algebre bilineaire version2013

Algèbre bilinéaire
Mohamed HOUIMDI
Université Cadi Ayyad
Faculté des Scieces-Semlalia
Département de Mathématiques

TABLE DES MATIÈRES
1 Formes linéaires – Dualité 2
1.1 Formes linéaires et hyperplans ............................. 2
1.5 Espace vectoriel dual .................................. 4
1.7 Base duale ........................................ 7
1.12 Base préduale ...................................... 10
1.15 Prolongement des formes linéaires ........................... 11
1.18 Orthogonalité ...................................... 12
1.26 Bidual .......................................... 16
1.29 Transposée d’une application linéaire ......................... 17
1.35 Exercices ........................................ 19
2 Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques 23
2.1 Formes bilinéaires symétriques ............................. 23
2.1.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 23
2.3.1 Matrice d’une forme bilinéaire ......................... 24
2.4.1 Ecriture matricielle ............................... 25
2.4.2 Changement de base .............................. 26
2.5.1 Rang d’une forme bilinéaire .......................... 26
2.7.1 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées ................ 27
2.9.1 Orthogonalité .................................. 28
2.14.1 Bases orthogonales ............................... 31
2.18 Formes quadratiques .................................. 32
2.18.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 32
2.21.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique ........ 35
2.22 Signature d’une forme bilinéaire symétrique ...................... 40
2.22.1 bases orthonormales .............................. 40
2.25.1 Théorème d’inertie de Sylvestre ........................ 41
2.27 Exercices ........................................ 42
3 Espaces eucldiens 48
3.1 Produit scalaire ..................................... 48
3.1.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 48
3.3.1 Notations et règles de calcul .......................... 50
3.3.2 Utilisation des bases orthonormales ...................... 51
3.4 Inégalité de cauchy-Schwartz .............................. 52
ii

3.10 Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt .................... 54
3.13 Changement de bases orthonormales - Orientation ................... 56
3.19 Produit vectoriel ..................................... 58
3.19.1 Formes linéaires d’un espace euclidien .................... 58
3.20.1 Définition et propriètés du produit vectoriel .................. 58
3.25 Exercices ........................................ 62
4 Endomorphismes d’un espace euclidiens 67
4.1 Endomorphisme adjoint ................................. 67
4.5 Projection orthogonale ................................. 69
4.5.1 Projection suivant une direction ........................ 69
4.7.1 Définition et propriètés d’une projection orthogonale ............. 70
4.10.1 Distance d’un point à un sous-espace vectoriel ................ 74
4.13 Symétrie orthogonale .................................. 76
4.13.1 Symétrie suivant une direction ......................... 76
4.15.1 Propriètés des symétries orthogonales ..................... 76
4.18 Endomorphismes symétriques ............................. 78
4.18.1 Définition et propriètés des endomorphismes symétriques .......... 78
4.22.1 Formes bilinéaires symétriques d’un espace euclidien ............. 80
4.27 Endomorphismes orthogonaux ............................. 82
4.27.1 Définition et propriètés de base ......................... 82
4.32.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 2 ................... 85
4.33.1 Cas d’un espace euclidien de dimension 3 ................... 86
4.35.1 Cas général ................................... 89
4.38 Exercices ........................................ 91
5 Formes sesquilinéaires - Formes quadratiques hermitiennes 106
5.1 Formes sesquilinéaires - Formes hemitiennes ..................... 106
5.1.1 Quelques rappels sur les nombres complexes ................. 106
5.1.2 Définition et propriètés de base ......................... 107
5.3.1 Matrice d’une forme sesquilinéaire ...................... 108
5.4.1 Ecriture matricielle ............................... 109
5.4.2 Changement de base .............................. 109
5.5.1 Rang d’une forme sesquilinéaire ........................ 110
5.6.1 Formes hermitienne non dégénérée ...................... 110
5.8.1 Orthogonalité .................................. 111
5.12.1 Bases orthogonales ............................... 112
5.16 Formes quadratiques hermitiennes ........................... 113
5.16.1 Définition et propriètés élémentaires ...................... 113
5.19.1 Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique hermitienne . . 115
5.20 Exercices ........................................ 119
6 Espaces hermitiens 121
6.1 Produit hermitien .................................... 121
6.1.1 Définition et exemples ............................. 121
6.3.1 Notations et règles de calcul .......................... 122
6.3.2 Utilisation des bases orthonormales ...................... 123
6.4 Inégalité de cauchy-Schwartz .............................. 124
6.8 Endomorphismes d’un espace hermitien ........................ 125
6.8.1 Endomorphisme adjoint ............................ 125
6.11.1 Endomorphismes normaux ........................... 126
Page iii sur 135 Pr.Mohamed HOUIMDI

6.15.1 Endomorphismes hermitiens .......................... 129
6.18.1 Endomorphismes unitaires ........................... 130
6.23 Exercices ........................................ 132
Page 1 sur 135 Pr.Mohamed HOUIMDI

CHAPITRE 1
FORMES LINÉAIRES – DUALITÉ
1.1 Formes linéaires et hyperplans
Une forme linéaire sur Eest une application linéaire de Evers K.
Définition 1.2.
Remarque 1.2.1
Rappelons que si E est un K-espace vectoriel, on dit que H est un hyperplan de E, si dim(E/H) = 1.
Donc si E est de dimension finie, alors
H est un hyperplan de E ⇐⇒ dim(H) = dim(E)−1
Soit Eun K-espace vectoriel quelconque. Alors
i) Le noyau d’une forme linéaire non nulle sur Eest un hyperplan de E.
ii) Tout hyperplan de Eest le noyau d’au moins une forme linéaire non nulle de E.
iii) Si ϕet ψsont deux formes linéaires non nulles de E. Alors
ker(ϕ) = ker(ψ)⇐⇒ ∃λ∈K:ψ=λϕ
Proposition 1.3.
Preuve
i) Soit ϕune forme linéaire non nul sur E, alors on sait que E/ker(ϕ)est isomorphe à Im(ϕ).
Puisque ϕ6=0, alors Im(ϕ)6={0K}, donc Im(ϕ) = K. Par suite, E/ker(ϕ)est isomorphe à K,
donc dim(E/ker(ϕ)) = 1. Ainsi, ker(ϕ)est un hyperplan de E.
ii) (=⇒)Supposons que ker(ϕ) = ker(ψ)et soit x0∈E, tel que x0/∈ker(ϕ), donc on aura
E=ker(ϕ)⊕Vect(x0)
Soit x ∈E avec x =y0+αx0, alors ϕ(x) = αϕ(x0)et ψ(x) = αψ(x0). Puisque ϕ(x0)6=0,
donc on voit que ψ(x) = ψ(x0)
ϕ(x0)ϕ(x)et ceci pour tout x ∈E, donc on aura
ψ=ψ(x0)
ϕ(x0)ϕ
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