Fonctions de plusieurs variables

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
(Outils Mathématiques 4)
Bernard Le Stum
Université de Rennes 1
Version du 13 mars 2009
Table des matières
1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1
2 Limites et continuité 5
3 Différentiabilité 8
4 Fonctions implicites 19
5 Développements limités 21
1 Fonctions partielles, courbes de niveau
Exemple 1.1 i) Volume d’un cylindre.
[DESSIN]
Une fois fixées des unités (mètre et mètre cube par exemple), lorsque le rayon
ret la longueur hd’un cylindre varient dans R>0, le volume V=πr2hdu
cylindre varie dans R>0. On dit Vest fonction des deux variables ret h. On
dispose donc d’une fonction réelle
R2//R
(r, h)//V(r, h) = πr2h
de deux variables réelles. Cette fonction est définie sur son domaine
D:= {(r, h)∈R2, r, h > 0}
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et son image est R>0. Choisissons deux valeurs r0et h0. Si on fixe le rayon
r=r0, alors on peut considérer la fonction partielle
R//R
h//V(r0, h) = (πr2
0)×h
(qui est linéaire).
[DESSIN]
De même, si on fixe la longueur h=h0, on peut considérer l’autre fonction
partielle
R//R
r//V(r, h0)=(πh0)×r2
(qui est cette fois quadratique).
[DESSIN]
Lorsqu’on donne différentes valeurs ViàV, on obtient ce qu’on appelle les
courbes de niveau d’équations πr2h=Vi:
[DESSIN]
Enfin, le graphe de Vest la surface de R3d’équation V=πr2h, c’est à dire
l’ensemble des points de la forme (r, h, πr2h)avec r, h > 0.
[DESSIN]
ii) Température en un point d’une pièce à un moment donné.
[DESSIN]
Dans une pièce de longueur L, largeur let hauteur h, on peut mesurer pendant
une période donnée (disons, une heure) la température en un point donné à un
moment donné. Si on fixe des unités (mètre et seconde par exemple), le coin
en bas à gauche comme origine de la pièce et le moment de la première mesure
comme origine du temps, la température Test fonction des coordonnées x, y, z
du point et du moment tou la température est prise. En d’autres termes, T
est fonction de x, y, z, t. On a définit donc une fonction réelle
R4T//R
(x, y, z, t)//T(x, y, z, t)
de quatre variables réelles. Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
Définition 1.2 On rappelle que R2désigne l’ensemble de tous les couples (x, y)
avec x∈Ret y∈R. Une partie de R2est un ensemble de couples de réels.
Exemple 1.3 i) Le quadrant droit du plan.
[DESSIN]

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Il peut être décrit comme
Q={(x, y)∈R2, x, y ≥0}
ou encore comme Q=R>0×R>0.
ii) Le cercle unité.
[DESSIN]
Il peut être décrit comme
C={(x, y)∈R2, x2+y2= 1}
(en compréhension : condition) mais aussi comme l’ensemble
C={(cos θ, sin θ), θ ∈R}
(en extension : paramétrisation).
Définition 1.4 Une fonction réelle de deux variables réelles est une méthode qui
associe à certains couples de réels (x, y), un autre réel f(x, y). On écrit
R2f
//R
(x, y)//f(x, y)
Son domaine de définition est la partie Dfde R2formée des couples (x, y)pour
lesquels f(x, y)existe. L’image (du domaine) de fest l’ensemble de toutes les valeurs
que f(x, y)peut prendre.
Exemple 1.5 La fonction f(x, y) = xy −5
2√y−x2est définie lorsque le point de coor-
données (x, y)est situé au dessus de la parabole y > x2.
[DESSIN]
On peut montrer que son image est Rtout entier.
Définition 1.6 Étant donne une fonction f:R2→Ret un point (a, b)de R2, les
fonctions partielles sont les fonctions d’une variable réelle obtenue en fixant y=b,
R//R
x//fx(x, b) = f(x, b)
ou en fixant x=a,
R//R
y//fy(a, y) = f(a, y).

