ~z > est lin´eaire (on dit que < , > est lin´eaire `a droite)
b)
E→R
~z 7→ < ~z, ~y > est lin´eaire (on dit que < , > est lin´eaire `a gauche)
Si de plus ∀(~x, ~y)∈E2, < ~y, ~x >=< ~x, ~y >, on dit que < , > est une forme biln´eaire sym´etrique.
Exemple 1
1. ϕ1:
R2×R2→R
((x, y),(x0, y0)) 7→ xx0−2xy0+ 3yx0+ 5yy0,ϕ1est une forme bilin´eaire non sym´etrique sur R2
2. ϕ2:
R[X]→R
(P, Q)7→ P(0)Q0(0) ,ϕ2est une forme bilin´eaire non sym´etrique sur R[X]
3. ϕ3:
R[X]→R
(P, Q)7→ P(0)0Q0(0) ,ϕ3est une forme bilin´eaire sym´etrique sur R[X]
4. ϕ4:
R[X]→R
(P, Q)7→ P(0) + Q0(0) ,ϕ4n’est pas une forme bilin´eaire sur R[X]
D´efinition 8 (produit scalaire)
Soit Eun Respace vectoriel, < , > est un produit scalaire sur Esi
1. < , > est une application de E×Edans R
2. ∀(~x, ~y)∈E2,
E→R
z7→ < ~x, ~z > est lin´eaire (< , > est lin´eaire `a droite)
3. ∀(x, y)∈E2, < ~x, ~y >=< ~y, ~x > (on dit que < , > est sym´etrique)
4. ∀~x ∈E, < ~x, ~x >>0et < ~x, ~x >= 0 ⇒~x =~ 0( on dit que < , > est d´efinie positive).
On dit que < , > est une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive.
D´efinition 9
1. On appelle espace pr´ehilbertien r´eel, et on note (E, < , >):
un Respace vectoriel Emuni d’un produit scalaire < , >.
2. On appelle espace euclidien un espace pr´ehilbertien r´eel de dimension finie.
Proposition 2 (Norme associ´ee)
Soit (E, < , >)un espace pr´ehilbertien r´eel : Pour ~x ∈Eon pose k~x k=p< ~x, ~x >
(E, k k)est un espace vectoriel norm´e, on dit que kk est une norme euclidienne.
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Propri´et´es 2 Soit (E, < , >)un espace pr´ehilbertien r´eel de norme euclidienne associ´ee k k,∀(~x, ~y)∈E2on a :
1. |< ~x, ~y >|6k~x k.k~y kavec ´egalit´e si et seulement si (~x, ~y)est un syst`eme li´e. (in´egalit´e de Cauchy Schwarz)
2. k~x k= sup
k~zk61|< ~x, ~z > |
3. k~x +~y k2+k~x −~y k2= 2(k~x k2+k~y k2)(identit´e du parall´elogramme)
4. ∀~z ∈E, k~x −~z k2+k~y −~z k2= 2 k~x +~y
2−~z k2+1 2k~x −~y k2(formule de la m´ediane)
5. k~x +~y k2=k~x k2+k~y k2+2 < ~x, ~y >
6. < ~x, ~y >=1
2(k~x +~y k2− k ~x k2− k ~y k2)(identit´e de polarisation)
7. < ~x, ~y >=1
4(k~x +~y k2− k ~x −~y k2)(deuxi`eme identit´e de polarisation)
Les propri´et´es 6. et 7. indiquent que si une norme d’un espace vectoriel norm´e est euclidienne alors il n’existe qu’un
seul produit scalaire associ´e.
Exemple 2
1. Soit nun entier naturel non-nul et E=Rn, on pose pour ~x = (x1, . . . , xn)∈E,N2(~x) = v
u
u
t
n
X
k=1 |xk|2,(E, N2)
est un espace vectoriel norm´e euclidien, le produit scalaire est d´efini par :
si ~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn),< ~x, ~y >=
n
X
k=1
xkyk
2. Soit E=C([a, b],R)le Respace vectoriel des fonctions num´eriques continues sur un intervalle [a, b]`a valeurs
dans R, on pose pour f∈E,N2(f) = Zb
a|f(t)|2dt!
1
2
,(E, N2)est un espace pr´ehilbertien r´eel, le produit
scalaire est d´efini par : si (f, g)∈E2,< f, g >=Zb
a
f(t)g(t)dt
3. Soit E=C2π(R,R)le Respace vectoriel des fonctions num´eriques continues sur R`a valeurs dans Ret 2π-
p´eriodique, on pose pour f∈E,N2(f) = 1
2πZπ
−π|f(t)|2dt
1
2
,(E, N2)est un espace pr´ehilbertien r´eel, le
produit scalaire est d´efini par : si (f, g)∈E2,< f, g >=1
2πZπ
−π
f(t)g(t)dt
4. Soit E=`2(R)avec `2(R) = {(un)n∈N∈ S(R),X
n>0|un|2converge}, on pose pour U∈E, U = (un)n∈N,
N2(U) = +∞
X
k=0 |uk|2!
