Repère projectif et birapports

Repère projectif et birapports
J Parizet 2 juin 2009
L'espace projectif P(E) d'un espace vectoriel réel E est l'ensemble des droites vectorielles de E ; lorsque E est
−
→
de dimension trois, P(E) est le plan projectif. Dans ce cas il est commode d'identier E à l'espace universel E3 du
e complété de P par sa droite de l'inni, ensemble des directions de P , est en bijection
plan ane P . En eet P
−
→
−
→
e est (modulo l'équivalence
avec P(E3 ) : un point M de P est aussi un vecteur de E3 et un point à l'inni de P M
−
→
de proportionnalité ∼
= ) un vecteur de P . Ainsi une droite de P(E3 ) peut être désignée en précisant un vecteur qui
−
→
−
→
e .
l'engendre ∆(M) ou ∆(M)
−
→
On s'aperçoit qu'il est naturel dans ce cadre de dénir d'abord le birapport de quatre droites coplanaires de P(E3 )
−
→
Les coordonnées d'un point de P(E3 ) dans un repère projectif s'interprètent en termes de birapports, qui donnent
e par un repère ane ou un
coordonnées anes ou barycentriques selon que ce repère est représenté dans P ou P
repère barycentrique.
1 Dénitions et conventions
L'espace projectif déduit d'un espace vectoriel E est le quotient de E/{0} par la
relation d'équivalence de colinéarité ∼
= exprimant que l'un des termes est proportionnel à l'autre ; on le note P(E) . Les classes d'équivalence modulo ∼
= , sont les
droites vectorielles de E.
−
→
La projection canonique p : E /{0} → P(E) fait correspondre à tout vecteur non
−
→
nul la droite vectorielle qu'il engendre selon ~u 7→ p(~u) = ∆(~u).
→
−
−
→
• Lorsque E est l'espace universel de la droite ane D, P(E2 ) est la droite projective ; toute droite vectorielle rencontre D ou est dans sa direction. Dans ce dernier
cas on dit qu'elle rencontre D en son point à l'inni ∞D ; ce dernier complète D en
→
e . P(−
e qui représente ainsi la droite projective, mais
D
E2 ) est donc en bijection avec D
−
→
toute autre droite ane de E3 complétée par son point à l'inni représente la droite
−
→
projective P(E2 ).
−
→
−
→
• Lorsque l'espace est l'espace universel E3 du plan ane P , P(E3 ) est le plan proe complété de P par sa droite de l'inni D∞ , et tout
jectif : il est en bijection avec P
−
→
autre plan ane (non vectoriel) de E3 complété par sa droite de l'inni représente
aussi le plan projectif.
e un point de P
e (ou de D
e ) : c'est un vecteur de l'espace universel, que
On note M
l'on note M pour préciser qu'il appartient à P (ou à D).
D (ou P ) a pour équation dans son espace universel ϕ = 1 où ϕ est une forme
linéaire qui permet de caractériser les points de l'espace ane de noyau son espace
directeur .
Les repères anes sont adaptés aux points de P (ou de D), les repères barycene (ou de D
e ).
triques à ceux de P
1
→
−
Un repère projectif de P(E) est un ensemble de droites vectorielles de E permettant de dénir toute droite vectorielle de E.
2 Repère de la droite projective
−
→
−
→ −
→ −
→
Pour repérer une droite de E2 on considère trois droites distinctes ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 )
engendrées respectivement par les vecteurs (~u1 , ~u2 , ~u0 ). Le dernier vecteur ~u0 s'exprime dans la base formée par les deux premiers :
~u0 = k1 ~u1 + k2 ~u2 , les k1 , k2 ne sont pas nuls.
Posons
~e1 = k1 ~u1 , ~e2 = k2 ~u2 et ~e0 = ~u0 soit ~e1 + ~e2
−
→
−
→
∆ étant une droite vectorielle engendrée par ~u, que l'on note ∆(~u), l'expression
de ~u dans la base B(~e1 , ~e2 ) : ~u = T ~e1 + Z ~e2 donne un couple de réels (T,Z) dont
−
→ −
→
le rapport T/Z (si ∆ 6= ∆ 1 ) est indépendant du choix des vecteurs engendrant les
−
→ →
− −
→ −
→
quatre droites (( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 , ∆). B(~e1 , ~e2 ) est la base associée au repère Rp : elle
donne les coordonnées projectives dans le repère.
