Applications linéaires

Applications linéaires
Propriétés élémentaires
Exercice 1. Image d’une somme, d’une intersection
Soit f:E→Fune application linéaire et E1,E2deux sous-espaces vectoriels de E,F1,F2deux
sous-espaces vectoriels de F. Que pouvez-vous-dire de f(E1+E2), f(E1∩E2), f−1(F1+F2), f−1(F1∩F2) ?
Exercice 2. Effet sur les familles libres et génératrices
Soient E, F deux espaces vectoriels et f:E→Flinéaire.
1) Montrer que fest injective si et seulement si ftransforme toute famille libre de Een une famille libre
de F.
2) Montrer que fest surjective si et seulement s’il existe une famille génératrice de Etransformée par f
en une famille génératrice de F.
Exercice 3. Endomorphisme tel que tout vecteur non nul est propre
Soit Eun espace vectoriel et f∈ L(E) tel que pour tout x∈E, la famille (x, f(x)) est liée.
1) Montrer que si x6= 0, il existe un unique scalaire λxtel que f(x) = λxx.
2) Comparer λxet λylorsque (x, y) est libre.
3) Montrer que fest une homothétie.
Exercice 4. Applications R-linéaires sur C
On considère que Cest un R-espace vectoriel.
1) Donner une base de C.
2) Montrer que tout endomorphisme de Cpeut se mettre sous la forme : f(z) = az +bz, avec a, b ∈C.
3) CNS sur aet bpour que fsoit bijectif ?
Exercice 5. L(E×F)
Est-il vrai que L(E×F) et L(E)× L(F) sont isomorphes ? (Eet Fespaces vectoriels de dimensions
finies).
Exercice 6. Permutation de coordonnées dans Kn
Soit σ∈ Sn(groupe symétrique) et fσ:Kn−→ Kn
(x1, . . . xn)7−→ (xσ(1), . . . , xσ(n))
On munit Knde la structure d’algèbre pour les opérations composante par composante.
1) Montrer que fσest un automorphisme d’algèbre.
2) Soit ϕun automorphisme d’algèbre de Kn.
a) Montrer que la base canonique de Knest invariante par ϕ(étudier ϕ(e2
i) et ϕ(ei×ej)).
b) En déduire qu’il existe σ∈ Sntel que ϕ=fσ.
3) Montrer que {0},D=K(1, . . . , 1), H={(x1, . . . , xn) tq x1+. . . +xn= 0}et Knsont les seuls sev
stables par tous les endomorphismes fσ.
Exercice 7. Somme directe d’endomorphismes
Soit Eun K-ev, E1, . . . , Endes sev tels que E1⊕. . . ⊕En=E. Soient u1∈ L(E1), . . . ,un∈ L(En).
1) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme u∈ L(E) tel que pour tout i:u|Ei=ui.
2) Montrer que Ker(u) = Ker(u1)⊕. . . ⊕Ker(un) et Im(u) = Im(u1)⊕. . . ⊕Im(un).
Projections
Exercice 8. Barycentre de projections
Soient p, q deux projections de même base Het de directions F, G. Soit λ∈K. Montrer que λp+(1−λ)q
est encore une projection de base H.
applin.tex – mardi 4 octobre 2011

Exercice 9. Valeurs propres d’une projection
Soit Eun espace vectoriel et p∈ L(E) une projection. Montrer que pour tout λ∈K\ {−1}, idE+λp est
un isomorphisme de E.
Exercice 10. Projections ayant même base ou même direction
Soit Eun espace vectoriel et p, q ∈ L(E) deux projections.
1) Montrer que pet qont même base si et seulement si : p◦q=qet q◦p=p.
2) Donner une condition analogue pour que pet qaient même direction.
Exercice 11. Somme de deux projecteurs
Soient p, q deux projections. Montrer les équivalences :
p+qest une projection ⇔p◦q+q◦p= 0 ⇔(Base(p)⊂Dir(q) et Base(q)⊂Dir(p)).
Chercher alors la base et la direction de p+q.
Exercice 12. f◦g=fet g◦f=g
Soit Eun K-ev. Trouver tous les couples (f, g) d’endomorphismes de Etels que : f◦g=fet g◦f=g.
Exercice 13. f◦g= id
Soit Eun espace vectoriel et f, g ∈ L(E) tels que f◦g= idE. Montrer que g◦fest une projection et
déterminer ses éléments.