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Définition 1.7 (Généralisation) On désigne par Rnl’ensemble de tous les n-
uples (x1, . . . , xn)avec x1, . . . , xn∈R. Alternativement, on verra les éléments de
Rncomme des vecteurs u= (x1, . . . , xn)ou des points P= (x1, . . . , xn). La cor-
respondance étant donnée par u=−→ OP . Une partie de Rnest tout simplement un
ensemble de n-uples de réels.
Une fonction réelle de nvariables réelles est une méthode qui associe à certains
n-uples (x1, . . . , xn), un autre réel f(x1, . . . , xn). On écrit
Rnf
//R
(x1, . . . , xn)//f(x1, . . . , xn)
Son domaine de définition est la partie Dfde Rnformée des points Ppour lesquels
f(P)existe. L’image (du domaine) de fest l’ensemble de toutes les valeurs que
f(P)peut prendre.
Enfin, les fonctions partielles en un point (a1, . . . , an)sont les fonctions d’une va-
riable réelle obtenue en faisant varier seulement xi:
Rnf
//R
x//fxi(a1, . . . , ai−1, x, ai+1,...an) = f(a1, . . . , ai−1, x, ai+1,...an)
Exemple 1.8 La fonction f(x, y) = xyez
√x2+y2+z2−1es définie lorsque le point
de coordonnées (x, y, z)est situé en dehors de la sphère unité x2+y2+z2≤1. On
peut voir que son image est encore Rtout entier.
Définition 1.9 Le graphe d’une fonction f:R2→Rest la « surface » G(f)⊂R3
formée de tous les triplets de la forme (x, y, f(x, y)) avec (x, y)∈ Df.
Exemple 1.10 Par exemple, si f(x, y) = xy −5
2√y−x2, alors
G(f) = {(x, y, xy −5
2√y−x2), y > x2}.
Définition 1.11 (Généralisation) Le graphe d’une fonction f:Rn→Rest
G(f) = {(P, f(P)), P ∈ Df} ⊂ Rn+1.
Définition 1.12 Les courbes de niveau d’une fonction f:R2→Rsont les courbes
planes d’étquation f(x, y) = kavec kfixé.
Une courbe de niveau d’une fonction fest donc la même chose qu’une courbe de
niveau de son graphe G(f).
Exemple 1.13 La fonction f(x, y) = y2−x2.

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[DESSIN]
Définition 1.14 Les courbes de niveau d’une surface Sdans R3sont les courbes
obtenues en coupant Savec un plan d’équation z=ket en projetant sur le plan
xOy.
[DESSIN]
Proposition 1.15 Une courbe de niveau d’une fonction fest la même chose qu’une
courbe de niveau de son graphe G(f).
[Démonstration]
Définition 1.16 Si fest une pression, on dit courbe isobare. Si fest une tempé-
rature, on dit courbe isotherme. Si fest un potentiel, on dit courbe equipotentielle
Si fest une altitude, on dit courbe isoplèthe. etc.
2 Limites et continuité
Définition 2.1 Soit f:R2→Rune fonction réelle de deux variables réelles, (a, b)
un point de R2et l∈R. Alors, f(x, y)a pour limite lquand (x, y)tend vers (a, b)
si pour tout intervalle ouvert Icontenant l, il existe un disque ouvert Dcontenant
(a, b)tel que l’image de D\(a, b)par fest contenu dans I.
[DESSIN]
Autrement dit,
∀ > 0,∃η > 0,∀(x, y)6= (a, b),q(x−a)2+ (y−b)2≤η⇒ |f(x, y)−l| ≤ 
On écrira
lim
(a,b)f(x, y) = lou lim (x,y)→(a,b)f=l.
Définition 2.2 Les coordonnées polaires de (x, y)en (a, b)sont données par
(x=a+ρcos θ
y=b+ρsin θ
avec ρ=q(x−a)2+ (y−b)2et θ∈[0,2π[.
Proposition 2.3 (Méthode des majorations) On a lim
(a,b)f(x, y) = lsi et seule-
ment si il existe F:R≥0→Rtel que |f(x, y)−l| ≤ F(ρ)et limρ→0F(ρ)=0.