En eet on peut exprimer les divers scalaires intervenant à l'aide d'une forme bilinéaire alternée non nulle Φ∗ , telle le déterminant dans la base (~u1 , ~u2 ) , quelconque
car deux ½formes bilinéaires alternées sont proportionnelles :
Φ∗ (~u0 , ~u2 ) = k1 Φ∗ (~u1 , ~u2 ) , Φ∗ (~u, ~u2 ) = T k1 Φ∗ (~u1 , ~u2 )
Φ∗ (~u0 , ~u1 ) = k2 Φ∗ (~u2 , ~u1 ) , Φ∗ (~u, ~u1 ) = Z k2 Φ∗ (~u2 , ~u1 )
−
→ →
−
Si Z 6= 0 ( ∆ 6= ∆ 1 ) le rapport T/Z s'écrit
T
Φ∗ (~u0 , ~u1 ) . Φ∗ (~u, ~u1 )
= ∗
Z
Φ (~u0 , ~u2 ) Φ∗ (~u, ~u2 )
expression montrant que ce rapport ne dépend pas du choix des vecteurs engendrant
les droites.
−
→ →
− −
→
−
→
Dénition 1. Trois droites distinctes ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 ) de E2 forment un repère pro−
→
−
→
jectif où une droite ∆ de E2 est dénie par le couple de réels (T,Z) (modulo ∼
= ) de
sorte que, (~e1 , ~e2 , ~e0 = ~e1 + ~e2 ) engendrant les trois droites, le vecteur X ~e1 + Z~e2
−
→
engendre ∆. (T,Z) sont les coordonnées projectives de E dans le repère.
On peut dire que la troisième droite du repère est sa droite unité, (1,1) étant
−
→
coordonnées projectives de ∆ 0 .
2.1 Birapport
Le rapport T/Z ne dépendant que des droites, on peut dénir le birapport des
quatre droites vectorielles, qui sont coplanaires, selon
−
→ −
→
Dénition 2. Le birapport de quatre droites vectorielles distinctes de E2 ( ∆ i (~ui ))1,2,3,4 ,
−
→
le vecteur ~ui engendrant ∆ i , est le nombre
Á
Φ∗ (~u3 , ~u1 ) Φ∗ (~u4 , ~u1 )
−
→ −
→ →
− −
→
[ ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3, ∆ 4 ] = ∗
Φ (~u3 , ~u2 ) Φ∗ (~u4 , ~u2 )
indépendant de la forme bilinéaire alternée non nulle Φ∗ utilisée.
−
→ −
→ −
→
−
→
−
→
−
→
Pratiquement si ∆ 6= ∆ 1 , [ ∆ 1 (~e1 ), ∆ 2 (~e2 ), ∆ 3 (~e1 + ~e0 ) : ∆ 4 (k~e1 + ~e0 ) ] = k .
e 1, M
e 2, M
e 3, M
e 4 ) de la droite projecDénition 3. Le birapport des quatre points (M
−
→ e −
→ e −
→ e −
→ e
tive est celui des quatre droites ( ∆(M
1 ), ∆(M2 ), ∆(M3 ), ∆(M4 )) qu'ils engendrent
2
−
→
(comme vecteurs de E2 ). On le note
e 1, M
e 2, M
e 3, M
e 4 ].
[M
Expression du birapport de quatre points
e
Birapport de quatre points de D
e i ont
Dans un repère barycentrique Rb (A,B) (formé de points de D, les points M
pour coordonnées (αi¯, βi ), en posant
¯
¯ αi αj ¯
δ3,1 . δ4,1
e
e
e
e
¯
¯
δi,j = ¯
alors [ M1 , M2 , M3 , M4 ] =
βi βj ¯
δ3,2 δ4,2
Au moins trois de ces quatre points distincts appartiennent à D ; supposons lorsqu'ils
ne sont pas tous dans D et que le premier soit ∞D ; ses coordonnées dans Rb étant
(1, −1) , δ1,i = αi + βi = 1 et
δ4,2
[ ∞D , M2 , M3 , M4 ] =
δ3,2
Birapport de quatre points de D
Lorsque les points sont sur la droite ane, on peut utiliser un repère ane pour
−→
exprimer leur birapport. ti étant l'abscisse de Mi dans Ra (AB, A) : (αi , βi ) = (ti , ti )
et δi,j = −(ti − tj ) d'où en termes d'abscisses le birapport des quatre points
t3 − t1 . t4 − t1
[ M1 , M2 , M3 , M4 ] =
noté [ t1 , t2 , t3 , t4 ]
t3 − t2 t4 − t2
appelé le birapport des quatre nombres.