1
2
,(E, N2)est un espace pr´ehilbertien r´eel, le produit scalaire est d´efini par :
si (U, V )∈E2, U = (un)n∈N, V = (vn)n∈N,< U, V >=
+∞
X
k=0
ukvk
1.2.6 Espaces pr´ehilbertiens complexes
D´efinition 10 (forme sesquilin´eaire)
Soit Eun Cespace vectoriel, < , > est une forme sesquilin´eaire sur Esi
1. < , > est une application de E×Edans C
2. < , > est lin´eaire `a droite et semi-lin´eaire `a gauche, c’est `a dire : ∀(~x, ~y)∈E2,∀(λ, ~z1, ~z2)∈C×E×E:
a) < ~x, ~z1+~z2>=< ~x, ~z1>+< ~x, ~z2>et < ~x, λ~z1>=λ < ~x, ~z1>(< , > est lin´eaire `a droite).
b) < ~z1+~z2, ~y >=< ~z1, ~y > +< ~z2, ~y > et < λ~z1, ~y >=¯ λ < ~z1, ~y > (< , > est semi-lin´eaire `a gauche).
Si de plus ∀(~x, ~y)∈E2, < ~y, ~x > =< ~x, ~y > (sym´etrie hermitienne),
on dit que < , > est une forme sesquilin´eaire hermitienne sur E
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Exemple 3
1. ϕ1:
C2×C2→C
((x, y),(x0, y0)) 7→ ¯xx0−2¯xy0+ 3¯yx0+ 5¯yy0,
ϕ1est une forme sesquilin´eaire non hermitienne sur C2
2. ϕ2:
C[X]→C
(P, Q)7→ P(0)Q0(0) ,ϕ2est une forme sesquilin´eaire non hermitienne sur C[X]
3. ϕ2:
C[X]→C
(P, Q)7→ P(0)0Q0(0) ,ϕ2est une forme sesquilin´eaire hermitienne sur C[X]
4. ϕ2:
C[X]→C
(P, Q)7→ P(0) + Q0(0) ,ϕ3n’est pas une forme sesquilin´eaire sur C[X]
D´efinition 11 (produit scalaire hermitien)
Soit Eun Cespace vectoriel, < , > est un produit scalaire sur E, on dit aussi produit scalaire hermitien sur Esi
1. < , > est une application de E×Edans C
2. ∀~x ∈E,
E→C
z7→ < ~x, ~z > est lin´eaire (< , > est lin´eaire `a droite)
3. ∀(x, y)∈E2, < ~y, ~x > =< ~x, ~y > (on dit que < , > est `a sym´etrie hermitienne)
4. ∀~x ∈E, < ~x, ~x >>0et < ~x, ~x >= 0 ⇒~x =~ 0( on dit que < , > est d´efinie positive).
On dit que < , > est une forme sesquilin´eaire hermitienne d´efinie positive.
D´efinition 12
1. On appelle espace pr´ehilbertien complexe, et on note (E, < , >):
un Cespace vectoriel Emuni d’un produit scalaire hermitien < , >.
2. On appelle espace hermitien un espace pr´ehilbertien complexe de dimension finie.
Proposition 3 (Norme associ´ee)
Soit (E, < , >)un espace pr´ehilbertien complexe : Pour ~x ∈Eon pose k~x k=p< ~x, ~x >
(E, k k)est un espace vectoriel norm´e, on dit que kk est une norme euclidienne on dit aussi norme hermitienne.
Propri´et´es 3
Soit (E, < , >)un espace pr´ehilbertien complexe de norme euclidienne associ´ee k k,∀(~x, ~y)∈E2on a :
1. |< ~x, ~y >|6k~x k.k~y kavec ´egalit´e si et seulement si (~x, ~y)est un syst`eme li´e. (in´egalit´e de Cauchy Schwarz)
2. ∀~x ∈E, k~x k= sup
k~yk61|< ~x, ~y > |
3. k~x +~y k2+k~x −~y k2= 2(k~x k2+k~y k2)(identit´e du parall´elogramme)
4. ∀~z ∈E, k~x −~z k2+k~y −~z k2= 2 k~x +~y
2−~z k2+1 2k~x −~y k2(formule de la m´ediane)
5. k~x +~y k2=k~x k2+k~y k2+2Re(< ~x, ~y >)
6. k~x +i~y k2=k~x k2+k~y k2−2Im(< ~x, ~y >)
7. < ~x, ~y >=1
4(k~x +~y k2− k ~x −~y k2) + i 4(k~x −i~y k2− k ~x +i~y k2)(identit´e de polarisation)
La propri´et´e 7. indique que si une norme d’un C-espace vectoriel norm´e est euclidienne alors il n’existe qu’un seul
produit scalaire associ´e.
Exemple 4
1. Soit nun entier naturel non-nul et E=Cn, on pose pour ~x = (x1, . . . , xn)∈E,N2(~x) = v
u
u
t
n
X
k=1 |xk|2,(E, N2)
est un espace vectoriel norm´e hermitien, le produit scalaire est d´efini par :
si ~x = (x1, . . . , xn), ~y = (y1, . . . , yn),< ~x, ~y >=
n
X
k=1
xkyk
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