Espaces vectoriels normés

MP
Espaces vectoriels normés réels ou complexes
Ce document n’est pas un cours mais présente seulement quelques notions à connaı̂tre sur le sujet.
Dans ce chapı̂tre E désigne un K espace vectoriel (ou K = R ou C)
1
Normes et distances
1.1
Espace vectoriel normé
Définition 1
On appelle norme sur E toute application de N de E dans R+ vérifiant les propriétés suivantes :
1. ∀~x ∈ E, N (~x) = 0 ⇒ ~x = ~0
2. ∀(λ, ~x) ∈ K × E, N (λ.~x) = |λ|.N (~x)
3. ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , N (~x + ~y ) 6 N (~x) + N (~y ) ( inégalité triangulaire).
On dit alors que (E, N ) ou E (s’il n’y a pas d’ambiguı̈té sur la norme) est un K espace vectoriel normé.
Pour ~x ∈ E, N (~x) se note aussi souvent k ~x k
Remarque 1 Pour un espace vectoriel normé (E, k k) on a :
1. Les propriétés 1. et 2. donnent pour ~x ∈ E, k ~x k= 0 ⇔ ~x = ~0
2. La propriété 3. permet de montrer l’inégalité de Minkowski : ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , | k ~x k − k ~y k | 6k ~x − ~y k
Définition 2 (norme induite)
Soit (E, k k) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E, la restriction k k|F de k k à F est une
norme sur F appelée norme induite, (F, k k|F ) est un espace vectoriel normé que l’on notera encore (F, k k)
Définition 3 (vecteurs unitaires)
Soit (E, k k) un espace vectoriel normé et ~x ∈ E
• ~x est un vecteur unitaire si k ~x k= 1
• Si ~x 6= ~0, on appelle vecteur unitaire associé à ~x le vecteur unitaire ~e =
1
.~x
k ~x k
Définition 4 (parties bornées)
Soit (E, k k) un espace vectoriel normé et A une partie de E
A est une partie bornée de E si ∃M > 0, ∀~x ∈ A, k ~x k6 M .
Définition 5
Soit A un ensemble non-vide, (E, k k) un espace vectoriel normé et f une application de A dans E
f est une application bornée si f (A) est une partie bornée de E (c’est à dire ∃M > 0, ∀t ∈ A, k f (t) k6 M ).
On notera B(A, E) l’ensemble des applications bornées de A dans E
Proposition 1
Soit A un ensemble non-vide et (E, k k) un espace vectoriel normé et (F (A, E), +, . ) l’espace vectoriel des applications
de A dans E.
B(A, E) est un sous-espace vectoriel de F (A, E)
Définition 6
Soit (E1 , N1 ) et (E2 , N2 ) deux K espaces vectoriels normés, si f est un isomorphisme d’espace vectoriel de E1 sur E2
tel que ∀~x ∈ E1 , N2 (f (~x)) = N1 (~x) on dit que f est une isométrie vectorielle.
Remarque 2 Si (E1 , N1 ) est un K espace vectoriel normé, E2 est un K espace vectoriel et f est un isomorphisme
d’espace vectoriel de E1 sur E2 , on peut munir E2 d’une norme N2 pour laquelle f est une isométrie d’espace vectoriel
normé de (E1 , N1 ) sur (E2 , N2 ) en posant ∀~y ∈ E2 , N2 (~y ) = N1 (f −1 (~y ))
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1
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1.2
Exemples d’espaces vectoriels normés
1.2.1
Espaces vectoriels de dimension finie
1. (R, | |), R muni de la valeur absolue est un R espace vectoriel normé, (C, | |) , C muni du module est un C
espace vectoriel normé ( de dimension 1) c’est aussi un R espace vectoriel normé (de dimension 2).
Soit n un entier naturel non-nul et E = Kn , E peut être muni de l’une des trois normes classiques suivantes
définies par : pour ~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E
n
X
• N1 (~x) =
|xk |
k=1
v
u n
uX
|xk |2
• N2 (~x) = t
k=1
• N∞ (~x) = sup |xk |
k∈[[1,n]]
2. Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n > 1 rapporté à une base B = (~e1 , . . . , ~en ), l’application
Kn
→ E
(x1 , . . . , xn ) 7→ x1~e1 + · · · + xn~en est un isomorphisme d’espace vectoriel, en utilisant la remarque 2 on
peut alors relativement à la base B munir E des trois normes N1 , N2 , N∞ suivantes :
pour ~x = x1~e1 + · · · + xn~en ∈ E
n
X
• N1 (~x) =
|xk |
k=1
v
u n
uX
|xk |2
• N2 (~x) = t
k=1
• N∞ (~x) = sup |xk |
k∈[[1,n]]
1.2.2
Applications continues
Soit E = C([a, b], K) le K espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a, b] à valeurs dans
K, on peut munir E de l’une des trois normes classiques suivantes : pour f ∈ E
Z b
• N1 (f ) =
|f (t)|dt, N1 est la norme de la convergence en moyenne.
a
! 12
Z
b
|f (t)|2 dt
• N2 (f ) =
, N2 est la norme de la convergence quadratique.
a
• N∞ (f ) = sup |f (t)|, N∞ est la norme de la convergence uniforme.
t∈[a,b]
Espaces `p
1.2.3
On considère E = S(K) le K espace vectoriel des suites à valeurs dans K et
• `∞ (K) = {(un )n∈N ∈ E,X
(un )n∈N est bornée}
1
• ` (K) = {(un )n∈N ∈ E,
|un | converge}
n>0
• `2 (K) = {(un )n∈N ∈ E,
X
|un |2 converge}.
n>0
`∞ (K), `1 (K), `2 (K) sont des sous-espaces vectoriels de E on peut les munir respectivement des normes N∞ , N1 , N2
suivantes :
• `∞ (K), N∞ ((un )n ) = sup|un |
n∈N
• `1 (K), N1 ((un )n ) =
+∞
X
|un |
n=0
2
• ` (K), N2 ((un )n ) =
+∞
X
! 21
2
|un |
n=0
2
(`∞ (K), N∞ ), (`1 (K), N1 ), (` (K), N2 ) sont trois espaces vectoriels normés.
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2
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Propriétés 1
• `1 (K) ⊂ `∞ (K)
• `2 (K) ⊂ `∞ (K)
• `1 (K) ⊂ `2 (K)
Les inclusions sont strictes.
1.2.4
Applications bornées
Soit A un ensemble non-vide et (F, k k) un K espace vectoriel normé, on considère B(A, F ), le K espace vectoriel
des applications bornées de A dans F . On muni cet espace vectoriel de la norme :
Pour f ∈ B(A, F ), N∞ (f ) = sup k f (~x) k. (B(A, F ), N∞ ) est un K espace vectoriel normé,
~
x∈A
N∞ est la norme de la convergence uniforme.
1.2.5
Espaces préhilbertiens réels
Définition 7 (forme bilinéaire)
Soit E un R espace vectoriel, < , > est une forme bilinéaire sur E si
1. < , > est une application de E × E dans R
2. ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 ,
a)
E
~z
→
R
7
→
< ~x, ~z > est linéaire (on dit que < , > est linéaire à droite)
b)
E
~z
→
R
7→ < ~z, ~y > est linéaire (on dit que < , > est linéaire à gauche)
Si de plus ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , < ~y , ~x >=< ~x, ~y >, on dit que < , > est une forme bilnéaire symétrique.
Exemple 1
R2 × R2
→
R
1. ϕ1 : ((x, y), (x0 , y 0 )) 7→ xx0 − 2xy 0 + 3yx0 + 5yy 0 , ϕ1 est une forme bilinéaire non symétrique sur R2
R[X] →
2. ϕ2 : (P, Q) 7→
R
P (0)Q0 (0) , ϕ2 est une forme bilinéaire non symétrique sur R[X]
R[X] →
R
3. ϕ3 : (P, Q) 7→ P (0)0 Q0 (0) , ϕ3 est une forme bilinéaire symétrique sur R[X]
R[X] →
4. ϕ4 : (P, Q) 7→
R
P (0) + Q0 (0) , ϕ4 n’est pas une forme bilinéaire sur R[X]
Définition 8 (produit scalaire)
Soit E un R espace vectoriel, < , > est un produit scalaire sur E si
1. < , > est une application de E × E dans R
E →
R
2. ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , z 7→ < ~x, ~z > est linéaire
2
3. ∀(x, y) ∈ E ,
(< , > est linéaire à droite)
< ~x, ~y >=< ~y , ~x >
4. ∀~x ∈ E, < ~x, ~x >> 0
et
(on dit que < , > est symétrique)
< ~x, ~x >= 0 ⇒ ~x = ~0 ( on dit que < , > est définie positive).