On l'écrit aussi en termes de mesures algébriques
M3 M1 . M4 M1
[ M1 , M2 , M3 , M4 ] =
M3 M2 M4 M1
e 1 est ∞D , δ1,j = 1
Il peut être utile de faire intervenir le point à l'inni de D ; si M
t4 − t2
et [ ∞D , M2 , M3 , M4 ] =
limite du birapport précédent lorsque t1 → ∞.
t3 − t2
Ainsi pour l'abscisse t de M dans Rb : [ ∞D , A, B, M ] = [ ∞, 0, 1, t ] = t.
Division harmonique
e forment une division harmonique si leur birapport vaut −1 ;
Quatre points de D
−
→
dans ce cas on dit que les droites vectorielles de E2 engendrées par ces points forment
un faisceau harmonique.
Si les points (A,B,C,D) de D forment une division harmonique, leurs abscisses dans
un repère cartésien (~i,O) vérient (a + b)(c + d) = 2(ab + cd).
Si A est en O : 2/b = 1/c + 1/d (Descartes), b est moyenne harmonique de (c, d).
Si O est milieu de [ A, B ]) : a = −b et a2 = bc (Newton), |a| est moyenne géométrique de (c, d).
Lorsque A est le point à l'inni de D : 2b = c+d. b est moyenne arithmétique de (c, d).
e
2.2 Représentation d'un repère projectif dans D
→
− −
→ −
→
e , sont telles que la
Si les trois droites [ ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 ] du repère, qui rencontrent D
première est dans la direction de D et donc les deux autres rencontrant D en O et
−→
→
−
→
−
→
−
Ω, alors avec ~i = OΩ, le repère projectif [ ∆ 1 (~i), ∆ 2 (O), ∆ 0 (Ω)] est représenté dans
e par le repère ane Ra (~i, O) :
D inclus dans D
−
→
la droite ∆(M) rencontre D en M tel que M=t~i + O ∼
= T~i + Z O
3
(T, Z) sont les coordonnées anes homogènes de M dans Ra .
e en trois points (A,B,C) de D, lorsque C
Si les droites du repère rencontrent D
est le milieu de [A,B] le repère est représenté par le repère barycentrique Rb (AB)
e;
dans D
−
→ e
e ∈D
e ), C = A/2 + B/2 ⇒ M = T A/2 + Z B/2 ∼
pour ∆(M)
(M
= αA + βB
(T, Z) sont les coordonnées barycentriques homogènes de M dans Rb .
Dans les autres cas, Rp est représenté par un repère lié à un repère barycentrique :
si les droites rencontrent D en (A,B,C), C ayant pour coordonnées (α0 , β0 ) dans
e : (Z , T) ∼
Rb (AB), (α, β) étant celles de M
= (α/α0 , β/β0 ),
−
→
−
→
−
→
si ∆ 1 et ∆ 2 rencontrent D en A et B alors que ∆ 0 dirige D : (T , Z) ∼
= (−α, β)
−
→ e
avec les mêmes notations pour ∆(M)
.
2.3 Homographie de la droite projective
−
→
−
→
Soit f un automorphisme de E2 , élément du groupe linéaire GL(E2 ). Grâce à la
linéarité de f :
−
→
−
→
• f dénit une bijection sur P(E2 ) : la droite ∆ étant donnée, les vecteurs qui
l'engendrent sont équivalents modulo ∼
= comme leurs images par f et ceux-ci en−
→
−
→
gendrent la même droite notée h( ∆), ce qui dénit une application h de P(E2 ) dans
−
→
−
→
lui-même appelée homographie : h( ∆(~u)) = ∆(f (~u)).
