Continuité Fonction continue en un point

Fonction continue en un point – Continuité – Exercices corrigés
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1
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
 Exercice 1 : montrer qu’une fonction est continue en un point
 Exercice 2 : déterminer la valeur d’un paramètre pour qu’une fonction soit continue en un point
 Exercice 3 : montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point
 Exercice 4 : montrer qu’une fonction dérivable en un point  est continue en ce point 
 Exercice 5 : étudier le lien entre la continuité et la dérivabilité d’une fonction
 Exercice 6 : étudier la continuité d’une fonction en un point en utilisant une expression conjuguée
 Exercice 7 : étudier la continuité d’une fonction en un point en utilisant le théorème des gendarmes
 Exercice 8 : étudier la continuité d’une fonction en tout point d’un intervalle
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Fonction continue en un point – Continuité
Exercices corrigés

Fonction continue en un point – Continuité – Exercices corrigés
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2
Soit la fonction  définie sur  par 
. Montrer que  est continue en 1.
Rappel : Continuité d’une fonction en un point
Soit  une fonction définie sur  et soit .
 est continue en  si et seulement si  a une limite en  égale à , c’est-à-dire si et seulement si
. En particulier  est continue en  si et seulement si 
.
Remarque : On note indifféremment la limite à gauche de la fonction  en  
 ou 
 et la
limite à droite de la fonction  en  
 ou 
.
Etudions la continuité de la fonction  en 1.
D’une part, 
.
D’autre part, on a 
.
Ainsi, 
 donc la fonction  est continue en 1.
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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3
Soit la fonction  définie sur  par 
. Déterminer la(les) valeur(s) du réel 
pour que  soit continue en 4.
D’une part, 
.
D’autre part, 
.
La fonction  est continue en 4 si et seulement si 
, c’est-à-dire si et seulement si, pour tout
réel , .
Or, pour tout , .
Soit  le discriminant du trinôme du second degré . Alors .
Comme , le trinôme  admet deux racines réelles distinctes :
Finalement, la fonction  est continue en 4 si et seulement si .
Rappel : Racines d’un trinôme du second degré 
Soit  le discriminant du trinôme  . Alors .
 1er cas : 
Le trinôme  admet une racine réelle double :
 2e cas : 
Le trinôme  admet deux racines réelles distinctes :
 3e cas : 
Le trinôme  n’admet aucune racine réelle (mais admet deux racines complexes conjuguées).
Exercice 2 (1 question) Niveau : moyen
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Montrer que la fonction  définie sur  par 
 n’est pas continue en 0.
D’une part, par définition de la fonction , .
D’autre part, 
 et  .
Comme 
, la fonction  n’est pas continue en 0.
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
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Montrer que si une fonction  est dérivable en un point , alors  est continue en .
Remarque : Cet exercice peut être l’occasion d’une restitution organisée des connaissances (ROC).
Rappel : Dérivabilité d’une fonction en un point – Limite d’un taux d’accroissement
Soit  une fonction définie sur  et soit .
Pour tout , tel que , le nombre noté 
 est appelé taux d’accroissement de  en .
Si ce taux d’accroissement admet une limite finie  en , on dit que  est dérivable en . Autrement dit,  est
dérivable en  si et seulement si 
  ( réel fini).
Remarque : Ce nombre réel  est alors appelé nombre dérivé de  en  et noté .
Montrons que si une fonction  est dérivable en un point , alors  est continue en .
Dire qu’une fonction  est dérivable en  signifie que la fonction  définie par 
 a pour limite
 lorsque  tend vers .
Pour tout , , d’où .
Comme 
 et comme  , il résulte que  .
On vient de montrer que 
, c’est-à-dire que la fonction  est continue au point .
Remarque importante : Si une fonction  est dérivable en , alors  est continue en . En revanche, la
réciproque n’est pas vraie : une fonction continue en  peut ne pas être dérivable en  ; c’est le cas par exemple
de la fonction racine carrée qui est continue en 0 (à droite) mais n’est pas dérivable en 0.
Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen
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