On dit que < , > est une forme bilinéaire symétrique définie positive.
Définition 9
1. On appelle espace préhilbertien réel, et on note (E, < , >) :
un R espace vectoriel E muni d’un produit scalaire < , >.
2. On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Proposition 2 (Norme associée)
p
Soit (E, < , >) un espace préhilbertien réel : Pour ~x ∈ E on pose k ~x k= < ~x, ~x >
(E, k k) est un espace vectoriel normé, on dit que k k est une norme euclidienne.
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Propriétés 2 Soit (E, < , >) un espace préhilbertien réel de norme euclidienne associée k k, ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 on a :
1. |< ~x, ~y >| 6k ~x k . k ~y k avec égalité si et seulement si (~x, ~y ) est un système lié. (inégalité de Cauchy Schwarz)
2. k ~x k= sup | < ~x, ~z > |
k~
z k61
3. k ~x + ~y k2 + k ~x − ~y k2 = 2(k ~x k2 + k ~y k2 ) (identité du parallélogramme)
~x + ~y
1
4. ∀~z ∈ E, k ~x − ~z k2 + k ~y − ~z k2 = 2 k
− ~z k2 + k ~x − ~y k2 (formule de la médiane)
2
2
2
2
2
5. k ~x + ~y k =k ~x k + k ~y k +2 < ~x, ~y >
1
6. < ~x, ~y >= (k ~x + ~y k2 − k ~x k2 − k ~y k2 ) (identité de polarisation)
2
1
7. < ~x, ~y >= (k ~x + ~y k2 − k ~x − ~y k2 ) (deuxième identité de polarisation)
4
Les propriétés 6. et 7. indiquent que si une norme d’un espace vectoriel normé est euclidienne alors il n’existe qu’un
seul produit scalaire associé.
Exemple 2
v
u n
uX
n
1. Soit n un entier naturel non-nul et E = R , on pose pour ~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E, N2 (~x) = t
|xk |2 , (E, N2 )
k=1
est un espace vectoriel normé euclidien, le produit scalaire est défini par :
n
X
si ~x = (x1 , . . . , xn ), ~y = (y1 , . . . , yn ), < ~x, ~y >=
xk yk
k=1
2. Soit E = C([a, b], R) le R espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a, b] à valeurs
! 21
Z b
2
dans R, on pose pour f ∈ E, N2 (f ) =
|f (t)| dt , (E, N2 ) est un espace préhilbertien réel, le produit
a
2
Z
scalaire est défini par : si (f, g) ∈ E , < f, g >=
b
f (t)g(t)dt
a
3. Soit E = C2π (R, R) le R espace vectoriel des fonctions numériques continues sur R à valeurs dans R et 2πZ π
12
1
|f (t)|2 dt , (E, N2 ) est un espace préhilbertien réel, le
périodique, on pose pour f ∈ E, N2 (f ) =
2π
−π
Z π
1
2
produit scalaire est défini par : si (f, g) ∈ E , < f, g >=
f (t)g(t)dt
2π −π
X
4. Soit E = `2 (R) avec `2 (R) = {(un )n∈N ∈ S(R),
|un |2 converge}, on pose pour U ∈ E, U = (un )n∈N ,
n>0
N2 (U ) =
+∞
X
! 12
|uk |2
,
(E, N2 ) est un espace préhilbertien réel, le produit scalaire est défini par :
k=0
si (U, V ) ∈ E 2 , U = (un )n∈N , V = (vn )n∈N , < U, V >=
+∞
X
uk vk
k=0
1.2.6
Espaces préhilbertiens complexes
Définition 10 (forme sesquilinéaire)
Soit E un C espace vectoriel, < , > est une forme sesquilinéaire sur E si
1. < , > est une application de E × E dans C
2. < , > est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, c’est à dire : ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , ∀(λ, ~z1 , ~z2 ) ∈ C × E × E :
a) < ~x, ~z1 + ~z2 >=< ~x, ~z1 > + < ~x, ~z2 > et
< ~x, λ~z1 >= λ < ~x, ~z1 > (< , > est linéaire à droite).
b) < ~z1 + ~z2 , ~y >=< ~z1 , ~y > + < ~z2 , ~y > et
< λ~z1 , ~y >= λ̄ < ~z1 , ~y > (< , > est semi-linéaire à gauche).
Si de plus ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , < ~y , ~x > =< ~x, ~y > (symétrie hermitienne),
on dit que < , > est une forme sesquilinéaire hermitienne sur E
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4
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Exemple 3
C2 × C2
→
C
1. ϕ1 : ((x, y), (x0 , y 0 )) 7→ x̄x0 − 2x̄y 0 + 3ȳx0 + 5ȳy 0 ,
ϕ1 est une forme sesquilinéaire non hermitienne sur C2
C[X] →
C
2. ϕ2 : (P, Q) 7→ P (0)Q0 (0) , ϕ2 est une forme sesquilinéaire non hermitienne sur C[X]
C[X] →
C
3. ϕ2 : (P, Q) 7→ P (0)0 Q0 (0) , ϕ2 est une forme sesquilinéaire hermitienne sur C[X]
C[X] →
C
4. ϕ2 : (P, Q) 7→ P (0) + Q0 (0) , ϕ3 n’est pas une forme sesquilinéaire sur C[X]
Définition 11 (produit scalaire hermitien)
Soit E un C espace vectoriel, < , > est un produit scalaire sur E, on dit aussi produit scalaire hermitien sur E si
1. < , > est une application de E × E dans C
E →
C
2. ∀~x ∈ E, z 7→ < ~x, ~z > est linéaire (< , > est linéaire à droite)
3. ∀(x, y) ∈ E 2 ,
< ~y , ~x > =< ~x, ~y >
4. ∀~x ∈ E, < ~x, ~x >> 0
et
(on dit que < , > est à symétrie hermitienne)
< ~x, ~x >= 0 ⇒ ~x = ~0 ( on dit que < , > est définie positive).
On dit que < , > est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive.
Définition 12
1. On appelle espace préhilbertien complexe, et on note (E, < , >) :
un C espace vectoriel E muni d’un produit scalaire hermitien < , >.
2. On appelle espace hermitien un espace préhilbertien complexe de dimension finie.
Proposition 3 (Norme associée)
p
Soit (E, < , >) un espace préhilbertien complexe : Pour ~x ∈ E on pose k ~x k= < ~x, ~x >
(E, k k) est un espace vectoriel normé, on dit que k k est une norme euclidienne on dit aussi norme hermitienne.
Propriétés 3
Soit (E, < , >) un espace préhilbertien complexe de norme euclidienne associée k k, ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 on a :
1. |< ~x, ~y >| 6k ~x k . k ~y k avec égalité si et seulement si (~x, ~y ) est un système lié. (inégalité de Cauchy Schwarz)
2. ∀~x ∈ E, k ~x k= sup | < ~x, ~y > |
k~
y k61
2
3. k ~x + ~y k + k ~x − ~y k2 = 2(k ~x k2 + k ~y k2 ) (identité du parallélogramme)
1
~x + ~y
− ~z k2 + k ~x − ~y k2 (formule de la médiane)
4. ∀~z ∈ E, k ~x − ~z k2 + k ~y − ~z k2 = 2 k
2
2
5. k ~x + ~y k2 = k ~x k2 + k ~y k2 +2Re(< ~x, ~y >)
6. k ~x + i~y k2 = k ~x k2 + k ~y k2 −2Im(< ~x, ~y >)
i
1
7. < ~x, ~y >= (k ~x + ~y k2 − k ~x − ~y k2 ) + (k ~x − i~y k2 − k ~x + i~y k2 ) (identité de polarisation)
4
4
La propriété 7. indique que si une norme d’un C-espace vectoriel normé est euclidienne alors il n’existe qu’un seul
produit scalaire associé.