Deux automorphismes conduisent à la même homographie si et seulement si ils sont
équivalents modulo ∼
= ; deux automorphismes inverses conduisent à des homogra−
→
phies inverses et l'ensemble des homographies sur P(E2 ) forment le groupe projectif
−
→
GP(E2 ).
• Une homographie transforme un repère projectif en un autre : les images par h
−
→
−
→
→
−
−
→
−
→
des droites ∆ 1 (~e1 ), ∆ 2 (~e2 ), ∆ 0 (~e1 + ~e2 ), sont les droites ∆ 1 (f (~e1 )), ∆ 2 (f (~e2 )) et la
−
→
droite ∆ 0 (f (~e1 ) + f (~e2 )),
• elle conserve le birapport de quatre droites : avec les notations précédentes
−
→
−
→
l'image de ∆(k~e1 + ~e2 ) est ∆(kf (~e1 ) + f (~e2 )).
−
→
e en faisant correspondre la
Une homographie de P(E2 ) est représentée dans D
trace de la droite objet à celle de son image par h. C'est une bijection, appelée
−
→
e de D
e,
comme dans P(E2 ), homographie et notée aussi h. Puisque pour tout point M
−
→
−
→
e et h( ∆(M)
e est la même droite, h conserve le birapport de quatre points.
∆(f (M)
e et sa restriction à D ?
Comment à partir de f se présente h dans D
→
−
h est dénie sur D si, quelque soit M de D, ∆(f (M) rencontre D c'est à dire
n'est pas parallèle à la droite ane : ϕ(f (M )) 6= 0. Dans ce cas ϕ ◦ f est constante
−−→
sur D car pour tout couple (M,N), ϕ(f (M)) − ϕ(f (N)) = ϕ(f (NM)) = 0.
h est alors bijective sur D : dans le repère Ra (~i,O), M=O+t~i et avec a = ϕ(f (0)) 6= 0,
f (~i) = k~i, car f est stable sur le noyau de ϕ engendré par ~i
h(M ) = h(O) + (k/a) t~i h est une transformation ane sur D.
Cette transformation conserve le rapport des mesures algébrique
OM
OM0
=
en notant h(M ) = M 0 , h(N ) = N 0 :
ON
ON0
Si h n'est pas dénie sur D il existe un point A de D tel que ϕ(f (A))= 0 : f (A) est
−
→
le point à l'inni de D. Le repère précédent Ra (~i,O) dénit la base B(~i,O) de E2 où
4
f s'exprime
µ par la¶matrice Σ que l'on considère matrice de h
a b
Σ=
⇒ f (t~i + O) = (at + b) + (ct + d) O , ϕ(f (t~i + O) = ct + b.
c d
c n'est pas nulle sauf si h est une transformation ane ; sinon h n'est pas dénie en
A d'abscisse −d/c. M et son image ayant pour abscisses t et t0 dans Ra , ces réels
e pour exprimer h dans D
e
prenant leurs valeurs dans IR
at + b
h : t 7→ t0 =
.
ct + d
2.4 Homographie transformant un repère projectif en un autre
→
− −
→ −
→
−
→0 →
−0 −
→0
Soient Rp ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 ) et R0p ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 ) des repères de bases associées respectives B et B 0 . L'automorphisme qui transforme B en B 0 a pour matrice Σ (dans
−
−
→ →
B ) la matrice de colonnes les composantes de e01 et e02 dans cette base.
Si on connaît Rp et les trois droites de R0p et non la base associée à ce dernier,
on peut déterminer celle ci (modulo ∼
= ), d'où h via l'automorphisme changeant
0
la base associée à Rp en celle de Rp , à partir des vecteurs ~u1 , ~u2 , ~u0 engendrant
−
→0 →
−0 −
→0
( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 0 ). Il s'agit de trouver les réels k1 , k2 , k0 tels que k0~u0 = k1~u1 + k2~u2 .
U1 , U2 , U¡0 étant les¢ colonnes des composantes des vecteurs ~u1 , ~u2 , ~u0 dans B , Σ1 la
matrice U1 U2 et K la colonne des k1 , k2 tout revient à résoudre en les k1 , k2 , k0
∼ −1
Σ1 K = k0 U0 d'où K = k0 Σ−1
1 U0 = Σ1 U0
et la matrice de l'automorphisme conduisant à l'homographie transformant Rp en
R0p est, avec DK la matrice diagonale des (k1 , k2 ) : Σ = DK Σ1 .