Exercice 14. Projection p+q−q◦p
Soient p, q deux projections telles que p◦q= 0. Montrer que p+q−q◦pest une projection, et déterminer
ses éléments.
Exercice 15. Endomorphisme de rang 1
Soit f∈ L(E) de rang 1. Montrer qu’il existe un unique λ∈Ktel que f2=λf.
Montrer que : λ= 1 ⇔id −fest non injective ⇔id −fest non surjective (même en dimension infinie).
Exercice 16. Relation d’ordre sur les projecteurs
On munit l’ensemble des projections d’un ev Ede la relation : p4q⇔p◦q=q◦p=p.
1) Montrer que c’est une relation d’ordre.
2) Soient p, q deux projections permutables. Montrer que sup(p, q) = p+q−p◦qet inf(p, q) = p◦q.
Exercice 17. Commutant d’une projection
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n,F, G deux sous-espaces vectoriels de Etels que E=F⊕G.
On note pla projection sur Fparallèlement à G. Soit Ep={f∈ L(E) tq f◦p=p◦f}. Quelle est la
dimension de Ep?
Exercice 18. Expressions analytiques
Soit E=K3,F={X= (x, y, z) tq x+ 2y+z= 0}et G= vect(U= (1,1,1)).
1) Vérifier que F⊕G=E.
2) Soit sla symétrie de base Fde direction Get X= (x, y, z). Déterminer s(X).
Exercice 19. Trace nulle
Soit Eun R-ev de dimension finie et Aune partie finie de GL(E) stable par composition. On pose
u=Pf∈Af. Montrer que tr(u) = 0 ⇒u= 0.
Rang
Exercice 20. Applications du thm du rang
Soient E, F deux K-ev de dimensions finies et f∈ L(E, F ).
1) Montrer que si Hest un sev de E, alors dim f(H) = dim H−dim(H∩Ker f).
2) Montrer que si Kest un sev de F, alors dim f−1(K) = dim(K∩Im f) + dim(Ker f).
Exercice 21. Application du thm du rang
Soient E, F deux ev de dimensions finies et u, v ∈ L(E, F ).
Montrer que dim(Ker(u+v)) 6dim(Ker u∩Ker v) + dim(Im u∩Im v) (considérer w=u|Ker(u+v)).
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Exercice 22. Rang de f◦g
Soit Eun ev de dimension finie et f, g ∈ L(E). Établir :
1) dim Ker(f◦g)6dim Ker f+ dim Ker g.
2) dim(Im f∩Ker g) = rg(f)−rg(g◦f).
3) rg(f) + rg(g)−dim E6rg(f◦g)6min(rg(f),rg(g)).
Exercice 23. f◦g= 0
Soit Eun ev de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que f◦g= 0. Trouver une inégalité liant les rangs de
fet de g. Peut-on avoir égalité ?
Exercice 24. f◦g= 0 et f+g∈GL(E)
Soit Ede dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que f◦g= 0 et f+g∈GL(E).
Montrer que rg f+ rg g= dim E.
Exercice 25. f◦f= 0 et f◦g+g◦f= id
1) Soit Eun K-ev quelconque et f, g ∈ L(E) tels que : f2= 0 et f◦g+g◦f= idE. Montrer que
Ker f= Im f.
2) Réciproquement, on suppose Ede dimension finie et on considère f∈ L(E) tel que Ker f= Im f.
Soit Fun supplémentaire de Ker f. Montrer . . .
a) f2= 0.
b) ∀x∈E, il existe y, z ∈Funiques tels que x=y+f(z).
c) Il existe g∈ L(E) tel que f◦g+g◦f= idE.
Exercice 26. Rang de f+g
Soient E, F deux ev, Ede dimension finie, et f, g ∈ L(E, F ).
1) Démontrer que rg(f+g)6rg(f) + rg(g).
2) Montrer qu’il y a égalité si et seulement si Im f∩Im g={0F}et Ker f+ Ker g=E.
Exercice 27. Somme de projecteurs
Soit Kun corps de caractéristique nulle, Eun K-ev de dimension finie et p1, . . . , pndes projecteurs tels
que p1+. . . +pn= idE.
1) Montrer que tr(pi) = rg(pi).
2) Montrer que E= Im(p1)⊕. . . ⊕Im(pn).