Exemple 4
v
u n
uX
n
1. Soit n un entier naturel non-nul et E = C , on pose pour ~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E, N2 (~x) = t
|xk |2 , (E, N2 )
k=1
est un espace vectoriel normé hermitien, le produit scalaire est défini par :
n
X
si ~x = (x1 , . . . , xn ), ~y = (y1 , . . . , yn ), < ~x, ~y >=
xk yk
k=1
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5
C.Susset
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2. Soit E = C([a, b], C) le C espace vectoriel des fonctions numériques continues sur un intervalle [a, b] à valeurs
! 12
Z b
dans C, on pose pour f ∈ E, N2 (f ) =
|f (t)|2 dt , (E, N2 ) est un espace préhilbertien complexe, le
a
produit scalaire est défini par : si (f, g) ∈ E 2 , < f, g >=
Z
b
f (t)g(t)dt
a
3. Soit E = C2π (R, C) le C espace vectoriel des fonctions numériques continues sur R à valeurs dans C et 2π 12
Z π
1
2
périodique, on pose pour f ∈ E, N2 (f ) =
|f (t)| dt , (E, N2 ) est un espace préhilbertien complexe,
2π
−π
Z π
1
2
f (t)g(t)dt
le produit scalaire est défini par : si (f, g) ∈ E , < f, g >=
2π −π
X
4. Soit E = `2 (C) avec `2 (C) = {(un )n∈N ∈ S(C),
|un |2 converge}, on pose pour U ∈ E, U = (un )n∈N ,
n>0
N2 (U ) =
+∞
X
! 12
|uk |2
,
(E, N2 ) est un espace préhilbertien complexe, le produit scalaire est défini par :
k=0
si (U, V ) ∈ E 2 , U = (un )n∈N , V = (vn )n∈N , < U, V >=
+∞
X
uk vk
k=0
1.3
Distance associée à une norme
Définition 13 Soit A un ensemble non-vide, d est une distance sur A si :
1. d est une application de A × A dans R+
2. ∀(x, y) ∈ A2 , d(x, y) = d(y, x) ( d est symétrique)
3. ∀(x, y) ∈ A2 ,
d(x, y) = 0 ⇔ x = y (on dit que d sépare les points)
3
4. ∀(x, y, z) ∈ A ,
d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire)
On dit que (A, d) est un espace métrique.
Proposition 4
Si d est une distance sur un ensemble A non-vide on a : ∀(x, y, z) ∈ A3 , |d(x, z) − d(y, z)| 6 d(x, y)
(seconde inégalité triangulaire)
Proposition 5
Si (E, k k) est un K espace vectoriel normé Alors l’application d définie par :
E × E → R+
d : (~x, ~y ) 7→ d(~x, ~y ) =k ~x − ~y k est une distance sur E
Dans la suite les distances considérées seront des distances associées à une norme d’un espace vectoriel normé.
Définition 14 (distance d’un point à une partie)
Soit (E, k k) un espace vectoriel normé, ~x ∈ E et V une partie de E, on appelle distance de ~x à V et on note d(~x, V )
le réel positif : d(~x, V ) = inf d(~x, ~y )
y ∈V
~
Définition 15 (distance de deux parties)
Soit (E, k k) un espace vectoriel normé, V et W deux parties de E, on appelle distance de V à W et on note d(V, W )
le réel positif : d(V, W ) =
inf
d(~x, ~y )
(~
x,~
y )∈V ×W
Proposition 6 (distance induite)
Si (E, k k) est un espace vectoriel normé de distance associée d et A est une partie non vide de E, la restriction dA
de d à A × A définit une distance sur A, dA est appelée distance induite par d à A.
∀(~x, ~y ) ∈ A2 , dA (~x, ~y ) = d(~x, ~y ) soit dA (~x, ~y ) =k ~x − ~y k.
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6
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Définition 16 (Boules)
Soit (A, d) un espace métrique et (a, r) ∈ A × [0, +∞[
1. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r la partie de A définie par : BO(a, r) = {x ∈ A, d(x, a) < r}
2. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r la partie de A définie par : BF (a, r) = {x ∈ A, d(x, a) 6 r}
Si (E, k k) est un espace vectoriel normé on a :
• BO(~a, r) = {~x ∈ E, k ~x − ~a k< r}
• BF (~a, r) = {~x ∈ E, k ~x − ~a k6 r}
1.4
Applications Lipschitziennes
Définition 17
Soit (E, k kE ), (F, k kF ) deux K-espaces vectoriels normés, A ⊂ E une partie non-vide de E et f une application de A
dans F, f ∈ F (A, F )
1. Pour k ∈ [0, +∞], on dit que f est k-Lipschitzienne sur A si ∀(~x, ~y ) ∈ A2 , k f (~x) − f (~y ) kF 6 k k ~x − ~y kE
2. On dit que f est Lipschitzienne s’il existe k ∈ [0, +∞[ tel que f soit k-Lipschitzienne.
3. On dit que f est contractante s’il existe k ∈ [0, 1[ tel que f soit k-Lipschitzienne.
Proposition 7
Soit (E, k k) un K-espace vectoriel normé
1.
E
~x
→
7
→
R+
k ~x k est une application 1-Lipschitzienne.
2. Soit A ⊂ E, A 6= ∅,
E
~x
→
R+
7
→
d(~x, A) est une application 1-lispchitzienne.
Proposition 8
Soit (E, k kE ), (F, k kF ) deux K-espaces vectoriels normés, A ⊂ E une partie non-vide de E et Lips(A, F ) l’ensemble
des applications lipschitziennes sur A à valeurs dans F .
(Lips(A, F ), +, .) est un sous-espace vectoriel de (F (A, F ), +, .)
Proposition 9
Soit (E, k kE ), (F, k kF ), (G, k kG ) trois K-espaces vectoriels normés, A ⊂ E une partie non-vide de E, B ⊂ F une
partie non-vide de F , f : A 7→ B, g : B 7→ G deux applications, on considère g ◦ f : A 7→ G.
Si
f est k1 -lipschitzienne et g est k2 -lipschitzienne
Alors g ◦ f est k1 k2 -lipschitzienne.
La composée de deux applications lipschitziennes est une application lipschitzienne.
1.5
Produit d’espaces vectoriels normés
Proposition 10
Soit (E, k kE ) et (F, k kF ) deux espaces vectoriels normés. On pose pour (~x, ~y ) ∈ E × F :
N∞ ((~x, ~y )) = sup(k ~x kE , k ~y kF ), N∞ est une norme sur l’espace vectoriel produit E1 × E2
(E1 × E2 , N∞ ) est un espace vectoriel normé appelé espace vectoriel normé produit des espaces vectoriels normés
(E, k kE ) et (F, k kF ).
Plus généralement :
Proposition 11
Soit (Ek , k kk ), k ∈ [[1, p]], p espaces vectoriels normés,
pour (~x1 , . . . , ~xp ) ∈ E1 × · · · × Ep on pose :
N∞ ((~x1 , . . . , ~xp )) = sup(k ~x1 k1 , . . . , k ~xp kp )
N∞ , est une norme sur l’espace vectoriel produit E1 × · · · × Ep .
(E1 × · · · × Ep , N∞ ) est appelé espace vectoriel normés produit des espaces vectoriels normés (Ek , k kk ).
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7
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Remarque 3
• Si on pose : pour (E, k kE ) et (F, k kF ) deux espaces
vectoriels normés :
q
N1 ((~x, ~y )) =k ~x kE + k ~y kF , N2 ((~x, ~y )) = k ~x k2E + k ~y k2F
N1 , N2 sont deux normes sur E × F
(E × F, N1 ) , (E × F, N2 ) sont deux espaces vectoriels normés.
• Soit (Ek , k kk ), k ∈ [[1, p]], p espaces vectoriels normés,
pour (~x1 , . . . , ~xp ) ∈ E1 × · · · × Ep on pose :
q
N1 ((~x1 , . . . , ~xp )) =k ~x1 k1 + · · · + k ~xp kp , N2 ((~x1 , . . . , ~xp )) = k ~x1 k21 + · · · + k ~xp k2p
N1 et N2 sont deux normes sur l’espace vectoriel produit E1 × · · · × Ep .