Exemple
O, A, B, C étant des points de D et ~i un vecteur directeur de la droite, soient les
−
→
−
→
−
→
−
→0
−
→0
→
−0
repères Rp ( ∆ 1 (~i), ∆ 2 (O), ∆ 0 (~i + O)) et R0p ( ∆ 1 (A), ∆ 2 (B), ∆ 0 (C)). En exprimant
~
~
A, B, C dans
= c~i + O ¶ µ ¶ µ
µ B : A¶= ai + O,
µB =
¶ bi + O, C µ
¶
a b
c
1 −b
c
c−b
∼
Σ1 =
,U =
⇒K =
=
1 1µ 0
1 ¶µ
1
a¶− c
¶ −1µ a
c−b
0
a b
a(c − b) b(a − c)
et Σ =
=
0
a−c
1 1
c−b
a−c
Σ donne les coordonnées dans Rp en fonctions de celles dans R0p
¶µ 0 ¶
µ ¶ µ
0
a(c − b) b(a − c)
t
t
e : t = a(c − b)t + b(a − c)
=
d'où dans IR
1
c−b
a−c
1
(c − b)t0 + (a − c)
0
−1
e : t = h(t ), et Σ donne t0 = h−1 (t)
soit la "fonction
sur IR
µ
¶µ ¶
µ 0 ¶ homographique"
(c − a)(t − b)
a−c
−b(a − c)
t
t
∼
d'où : t0 =
=
1
−(c − b) a(c − b)
1
(c − b)(t − a)
On retrouve la conservation du birapport dans l'homographie puisque par construction de h (~i (direction de ∞D ) 7→ a, O 7→ b,~i + O 7→ c) : h(∞) = a, h(0) = b, h(1) =
c, h(t0 ) = t. Or t0 = [∞, 0, 1, t0 ] s'écrit en appliquant h
h(t0 ) = [ h(∞), h(0), h(1), h(t) ] = [ a, b, c, t0 ] : on retrouve t = [ a, b, c, t0 ]
e est dénie par ses valeurs en trois points distincts : la
Et une homographie sur IR
"fonction homographique" t 7→ t0 est dénie à partir de ses valeurs a, b, c en ∞, 0, 1.
Considérons maintenant le cas du plan projectif.
5
3 Repère du plan projectif
Pour le plan projectif suivons la même démarche, en dénissant d'abord le birapport de quatre droites concourantes et coplanaires.
3.1 Birapport de quatre droites concourantes de Pe
e dénissons le birapport de quatre droites concourantes à partir de leurs
Dans P
équations et vérions que c'est celui des points d'intersection avec toute droite ne
passant pas par leur point commun : on retrouve le birapport de quatre droites
−
→
−
→
vectorielles d'un plan de E3 , situation rencontrée dans E2 . Pour cela repérons les
droites dans un repère barycentrique.
−
→
−
→∗
Une forme linéaire non nulle ψ sur E3 , élément de E 3 , écrite dans un repère bae d'équation ψ = 0 dans Rb .
rycentrique Rb , donne par son noyau la droite de P
e sont proportionnelles, une
Puisque deux formes dénissant la même droite de de P
−
→∗
e
droite de P correspond à un élément de P(E3 ).
e et Rb (A,B,C)
Soient quatre droites concourantes distinctes D1 ,D2 ,D3 ,D4 de P
un repère barycentrique ; notons (χ1 , χ2 , χ3 , χ4 ) les formes linéaires non nulles de
−
→
noyaux les quatre droites. De même que l'on obtient un repère projectif de P(E2 ) à
→
−∗
partir de trois droites, on peut remplacer ((χ1 , χ2 , χ3 ) est base de E 3 ) les χi par des
ψi = ki χi non nulles telles que ψ3 = ψ1 + ψ2 , χ4 = kψ1 + ψ2 ; leurs noyaux sont les
quatre droites. Vérions que k est le birapport des quatre droites (D1 , D2 , D3 , D4 ) en
montrant que c'est celui des quatre points d'intersection avec une sécante commune,
situation de quatre points d'une droite ane D0 .