Exercice 28. Groupe fini d’endomorphismes, X MP∗2001
Soit Gun sous-groupe fini de GL(Rn) et F=Tg∈GKer(g−id).
Montrer que card(G)×dim(F) = Pg∈Gtr(g).
Image et noyau
Exercice 29. f(Ker(g◦f))
Soit Eun espace vectoriel et f, g ∈ L(E). Montrer que f(Ker(g◦f)) = Ker g∩Im f.
Exercice 30. Supplémentaire d’un hyperplan
Soit Eun K-ev et f:E→Kune forme linéaire non identiquement nulle. On note H= Ker f.
1) Montrer que Im f=K.
2) Soit u∈E\Het F= vect(u). Montrer que F⊕H=E.
Exercice 31. CNS pour que Ker fet Im fsoient supplémentaires
Soit Eun ev de dimension finie et f∈ L(E). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) Ker f2= Ker f.
(2) Im f2= Im f.
(3) Ker f⊕Im f=E.
(4) Ker f∩Im f={0}.
(5) Ker f+ Im f=E.
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Exercice 32. Ker f+ Ker g= Im f+ Im g=E
Soient Eun ev de dimension finie et f, g ∈ L(E) tels que Ker f+ Ker g= Im f+ Im g=E. Montrer que
les sommes sont directes.
Exercice 33. ftq Im fet Ker fsont imposés
Soit Eun K-ev de dimension finie et H, K deux sev fixés de E.
1) A quelle condition existe-t-il un endomorphisme f∈ L(E) tel que Im f=Het Ker f=K?
2) On note E={f∈ L(E) tq Im f=Het Ker f=K}. Montrer que Eest un groupe pour ◦si et
seulement si H⊕K=E.
Exercice 34. Noyaux itérés
Soit Eun ev de dimension finie et f∈ L(E). On pose Nk= Ker(fk) et Ik= Im(fk).
1) Montrer que la suite (Nk) est croissante pour l’inclusion et que la suite (Ik) est décroissante.
2) Soit ptel que Np=Np+1. Justifier l’existence de pet montrer que Np+1 =Np+2 =. . . =Np+k=. . .
3) Montrer que les suites (Nk) et (Ik) sont stationnaires à partir du même rang p.
4) Montrer que Np⊕Ip=E.
5) Montrer que la suite (dim(Nk+1)−dim(Nk)) est décroissante.
Équations algébriques
Exercice 35. f2=−id
Soit Eun R-ev de dimension finie et f∈ L(E) tel que f◦f=−idE. Pour z=x+iy ∈Cet u∈E, on
pose zu =xu +yf (u).
1) Montrer qu’on définit ainsi une structure de C-ev sur E.
2) En déduire que dimR(E) est paire.
Exercice 36. f3= id
Soit f∈ L(E) tel que f3= idE.
1) Montrer que Ker(f−id) ⊕Im(f−id) = E.
2) Montrer que Ker(f−id) = Im(f2+f+ id) et Im(f−id) = Ker(f2+f+ id).
Exercice 37. Endomorphisme cyclique
Soit Eun ev de dimension net f∈ L(E). On suppose qu’il existe un vecteur u∈Etel que la famille
(fk(u))k∈Nengendre E.
1) Montrer que (u, . . . , fn−1(u)) est une base de E(considérer pmaximal tel que F= (u, . . . , fp−1(u))
est libre, et prouver que fk(u) est combinaison linéaire de Fpour tout entier k).
2) Montrer qu’un endomorphisme g∈ L(E) commute avec fsi et seulement si c’est un polynôme en f.
Exercice 38. Endomorphisme cyclique
Soit f∈ L(E). On dit que fest un endomorphisme cyclique s’il existe x∈Etel que E=hfk(x), k ∈Ni.
Si fest cyclique et Fest un sous-espace vectoriel stable par f, montrer que f|Fest aussi cyclique.
Exercice 39. u2= 0 en dimension 3
Soit Eun ev de dimension 3 et u∈ L(E) tel que u2= 0. Montrer qu’il existe f∈E∗et a∈Etels que :
∀x∈E,u(x) = f(x)a.
Exercice 40. (u, x, f(x)) liée
Soit Eun ev de dimension supérieure ou égale à 3 et u∈E\ {0}. Trouver tous les endomorphismes
f∈ L(E) tels que : ∀x∈E, la famille (u, x, f(x)) est liée.