(E1 × · · · × Ep , N1 ) et (E1 × · · · × Ep , N2 ) sont deux espaces vectoriels normés.
Proposition 12
(E1 × · · · × Ep , Ni ) → (Ek , k kk )
Les applications linéaires coordonnées :
(~x1 , . . . , ~xp )
7→
~xk
sont des applications linéaires 1-lipschitziennes pour i ∈ {∞, 1, 2}.
1.6
Comparaison de normes
Définition 18
Soit E un K-espace vectoriel normé et k k1 , k k2 deux normes sur E.
On dit que k k1 est plus fine que k k2 , on notera k k2 ≺k k1 s’il existe k > 0 tel que ∀~x ∈ E, k ~x k2 6 k k ~x k1
Définition 19
Soit E un K-espace vectoriel normé et k k1 , k k2 deux normes sur E.
On dit que k k1 équivalente à k k2 , on notera k k2 ∼k k1 s’il existe k1 > 0, k2 > 0 tel que
∀~x ∈ E, k1 k ~x k1 6k ~x k2 6 k2 k ~x k1
Proposition 13
Soit E un K-espace vectoriel normé et k k1 , k k2 deux normes sur E.
On a : k k1 ∼k k2 si et seulement si k k1 ≺k k2 et k k2 ≺k k1
Proposition 14
Pour un K-espace vectoriel la relation d’équivalence pour les normes sur E est une relation d’équivalence sur l’ensemble
des normes de E.
Théorème 1
Dans un K espace vectoriel de dimension finie les normes sont équivalentes deux à deux.
Exemple 5
1. Dans Kn les normes sont équivalentes deux à deux car Kn est de dimension finie, on a par exemple :
• ∀~x ∈ E k ~x k∞ 6k ~x k1 6 n
√ k ~x k∞ d’où k k∞ ∼k k1
• ∀~x ∈ E k ~x k∞ 6k ~x k2 6√ n k ~x k∞ d’où k k∞ ∼k k2
• ∀~x ∈ E k ~x k2 6k ~x k1 6 n k ~x k2 d’où k k1 ∼k k2
2. Pour (a, b) ∈ R2 , a < b, E = C([a, b], K),
Z
∀f ∈ E, k f k∞ = sup |f (x)|, k f k1 =
x∈[a,b]
b
Z
|f (t)|dt et k f k2 =
a
! 12
b
2
|f (t)| dt
a
On a
Proposition 15
Si f ∈ C([a, b],
K) Alors
Z b
• f (t)dt 6k f k1 6 (b − a) k f k∞
a
√
• k f k2 6 √b − a k f k∞
• k f k1 6 b − a k f k2
k k1 ≺k k∞ , k k2 ≺k k∞ et k k1 ≺k k2 . Les normes deux à deux ne sont pas équivalentes.
3. Dans `1 (K) : N∞ ≺ N1 , N∞ ≺ N2 , N2 ≺ N1 . Les normes ne sont pas quivalentes deux à deux.
LGT Baimbridge
8
C.Susset
MP
4. Dans `2 (K) : N∞ ≺ N2 , les normes ne sont pas quivalentes.
5. Soit E = E1 × · · · × Ep avec (Ek , k kk ), k ∈ [[1, p]] p espaces vectoriels normés, on pose
v
u p
p
X
uX
k ~xk k2k
∀~x = (~x1 , . . . , ~xn ) ∈ E, N∞ (~x) = sup (k ~x kk ), N1 (~x) =
k ~xk kk et N (~x)2 = t
16k6p
k=1
k=1
Les normes N∞ , N1 , N2 sont des normes sur E équivalentes deux à deux.
2
Suites
2.1
Convergence
Soit (E, k k) un K espace vectoriel normé.
On notera :
• S(E) le K espace vectoriel des suites de E, S(E) = F (N, E)
• `∞ (E) = B(N, E) le sous-espace vectoriel de S(E) des suites bornées de E (voir définition 5)
(`∞ (E), N∞ ) est un espace vectoriel normé avec ∀u ∈ `∞ (E), N∞ (u) = sup k ~un k (voir 1.2.4)
n∈N
Définition 20
Soit u ∈ S(E), u = (~un )n∈N , on dit que la suite (~un )n∈N converge dans E s’il existe ~` ∈ E tel que :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n > N, k ~un − ~` k6 ε
on dit que la suite (~un )n∈N converge vers ~`, on note
lim ~un = ~` ou lim u = ~`
n→+∞
On dit qu’une suite de E est convergente si elle converge dans E, si elle ne converge pas dans E on dit qu’elle est
divergente.
Proposition 16
Si une suite de E converge alors sa limite est unique.
Propriétés 4
Soit `c (E) l’ensemble des suites convergentes de E
P1 u ∈ S(E), u = (~un )n∈N on a lim ~un = ~0 ⇔
n→+∞
P2 u ∈ S(E), u = (~un )n∈N , ~` ∈ E on a
lim k ~un k = 0 dans R
n→+∞
lim ~un = ~` ⇔
n→+∞
∞
P3 `c (E) est un sous-espace vectoriel de ` (E)
P4 (`c (E), N∞ ) est un espace vectoriel normé.
`c (E)
→
E
P5 l’application ϕ : u = (~un )n∈N 7→
lim ~un
n→+∞
lim k ~un − ~` k = 0
n→+∞
est une application linéaire, ϕ ∈ L(`c (E), E)
Proposition 17
• Si lim ~un = ~` dans un espace vectoriel normé (E, N1 ) et N2 est une autre norme sur E avec N1 plus fine que
n→+∞
N2 , N2 ≺ N1
Alors lim ~un = ~` dans (E, N2 ).
n→+∞
• Si deux normes sur E sont équivalentes alors elles définissent les mêmes suites convergentes et deux suites
convergentes ont la même limite pour les deux normes.
Théorème 2
Soit E un K-espace
1. N2 ≺ N1 si et
2. N1 ∼ N2 si et
3. N1 ∼ N2 si et
vectoriel, N1 et N2 deux normes sur E.
seulement si toute suite de E convergeant vers ~0 pour N1 converge vers ~0 pour N2 .
seulement si (E, N1 ) et (E, N2 ) ont les mêmes suites convergeant vers ~0
seulement si (E, N1 ) et (E, N2 ) ont les mêmes suites convergentes.
Proposition 18
Soit (E, k k) un K-espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E muni de k kF la norme induite par celle
de E. Si (~un )n est une suite de F convergeant vers ~u ∈ F dans l’espace vectoriel normé (F, k kF ) alors (~un )n converge
vers ~u dans (E, k k)
LGT Baimbridge
9
C.Susset
MP
Attention la réciproque est fausse en général par exemple si E = C([0, 1], R), on considère (E, k k∞ ), F le sous-espace
n
X
xk
vectoriel de E des fonctions polynômes, la suite de F , (Pn )n avec ∀n ∈ N, Pn (x) =
et la fonction f de E définie
k!
k=0
par f (x) = ex , on a (Pn )n converge vers f dans (E, k k∞ ) mais diverge dans (F, k kF ) où k kF = k k∞ |F .
Proposition 19
Soit (Ek , Nk ), k ∈ [[1, d]] d espaces vectoriels normés et (E, N∞ ) l’espace vectoriel normé produit,
~x = (~x1 , . . . , ~xd ), N∞ (~x) = sup Nk (x~k ). Soit (~un )n une suite de E avec ~un = (~u1n , . . . , ~udn ).
k∈[[1,d]]
On a
2.2
lim ~un = ~`, ~` = (~`1 , . . . , ~`d ) dans (E, N∞ ) si et seulement si ∀i ∈ [[1, d]], lim ~uin = ~`i
n→+∞
n→+∞
Suites extraites
Définition 21
Soit (~un )n∈N une suite d’un espace vectoriel normé (E, k k) et ϕ : N → N une application strictement croissante, la
suite v = u ◦ ϕ, soit v = (~uϕ(k) ) est une suite extraite de u.
