ent logarithme

Chapitre XII
Chapitre XII - -Fonction Logarithme Fonction Logarithme
[e-mail] , le 20/03/2013
1
La fonction Ln
La fonction Ln
I. Définition
La fonction exponentielle est continue et
strictement croissante sur IR, à valeurs dans
]0;+oo[.
D'après le théorème des valeurs
intermédiaires, pour tout réel a de ]0;+oo[,
l'équation ex=a admet une unique solution
dans IR
On appelle logarithme népérien d'un réel
strictement positif a, l'unique solution de
l'équation ex=a . On la note x=ln(a)
La fonction ln est la fonction de ]0;+oo[ vers R
qui a x associe ln(x)
On dit que ln est la fonction réciproque de exp
Les courbes de ln et de exp sont symétriques
par rapport à la droite y=x
Conséquences
a) x = ln(y) <=> y=exp(x)=ex
b) ln(1) = 0 ; ln(e) = 1; ln(1/e) = -1
c) Si x >0 eln(x) = x
d) Pour tout x réel, ln(ex)=x
Propriétés
La fonction ln est continue et dérivable sur
]0;+oo[
Sa dérivée est ln'(x) = 1/x
La fonction ln est strictement croissante
ln est négative sur ]0;1[, positive sur ]1;+oo[
elle s'annule en x=1
Pour tout A et B positifs, A=B <=> ln A = ln B
Démonstration
1) Si ln est dérivable et que f est sa dérivée, la
dérivée de eln(x) existe et vaut
f(x).eln(x), or eln(x) = x, donc la dérivée de eln(x)
vaut 1 et on a donc f(x).x=1, soit f(x)=1/x
2) Montrons que ln est dérivable en a>0 :
donc ln est dérivable pour tout a positif et sa
dérivée est 1/x
ax ee
Lim
ee ax
Lim
ax ax
Lim ax
ax
ax
axax
lnln
1lnlnlnln lnln
lnln
aea
ax ee
Lim
ax ee
Limor a
ax
ax
ax
ax 
ln
ln
ln
lnln lnexp'
lnlnln

Chapitre XII
Chapitre XII - -Fonction Logarithme Fonction Logarithme
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Relation fonctionnelle
Relation fonctionnelle
Le reste est une simple conséquence de cela :
Comme 1/x>0 sur ]0;+oo[, ln est strictement
croissante
Comme ln(1)=0, x>1 implique ln(x)>ln(1)=0,
de même si x<1
relation fonctionnelle
Pour tout x et y positifs on a :
ln(x . y)=ln(x)+ln(y)
Preuve
Conséquences
Pour tous x et y positifs, et n entier on a
Preuves
Exemples d'application
Simplifier
yxyxdonc
eeeyxe yxyxyx
lnlnln
lnlnlnlnln
xx
xnx
yx
y
x
x
x
n
ln
2
1
ln
lnln
lnlnln
ln
1
ln
ln 3 5 ln 3 5A
B
3ln2 ln5 2ln3 Clne2ln 2
e
ln 3 5 ln 3 5
ln 3 5 3 5
ln 9 5
ln4
A
B 3ln2ln5 2ln3
ln23ln5ln32
ln 235
32
ln 40
9
Clne2ln 2
e
2lneln2 lne
2ln2 1
3ln2

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M
Mé éthodes thodes
Résolution d'équations et d'inéquations
résoudre
1)
2)
Calcul de dérivées
Dériver et étudier sur ]0;+oo[ :
ln 3 ln 9 0xx
ln 6 1 2x
2
ln
()
x
fx
x

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Limites
Limites
Propriétés :
On a
Conséquence
Conséquence graphique
La courbe de la fonction ln n'admet pas
d'asymptote horizontale mais une asymptote
verticale d'équation x=0
Démonstration
On doit prouver que pour tout A>0, il existe x
tel que ln(x)>A
En prenant x≥ eA, on a ln(x)≥ln(eA)=A
Donc
De plus
Autres limites
Démonstration
On est en présence de formes indéterminées
MAIS
De plus, en posant X=ln(x), on a
Exemples : déterminer les limites
 xLim xln
xLim
x
xln
00
 xLim xln
xLim
x
LimxLim x
x
x
x
xln
1
lnln
00 00
1
1ln
0 hh
Lim
h
0
ln 
 xx
Lim
x
01ln'
11lnln 11 1ln1ln1ln
1
00
h
h
Lim
h
h
Lim
hh
Lim
h
hh
0
11ln 
X
e
Lim
X
e
Lim
e
X
Lim
xx
Lim X
X
X
X
X
Xx
lim ln
x
x
x
 lim
x1
lnx
x1lim
x
lnx
x1

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Fonctions ln(u)
Fonctions ln(u)
Propriété (admis)
Si u est dérivable et STRICTEMENT POSITIVE
sur I, alors la fonction
f(x)=ln(u(x)) est définie, continue et dérivable
sur I, et sa dérivée vaut
f '(x) = u'(x)/u(x)
Logarithme décimal
Les physiciens utilisent souvent le logarithme
décimal, noté Log, et défini par
Log(x) = ln(x)/ln(10)
Propriétés
Pour tout n entier, Log(10n)=n
Preuve
Cette fonction a les mêmes propriétés que le
logarithme népérien
Sa dérivée est
Log'(x)=1/ln(10) . 1/x
Exemples
Soit
Montrez que f est définie sur ]-2;1[
Déterminez sa dérivée et ses variations
Quelles sont ses limites ?
Résolvez f(x)=0
2
() ln 1
x
fx
x
n
n
Log n
n 10ln 10ln
10ln10ln
10