Exercice 41. f2= 0 ⇒f=g◦havec h◦g= 0
Soit Ede dimension finie et f∈ L(E) telle que f2= 0. Montrer qu’il existe g, h ∈ L(E) tels que f=g◦h
et h◦g= 0.
Exercice 42. f3= 0
Soit Ede dimension finie et f∈ L(E) tel que f3= 0.
1) Montrer que rg f+ rg f26dim E.
2) Montrer que 2 rg f26rg f(appliquer le théorème du rang à f|Im f).
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Exercice 43. Endomorphisme nilpotent
Un endomorphisme f∈ L(E) est dit nilpotent s’il existe p∈Ntel que fp= 0. Dans ce cas, l’indice de f
est le plus petit entier ptel que fp= 0. On considère f∈ L(E) nilpotent d’indice p.
1) Soit u∈E\Ker fp−1. Montrer que la famille (u, f(u), . . . , fp−1(u)) est libre.
2) En déduire que si Eest de dimension finie n, alors fn= 0.
3) Soit g∈GL(E) tel que f◦g=g◦f. Montrer que f+g∈GL(E). . .
a) en dimension finie.
b) pour Equelconque.
4) Dans L(K2), soient f, g de matrices : 0 0
1 0 et 0 1 −1 0 . Vérifier que fest nilpotent, g∈GL(K2),
mais f+g /∈GL(K2).
Exercice 44. Endomorphisme localement nilpotent
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E) tel que ∀x∈E,∃px∈N, tq fpx(x) = 0.
Montrer que fest nilpotent. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
Exercice 45. g7→ f◦g−g◦f
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie où Kest un coprs de caractéristique nulle et f∈ L(E)
nilpotente d’indice n. Soit ϕ:L(E)−→ L(E)
g7−→ f◦g−g◦f.
1) Montrer que ϕp(g) = Pp
k=0(−1)kp
kfp−k◦g◦fk. En déduire que ϕest nilpotente.
2) Soit a∈ L(E). Montrer qu’il existe b∈ L(E) tel que a◦b◦a=a. En déduire l’indice de nilpotence
de ϕ.
Composition
Exercice 46. f◦g◦f=fet g◦f◦g=g
Soient f, g ∈ L(E) tels que f◦g◦f=fet g◦f◦g=g.
1) Montrer que E= Ker f⊕Im g.
2) Montrer que f(Im g) = Im f.
Exercice 47. Thms de factorisation
Soient E, F, G trois K-ev avec dim(G) finie.
1) Soient u∈ L(F, E) et v∈ L(G, E). Montrer qu’il existe h∈ L(G, F ) tel que v=u◦hsi et seulement
si Im v⊂Im u.
2) Soient u∈ L(E, F ) et v∈ L(E, G). Montrer qu’il existe h∈ L(G, F ) tel que u=h◦vsi et seulement
si Ker v⊂Ker u.
Exercice 48. Isomorphisme ◦projecteur
Soient Eun ev de dimension finie et f∈ L(E).
1) Montrer qu’il existe un projecteur p∈ L(E) et un isomorphisme g∈GL(E) tels que f=g◦p.
2) Montrer qu’il existe un projecteur p∈ L(E) et un isomorphisme g∈GL(E) tels que f=p◦g.
Exercice 49. Dimension des gtq f◦g= 0 et/ou g◦f= 0
Soit Eun ev de dimension finie et f∈ L(E). On pose K= Ker f,I= Im f,K={g∈ L(E) tq f◦g= 0}
et I={g∈ L(E) tq g◦f= 0}.
1) Montrer que Ket Isont des sev de L(E).
2) Soit g∈ L(E). Montrer : g∈ K ⇔ Im g⊂K, et : g∈ I ⇔ Ker g⊃I.
3) a) Montrer que l’ application ϕ:K −→ L(E, K)
g7−→ g|Kest un isomorphisme d’ev. En déduire dim K.
b) Chercher de même dim Ien introduisant un supplémentaire I0de I.
c) Chercher aussi dim(K ∩ I).
Exercice 50. Centrale MP 2001
Soit fun endomorphisme donné de Ede dimension net F={g∈ L(E) tq g◦f=f◦g= 0}. Trouver
la dimension de F.
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