Souvent ϕ(k) se note nk et la suite extraite v se note v = (unk )k∈N
Remarque 4 Si ϕ est une application strictement croissante de N dans N, on a ∀n ∈ N, ϕ(n) > n
Proposition 20
Si lim ~un = ~` Alors pour toute suite extraite (~uϕ(k) )k∈N de (~un )n∈N on a lim ~uϕ(k) = ~`
n→+∞
k→+∞
Définition 22
Soit (~un )n une suite d’un espace vectoriel normé (E, N ), ~` ∈ E.
On dit que ~` est une valeur d’adhérence de la suite (~un )n s’il existe une suite extraite (~uϕ(n) )n telle que lim ~uϕ(n) = ~`
n→+∞
Proposition 21
1. Une suite convergente possède pour unique valeur d’adhérence sa limite.
2. Une suite qui possède au moins deux valeurs d’adhérences est divergente.
2.3
2.3.1
Relations de comparaison
Domination
Définition 23
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé, (~un )n une suite de E et (αn )n une suite réelle.
On dit (~un )n est dominée par la suite (αn )n et on note ~un = (αn ) s’il existe M ∈ R+ , n0 ∈ N tels que
∀n > n0 , N (~un ) 6 M |αn |
Remarque 5
1. ~un = (αn ) ⇔ N (~un ) = (|αn |)
1
~un
est une suite bornée.
2. Si ∀n ∈ N, αn 6= 0 on a ~un = (αn ) ⇔
αn
n
3. ~un = (1) est équivalent à (~un )n est une suite bornée.
2.3.2
Négligeabilité
Définition 24
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé, (~un )n une suite de E et (αn )n une suite réelle.
On dit (~un )n est négligeable devant la suite (αn )n et on note ~un = o(αn ) si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tels que
∀n > N, N (~un ) 6 ε|αn |
Remarque 6
1. ~un = o(αn ) ⇔ N (~un ) = o(|αn |)
1
~un = ~0.
n→+∞ αn
lim ~un = ~0.
2. Si ∀n ∈ N, αn 6= 0 on a ~un = o(αn ) ⇔ lim
3. ~un = o(1) est équivalent à
LGT Baimbridge
n→+∞
10
C.Susset
MP
2.3.3
Equivalence
Définition 25
Soit (E, N ) un espace vectoriel normé, (~un )n et (~vn )n deux suites de E.
On dit (~un )n est équivalente à (~vn )n et on note ~un ∼ ~vn si ~un − ~vn = o(N (~vn ))
Propriétés 5
1. Si ~un ∼ ~vn on a
~ ⇒ lim ~vn = L.
~
lim ~un = L
n→+∞
n→+∞
~ 6= ~0 on a ~un ∼ L
~ ⇔ lim ~un = L
~
2. Si L
n→+∞
3. ~un ∼ ~vn ⇒ N (~un ) ∼ N (~vn )
4. ~un ∼ ~vn ⇒ ~un = (~vn ) et ~vn = (~un ).
5. Si E = K, (xn )n ∈ S(E), (yn )n ∈ S(E), ∀n ∈ N, yn 6= 0
2.4
Alors
xn ∼yn ⇔
∞
xn
=1
n→+∞ yn
lim
Suites de Cauchy
Définition 26
Soit (E, k k) un espace vectoriel normé et (~un )n∈N ∈ S(E). On dit que (~un )n∈N vérifie la propriété de Cauchy, on dit
aussi que (~un )n est une suite de Cauchy si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, tel que n > N, ∀p ∈ N, k ~un+p − ~un k6 ε
Soit CN (E) l’ensemble des suites de Cauchy de E
Propriétés 6
P1 CN (E) est un sous-espace vectoriel de (E, +, .)
P2 Toute suite convergente est une suite de Cauchy : `c (E) ⊂ CN (E)
P3 Toute suite de Cauchy est bornée : CN (E) ⊂ `∞ (E)
P4 Si une suite de Cauchy admet une valeur d’adhérence alors elle converge.
Proposition 22
Des normes équivalentes définissent les mêmes suites de Cauchy.
C’est à dire si E est un K-espace vectoriel et N, N 0 sont deux normes équivalentes sur E, les espaces vectoriels normés
(E, N ) et (E, N 0 ) ont les mêmes suites de cauchy.
Définition 27 (Espace de Banach)
On appelle espace de Banach un K-espace vectoriel normé (E, N ) dans lequel les suites de Cauchy convergent.
Définition 28
Soit (E, N ) un K-espace vectoriel normé et A une partie non vide de E. A est une partie complète de E si les suites
de Cauchy de A convergent dans A.
Remarque 7 Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Proposition 23
Soit E un K-espace vectoriel normé, N et N 0 deux normes équivalentes sur E, (E, N ) est un espace de Banach
si et seulement si (E, N 0 ) est un espace de Banach.
Théorème 3
Un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach.
Proposition 24
Soit (E, N ) et (E 0 , N 0 ) deux K-espaces vectoriels normés, on suppose qu’il existe une isométrie vectorielle de (E, N )
sur (E 0 , N 0 ) :
(E, N ) est un espace de Banach si et seulement si (E 0 , N 0 ) est un espace de Banach.
Proposition 25
Si (Ek , Nk ), k ∈ [[1, p]] sont p K-espaces de Banach
Alors l’espace vectoriel normé produit (E, N ) (∀~x = (~x1 , . . . , ~xp ) ∈ E, N (~x) = sup Nk (~xk )) est un espace de Banach.
k∈[[1,p]]
On en déduit :
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MP
Proposition 26
1. (Rn , k k) est un espace de Banach où k k est une norme sur Rn
2. (Cn , k k) est un espace de Banach où k k est une norme sur Cn
Définition 29 (Espace de Hilbert)
On appelle espace de Hilbert un espace préhilbertien réel ou complexe complet.
Proposition 27
1. (Rn , < , >) l’espace vectoriel Rn muni de son produit scalaire usuel est un espace de Hilbert réel.
2. (Cn , < , >) l’espace vectoriel Cn muni de son produit scalaire usuel est un espace de Hilbert complexe.
D’une manière générale :
3. Un espace euclidien est un un espace de Hilbert réel
4. Un espace hermitien est un espace de Hilbert complexe.
Exercice 1
1. Soit A un ensemble non vide et (E, N ) un espace de Banach
montrer que (B(A, E), N∞ ) (voir 1.2.4) est un espace de Banach.
2. Montrer que (`∞ (K), N∞ ) et (`1 (K), N1 ) sont des espaces de Banach.
3. Montrer que (`2 (K), N2 ) est un espace de Hilbert.
4. Montrer que `1 (K) n’est pas une partie fermée de (`2 (K), N2 ), en déduire que (`1 (K), N2 ) n’est pas un espace de
Banach.
3
Topologie
(E, k k) désigne un K-espace vectoriel normé.
3.1
Ouvert
Définition 30
Une partie A de E est un ensemble ouvert si ∀~x ∈ A, ∃r > 0, BO(~x, r) ⊂ A
Propriétés 7
P1 ∅ et E sont ouverts
P2 Une réunion d’ouverts est un ouvert.
P3 Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Proposition 28 Soit E un espace vectoriel, A une partie de E, N et N 0 deux normes équivalentes sur E.
A est ouvert dans (E, N ) si et seulement si A est ouvert dans (E, N 0 )
C’est à dire que des normes équivalentes définissent les mêmes ouverts.
3.2
Fermé
Définition 31
Une partie A de E est un ensemble fermé si CE A est un ouvert où CE A désigne le complémentaire de A dans E
Propriétés 8
P1 E et ∅ sont fermés
P2 Une intersection de fermés est un fermé.
P1 Une réunion finie de fermés est un fermé.
Proposition 29 Soit E un espace vectoriel, A une partie de E, N et N 0 deux normes équivalentes sur E.
A est fermé dans (E, N ) si et seulement si A est fermé dans (E, N 0 )
C’est à dire que des normes équivalentes définissent les mêmes fermés.
Proposition 30
Une partie A de E est un fermé si et seulement si pour toute suite (~un )n de A :
lim ~un = ~` ⇒ ~` ∈ A.
n→+∞
Proposition 31
Dans un espace de Banach (E, N ), les parties complètes de E sont les parties fermées de E.
LGT Baimbridge
12
C.Susset
MP
3.3
Voisinage d’un point
Définition 32 Soit ~a ∈ E et V ⊂ E, V est un voisinage de ~a si ∃r > 0 tel que BO(~a, r) ⊂ V
Définition 33
1. Dans E on appelle voisinage de l’∞ toute partie V de E telle qu’il existe R > 0 tel que CE BF (~0, R) ⊂ V
2. Dans R on appelle voisinage de +∞( resp. −∞) toute partie V de R telle qu’il existe a ∈ R qui vérifie ]a, +∞[⊂ V
(resp. ] − ∞, a[⊂ V )
Proposition 32
Des normes équivalentes définissent les mêmes voisinages d’un vecteur de E.
Soit V (~a) (resp. V (∞), V (±∞)) l’ensemble des voisinages d’un vecteur ~a de E (resp. ∞, ±∞)
Propriétés 9
P1 Une intersection finie de voisinage de ~a est un voisinage de ~a
P2 Si V1 ∈ V (~a) et V1 ⊂ V alors V ∈ V (~a)
Proposition 33
Soit U ⊂ E, U est un ouvert de E si et seulement si ∀~x ∈ U, U ∈ V (~x)
Proposition 34
Soit (~un )n une suite de E et ` ∈ E (ou ` = ∞, ` = ±∞) on a :
lim ~un = ` si et seulement si ∀V ∈ V (`), ∃N ∈ N, n > N ⇒ ~un ∈ V
n→+∞
Définition 34
Soit A une partie de E, P une propriété qui dépend de ~x ∈ A et ~a ∈ Ā, on dit que P est vraie au voisinage de ~a s’il
existe V ∈ V (~a) tel que P soit vraie pour tout ~x ∈ A ∩ V
3.4
Intérieur
Définition 35
Soit ~a ∈ E, on dit que ~a est un point intérieur à la partie A de E si A est un voisinage de ~a
c’est à dire qu’il existe r > 0 tel que BO(~a, r) ⊂ A.
Définition 36
◦
Soit A une partie de E, on appelle intérieur de A et on note A l’ensemble des points intérieurs à A
Proposition 35
Soit A une partie de E, l’intérieur de A est le plus grand ouvert de E au sens de l’inclusion contenu dans A.
◦
A=
∪
O⊂A
O ouvert
O
Proposition 36
◦
Une partie A de E est un ouvert de E si et seulement si A = A
3.5
Adhérence
Définition 37
Soit ~a ∈ E, on dit que ~a est un point adhérent à la partie A de E si pour tout voisinage V de ~a on a V ∩ A 6= ∅.
Remarque 8
La définition précédente s’applique pour a = ∞ et pour E = R, a = ±∞
Proposition 37
Soit ~a ∈ E, ~a est un point adhérent à la partie A de E si et seulement si il existe une suite (~un )n de vecteurs de A
telle que lim ~un = ~a
n→+∞
Définition 38
Soit A une partie de E, on appelle adhérence de A et on note Ā l’ensemble des points de E adhérents à A
LGT Baimbridge
13
C.Susset
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Remarque 9
On note aussi R̄ = R ∪ {−∞, +∞}
Proposition 38
Soit A une partie de E, l’adhérence de A est le plus petit fermé de E au sens de l’inclusion contenant A.
Ā = ∩ F
F ⊂A
F fermé
Proposition 39
Une partie A de E est un fermé de E si et seulement si A = Ā
Définition 39
Soit A une partie de E et B ⊂ A, on dit que B est dense dans A si A ⊂ B̄
Proposition 40
Si A et B sont deux parties de E avec B ⊂ A alors B est dense dans A si et seulement si
∀~a ∈ A, ∀r > 0 on a BO(~a, r) ∩ B 6= ∅.
Proposition 41
Si A et B sont deux parties de E avec B ⊂ A alors B est dense dans A si et seulement si
∀~a ∈ A, ∃(~un )n ∈ S(B) telle que lim ~un = ~a.
n→+∞
Exercice 2
Soit G un sous groupe de (R, +). Montrer que G vérifie l’une des propositions suivantes :
1. ∃a > 0, G = aZ
2. G est dense dans R
3.6
Frontière
Définition 40
◦
Soit A une partie de E, on appelle frontière de A la partie de E notée F r(A) et définie par F r(A) = Ā \ A
Proposition 42
Pour une partie A de E on a aussi F r(A) = Ā ∩ CE A
Proposition 43
Pour une partie A de E F r(A) est un fermé de E.
Exercice 3
◦
Montrer que pour une partie A de E, CE A = CE A
3.7
Topologie induite
Définition 41
Soit A une partie de E, on appelle ouvert, fermé, voisinage d’un point de Ā relativement à A l’intersection d’un ouvert,
d’un fermé, d’un voisinage dans E avec A
4
Etude locale d’une application
(E, k kE ), (F, k kF ), (G, k kG ) désigneront des K-espaces vectoriels normés
4.1
Limite
Définition 42
Soit A une partie non vide de E, ~a ∈ Ā dans E, ~b ∈ F et f une application de A dans F . On dit que f admet ~b pour
limite en ~a et on note lim f (~x) = ~b ou lim f = ~b si :
~
x→~
a
~
a
∀ε > 0, ∃r > 0, ~x ∈ A, k ~x − ~a kE 6 r ⇒ k f (~x) − ~b kF 6 ε
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14
C.Susset
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Définition équivalente avec les voisinages :
Définition 43
Soit A une partie non vide de E, ~a ∈ Ā dans E, ~b ∈ F et f une application de A dans F . On dit que f admet ~b pour
limite en ~a et on note lim f (~x) = ~b ou lim f = ~b si :
~
x→~
a
~
a
∀V ∈ V (~b), ∃W ∈ V (~a), f (W ∩ A) ⊂ V
Remarque 10
Cette définition s’applique aussi pour E = R et ~a = ±∞ ou ~b = ±∞.
Elle s’applique aussi pour un espace vectoriel normé E, ~a ∈ E, un espace vectoriel normé F et ~b = +∞ à la fonction
f: E → R
~ kF
~x 7→ k f (x)
Proposition 44
Si une fonction admet une limite en un point alors celle-ci est unique.
Proposition 45
Soit A une partie non vide de E, ~a ∈ A dans E, ~b ∈ F et f une application de A dans F .
Si f admet ~b pour limite en ~a alors ~b = f (~a)
Définition 44
Soit A une partie non vide de E, ~a ∈ A et f une application de A dans F .
On dit que f est continue en ~a si f admet une limite en ~a
Définition 45
Soit A une partie non vide de E et f une application de A dans F , on dit que f est continue sur A si f est continue
en tout point de A. On notera C(A, F ) l’ensemble des applications continues sur A à valeurs dans F .
Proposition 46
Soit A une partie non vide de E et f une application de A dans F , ~a ∈ Ā \ A,
f admet une limite ~b ∈ F si et seulement si f admet un prolongement par continuité en ~a en posant f (~a) = ~b.
Définition 46
Soit A une partie non vide de E, f une application de A dans F , P une partie de A et ~a un point de E adhérent à P ,
on dit que f admet une limite au point ~a selon P si la restriction de f à P admet une limite en ~a.
Propriétés 10
P1 Soit F~ac (A, F ) l’ensemble des applications de A dans F qui admettent une limite finie à valeur dans F en ~a ∈ Ā,
on a :
• F~ac (A, F ) est un sous-espace vectoriel de F (A, F )
F~ac (A, F ) →
F
• L’application
f
7→ lim f est une application linéaire.
~
a
P2 Composée d’applications :
Soit f une application de A dans B avec A ⊂ E, B ⊂ F , g une application de B dans G, ~a ∈ Ā, ~b ∈ B̄ et ~` ∈ G.
On a :
Si lim f (~t) = ~b et lim g(~x) = ~` alors lim g ◦ f (~t) = ~`
~
t→~
a
~
t∈A
~
x→~
b
~
x∈B
~
t→~
a
~
t∈A
Remarque 11 Ce résultat s’applique si ~a, ~b ou ~` ont des valeurs infinies.
P3 Théorème 4
Soit A une partie non vide de E, f une application de A dans F , ~a ∈ Ā, ~` ∈ F , on a :
lim f (~x) = ~` si et seulement si pour toute suite (~un )n de A, lim ~un = ~a ⇒ lim f (~un ) = ~`.
n→+∞
~
x→~
a
n→+∞
Remarque 12 Ce résultat s’applique si ~a ou ~` ont des valeurs infinies.
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Théorème 5
Soit A une partie non vide de E, f une application de A dans F , ~a ∈ Ā, on a :
lim f (~x) existe dans F si et seulement si pour toute suite (~un )n de A,
~
x→~
a
lim ~un = ~a ⇒ (f (~un ))n converge dans F .
n→+∞
P4 Critère de Cauchy
Théorème 6
Soit E et F deux espaces vectoriels normés, A une partie de E, ~a ∈ Ā, B une partie complète de F
et f ∈ F (A, B), f : A → B
f admet une limite finie en ~a si et seulement si
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(~x, ~y ) ∈ A2 , k ~x − ~a kE 6 η, k ~y − ~a kE 6 η ⇒ k f (~x) − f (~y ) kF 6 ε
Avec les voisinages le théorème s’écrit
Théorème 7
Soit E et F deux espaces vectoriels normés, A une partie de E, ~a ∈ Ā, B une partie complète de F
et f ∈ F (A, B), f : A → B
f admet une limite finie en ~a si et seulement si
∀ε > 0, ∃V ∈ V (~a), ∀(~x, ~y ) ∈ A2 , (~x, ~y ) ∈ V 2 ⇒ k f (~x) − f (~y ) kF 6 ε
Remarque 13
Le théorème s’applique si A est une partie d’un espace vectoriel normé, ~a ∈ Ā, F est un espace de banach (en
particulier si F est un espace vectoriel de dimension finie) et f ∈ F (A, F )
P5 Produit d’espaces vectoriels normés
Théorème 8
Soit A une partie d’un espace vectoriel normé (E, NE ), ~a ∈ Ā (éventuellement ~a = ±∞ si E = R),
(Fk , Nk ), k ∈ [[1, d]] d espaces vectoriels normés, (F, N∞ ) l’espace vectoriel normé produit, et f ∈ F (A, F ),
f = (f1 , . . . , fd ), ∀k ∈ [[1, d]], fk ∈ F (A, Fk ) les fonctions fk sont les fonctions composantes de f .
On a : lim f (~x) = ~`, ~` = (~`1 , . . . , ~`d ), `~k ∈ Fk si et seulement si ∀k ∈ [[1, d]], lim fk (~x) = ~`k
~
x→~
a
~
x∈A
4.2
4.2.1
~
x→~
a
~
x∈A
Relations de comparaison
Domination
Définition 47
Soit A une partie de E, ~a ∈ Ā (éventuellement E = R et ~a = ±∞ ), f ∈ F (A, F ) et ϕ ∈ F (A, R).
On dit f est dominée par la fonction ϕ au voisinage de ~a et on note f (~x) = ~a (ϕ(~x)) ou f = ~a (ϕ)
s’il existe M ∈ R+ , V ∈ V (~a) tels que ∀~x ∈ A, ~x ∈ V ⇒k f (~x) kF 6 M |ϕ(~x)|
Remarque 14
1. f = ~a (ϕ) ⇔ k f kF = ~a (|ϕ|) dans R
1
f est une fonction bornée sur V .
αn
3. f = ~a (1) est équivalent à f est une fonction bornée au voisinage de ~a.
2. Si ∀~x ∈ A, ϕ(~x) 6= 0 on a f = ~a (ϕ) ⇔ ∃V ∈ V (~a) tel que
4.2.2
Négligeabilité
Définition 48
Soit A une partie de E, ~a ∈ Ā (éventuellement E = R et ~a = ±∞ ), f ∈ F (A, F ) et ϕ ∈ F (A, R).
On dit f est négligeable devant la fonction ϕ au voisinage de ~a et on note f (~x) = ◦~a (ϕ(~x)) ou f = ◦~a (ϕ)
si ∀ε > 0, ∃V ∈ V (~a) tels que ∀~x ∈ A, ~x ∈ V ⇒k f (~x) kF 6 ε|ϕ(~x)|
Remarque 15
1. f = ◦~a (ϕ) ⇔ k f kF = ◦~a (|ϕ|) dans R
2. Si ∀~x ∈ A, ϕ(~x) 6= 0 on a f = ◦~a (ϕ) ⇐⇒ lim
~
x→~
a
~
a∈A
1
f (~x) = ~0.
φ(~x)
3. f = ◦~a (1) est équivalent à lim f (~x) = ~0.
~
x→~
a
~
a∈A
LGT Baimbridge
16
C.Susset
MP
4.2.3
Equivalence
Définition 49
Soit A une partie de E, ~a ∈ Ā (éventuellement E = R, ~a = ±∞ ) et (f, g) ∈ F (A, F )2 .
On dit f et g sont équivalentes en ~a et on note f ∼ g ou f (~x) ∼ g(~x) si f (~x) − g(~x) = o~a (k g(~x) kF )
~
a
~
a
Propriétés 11
~ ⇒ lim g(~x) = L.
~
1. Si f ∼ g on a lim f (~x) = L
~
a
~
x→~
a
~
x→~
a
~ 6= ~0 on a f (~x) ∼ L
~ ⇔ lim f (~x) = L
~
2. Si L
~
a
~
x→~
a
3. f (~x) ∼ g(~x) ⇒ N (f (~x)) ∼ N (g(~x))
~
a
4. f (~x) ∼ g(~x) ⇒ f (~x) = ~a (g(~x)) et g(~x) = ~a (f (~x)).
~
a
5. Si F = K, ∀~x ∈ A, g(~x) 6= 0
4.3
f (~x)
=1
~
x→~
a g(~
x)
Alors f ∼ g ⇔ lim
~
a
Continuité
Rappels
Définition 50
Soit A une partie non vide de E, ~a ∈ A dans E et f une application de A dans F .
On dit que f est continue en ~a si f admet une limite en ~a
Définition 51
Soit A une partie non vide de E et f une application de A dans F , on dit que f est continue sur A si f est continue
en tout point de A. On notera C(A, F ) l’ensemble des applications continues sur A à valeurs dans F .
Proposition 47
Soit A une partie non vide de E, f une application de A dans F et ~a ∈ A,
f est continue en ~a si et seulement si pour toute suite (~un )n de A, lim ~un = ~a ⇒
n→+∞
lim f (~un ) = f (~a).
n→+∞
On a aussi
Proposition 48
Soit A une partie non vide de E, f une application de A dans F et ~a ∈ A,
f est continue en ~a si et seulement si pour toute suite (~un )n de A, lim ~un = ~a ⇒
n→+∞
lim f (~un ) existe dans F .
n→+∞
Propriétés 12
P1 (C(A, F ), +, .) est un K espace vectoriel, c’est un sous-espace vectoriel de (F (A, F ), +, .)
P2 (C(A, K), +, . ) est une K algèbre, c’est une sous-algèbre de (F (A, K), +, ×, .).
P3 Une composée d’applications linéaires continues est continue, plus précisément on a le théorème
Théorème 9
Si f est une fonction continue sur une partie A de E à valeurs dans une partie B de F et g est une fonction
continue sur B à valeurs dans G
Alors g ◦ f est une fonction continue sur A à valeurs dans G.
P4
Théorème 10
Si A une partie de E et f ∈ F (A, F ) Alors
• f est continue sur A si et seulement si Pour tout ouvert O de F , f −1 (O) est un ouvert de A
• f est continue sur A si et seulement si Pour tout fermé Ω de F , f −1 (Ω) est un fermé de A
P5
LGT Baimbridge
17
C.Susset
MP
Théorème 11
Soit A une partie de E, B ⊂ A telle que B est dense dans A, soit A ⊂ B̄ et (f, g) ∈ C(A, F )2 .
Si ∀~x ∈ B, f (~x) = g(~x) Alors f = g sur A.
P6
Proposition 49
Si (Fk , k kk ), k ∈ [[1, d]] sont d espaces vectoriels normés, F = F1 × · · · × Fd est l’espace vectoriel normé produit,
A ⊂ E et f = (f1 , . . . , fd ) ∈ F (A, F ) avec ∀k ∈ [[1, d]], fk ∈ F (A, Fk ), les fk sont les fonctions composantes de
f.
Alors f est continue sur A si et seulement si ∀k ∈ [[1, d]], fk est continue sur A.
P7
Proposition 50
Si f ∈ F (A, F ) où A est une partie de E
Alors f lipschitzienne sur A ⇒ f est continue sur A, soit
Lips(A, F ) ⊂ C(A, F )
Définition 52 (homéomorphisme)
Soit A ⊂ E, B ⊂ F et f ∈ F (A, B)
On dit que f est un homéomorphisme de A sur B si
1. f est une bijection de A sur B
2. f est continue sur A
3. f −1 est continue sur B
On dit aussi que f est bicontinue.
S’il existe un homéomorphisme de A sur B on dit que les parties A et B sont homéomorphes.
Pour les fonctions réelles on a
Théorème 12
Si I est un intervalle de R, f ∈ F (I, R), J = f (I) et f est continue sur I,
alors
1. J est un intervalle de R
2. f est un homéomorphisme de I sur J si et seulement si f est strictement monotone sur I
on a alors f −1 est une bijection continue de J sur I de même monotonie que f
Définition 53
Soit f ∈ F (A, F ) avec A ⊂ E, on dit que f est uniformément continue sur A si
∀ε > 0, ∃η < 0, ∀(~x, ~y ) ∈ A2 k ~x − ~y kE 6 η ⇒ k f (~x) − f (~y ) kF 6 ε
Proposition 51
Si f ∈ F (A, F ) avec A ⊂ E est uniformément continue sur A Alors f est continue sur A
Proposition 52
Si f ∈ F (A, F ) avec A ⊂ E est lipschitzienne sur A Alors f est uniformément continue sur A.
5
applications linéaires continues
Soit (E, NE ) et (F, NF ) deux espaces vectoriels normés et Lc (E, F ) le sous-espace vectoriel de L(E, F ) des applications linéaires continues sur E à valeurs dans F .
Théorème 13
Si f ∈ L(E, F )
Alors les propositions suivantes sont équivalentes deux à deux
1. f est continue sur E
2. f est continue en ~0E
3. ∃r > 0 tel que f est bornée sur BF (~0E , r)
4. ∃k > 0, ∀~x ∈ E, NF (f (~x)) 6 kNE (~x)
5. f est lipschitzienne sur E.
LGT Baimbridge
18
C.Susset
MP
Proposition 53
Deux normes N1 et N2 sur un K espace vectoriel sont équivalentes si et seulement si l’application identité
Id : (E, N1 ) → (E, N2 ) est bicontinue.
Proposition 54
Deux normes N1 et N2 sur un K espace vectoriel sont équivalentes si et seulement si les espaces vectoriels normés
(E, N1 ) et (E, N2 ) ont les mêmes ouverts.
Proposition 55
Si f ∈ Lc (E, F ) alors
sup NF (f (~x)) ∈ R+
NE (~
x)61
Définition 54
Pour f ∈ Lc (E, F ) on note k f k=
sup NF (f (~x))
NE (~
x)61
Proposition 56
k k est une norme sur Lc (E, F ), k k s’appelle la norme de Lc (E, F ) subordonnée à NE et à NF
(Lc (E, F ), k k) est un espace vectoriel normé.
Proposition 57
Pour f ∈ Lc (E, F ) on a k f k=
NF (f (~x))
= sup NF (f (~x))
x)
NE (~
x)=1
~
x∈E\{~
0E } NE (~
sup
Proposition 58
Si u ∈ Lc (E, F ), v ∈ Lc (F, G) alors v ◦ u ∈ Lc (E, G) et pour les normes subordonnées aux normes respectives de
E, F, G on a k v ◦ u k6k v k k u k
Définition 55 (algèbre normée)
Soit (A, +, ×, .) une K algèbre munie d’une norme NA
1. NA est une norme d’algèbre si ∀(~x, ~y ) ∈ A2 on a NA (~x × ~y ) 6 NA (~x).NA (~y )
2. NA est une norme d’algèbre unitaire si NA est une norme d’algèbre telle que NA (1A ) = 1
On appelle algèbre normée une algèbre munie d’une norme d’algèbre.
Proposition 59
Soit (E, NE ) un espace vectoriel normé et k k la norme de l’algèbre Lc (E) subordonnée à NE .
k k est une norme d’algèbre unitaire sur L(E).
Proposition 60
Soit A un ensemble non vide et B(A, K) l’algèbre des applications bornées de A dans K on muni B(A, K) de la norme
N∞ , ∀f ∈ B(A, F ), N∞ (f ) = sup|f (t)|
t∈A
N∞ est une norme d’algèbre unitaire.
Continuité des applications bilinéaires :
Théorème 14
Si B est une application bilinéaire de E × F dans G, E × F muni de la topologie produit
Alors B est continue sur E × F si et seulement si ∃k > 0, ∀(~x, ~y ) ∈ E × F, k B(~x, ~y ) kG 6 k k ~x kE k ~y kF
Applications :
Proposition 61
K×E → E
1. (λ, ~x) 7→ λ.~x est une application bilinéaire continue.
2. Si (E, < , >) est un espace préhilbertien, E × E →
K
est une application bilinéaire continue.
(~x, ~y ) 7→ < ~x, ~y >
3.
Lc (E) × Lc (E) →
(u, v)
7→
Lc (E) est une application bilinéaire continue.
u◦v
A×A
4. Si (A, +, ×, . , k kA ) est une algèbre normée alors (u, v)
Les espaces produits étant munis de la topologie produit.
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19
→
A
7→ u × v
est une application bilinéaire continue.
C.Susset
MP
6
Compacité
Soit (E, k kE ) et (F, k kF ) des espaces vectoriels normés.
Définition 56
Soit A une partie de E
A est une partie compacte de (E, k kE ) si toute suite de A possède au moins une valeur d’adhérence dans A, c’est à
dire de toute suite de A on peut extraire une suite convergeant dans A.
Proposition 62
Deux normes équivalentes sur un espace vectoriel définissent les mêmes parties compactes.
Proposition 63
Dans un espace vectoriel normé, si K est une partie compacte alors K est fermée et bornée.
Attention ! la réciproque est fausse dans un espace vectoriel normé quelconque.
Par exemple dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, la boule unité fermée est une partie fermée et bornée
mais ce n’est pas une partie compacte.
En dimension finie la réciproque est vraie, on a les deux théorèmes suivants :
Théorème 15 (Bolzano Weierstrass)
Dans un espace vectoriel de dimension finie de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.
Théorème 16
Dans un espace vectoriel de dimension finie les compacts sont les parties fermées et bornées.
Proposition 64
Une partie compacte de R admet un maximum et un minimum.
Proposition 65
Si K est un compact de E et A est une partie de K
Alors A est une partie compacte de E si et seulement si A est une partie fermée de E.
Théorème 17
Si A est un compact de E, B est un compact de F Alors A × B est une partie compacte de l’espace vectoriel normé
produit E × F .
Théorème 18
L’image d’un compact par une application continue est un compact, c’est à dire :
Si A est une partie compacte de E et f une application continue sur A à valeurs dans F , f ∈ C(A, F )
Alors f (A) est une partie compacte de F
Conséquence :
Proposition 66
Si f ∈ C(A, F ) où A est un compact de E
A →
R
Alors l’application f : ~x 7→ k f (~x) kF admet un maximum et un minimum sur A,
c’est à dire ∃(~a0 , ~a1 ) ∈ A2 tel que k f (~a0 ) kF = max k f (~x) kF et k f (~a1 ) kF = min k f (~x) kF
~
x∈A
~
x∈A
Compacts et applications uniformément continues
Théorème 19
Soit A une partie de E et f ∈ C(A, F )
Si A est un compact Alors f est uniformément continue sur A
LGT Baimbridge
20
C.Susset