Explicitons les formes dans Rb à partir de ψ1 = aα + bβ + cγ et ψ2 = a0 α + b0 β + c0 γ .
L'un au moins des côtés du repère n'est pas l'une des droites ; supposons que ce soit
le côté (BC). La droite Di rencontre (BC) en Mi et ces points ont pour coordonnées
(homogènes) dans Rb modulo ∼
=
M1 ∼
= (0, c, −b) , M2 ∼
= (0, c0 , −b0 ) , M3 ∼
= (0, c + b, −b − c) , M4 ∼
= (0, kc + c0 , −kb − c0 )
Évaluons ¯le birapport de¯ ces points de la droite
¯ (BC)
¯ c + c0
¯
¯ c + c0
c ¯
0
0
¯
δ3,1 = ¯¯
=
cb
−
bc
,
δ
=
3,2
¯ −b − b0
−b − b0 −b ¯
¯
¯
¯
¯ kc + c0
¯ kc + c0
c ¯¯
0
0
¯
δ4,1 = ¯¯
=
cb
−
bc
,
δ
=
3,4
0
¯ −kb − b0
−kb − b −b ¯
en posant
¯
c0 ¯¯
= c0 b − b0 c
−b0 ¯
¯
c0 ¯¯
= k(c0 b − b0 c)
−b0 ¯
d'où le birapport des quatre points
δ3,1 . δ4,1
= k = [ ψ1 , ψ2 , ψ3 , ψ4 ], birapport des quatre droites,
[ M1 , M2 , M3 , M4 ] =
δ3,2 δ4,2
cb0 − bc0 n'étant pas nul puisque les points M1 et M2 sont distincts les droites D1 et
D2 l'étant, et ce birapport ne dépend que des droites et non de leurs sécantes.
Lorsque le birapport des quatre droites est -1, elles forment un faisceau harmonique, un faisceau de droites du plan étant l'ensemble des droites passant par le
même point, le sommet du faisceau.
Dualité. Rappelons le "principe de dualité" dans le plan on vient d'y vérier la
conservation du birapport
6
−
→
vecteur ~u 6= 0 de E3
−
→
trace de ∆(~u)
point
points alignés
k : birapport de points alignés
··· ··· ···
triangles de Desargues
(10 points et 10 droites)
··· ··· ···
−
→∗
forme ϕ 6= 0 de E 3
noyau de ϕ
droite
droites concourantes
k : birapport de droites concourantes
··· ··· ···
triangles de Desargues
(10 droites et 10 points)
··· ··· ···
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
Expression du birapport dans P ou Pe
• S'il s'agit de quatre droites concourantes (D1 ,D2 ,D3 ,D4 ) ou (Di=1,2,3,4 )
si elles sont données par leurs équations de la forme ai χ1 + bi χ2 = 0, comme pour
e i ) de coordonnées (ai , bi ), modulo ∼
le birapport de quatre points alignés (M
= ) dans
Rb (A,B)
δ3,1 . δ4,1
[ D1 ,D2 ,D3 ,D4 ] =
avec δi,j = ai bj − bi aj
δ3,2 δ4,2
si elles sont précisées par leurs traces sur une sécante commune, on est ramené
au birapport de ces traces.
e 1, M
e 2, M
e 3, M
e 4 ) ou (M
e i ) avec i = 1, 2, 3, 4)
• S'agissant de quatre points alignés (M
e est muni d'un repère barycentrique Rb (A,B,C) où les coordonnées de M
ei
si P
sont (αi , βi , γi ), il y a au moins un sommet du repère ne contenant pas la droite des
e i ) rencontrent le
quatre points ; supposons que ce soit le point A : les droites (AM
e 0 de coordonnées (modulo ∼
côté BC) en M
= ) (0, βi , γi ) (à l'inni si βi + γi = 0),
i
e
e i ) d'où celui des points
alors le birapport des points Mi étant celui des droites (AM
.
e 1, M
e 2, M
e 3, M
e 4 ] = δ3,1 δ4,1 avec δi,j = −(βi γj − γi βj )
[M
δ3,2 δ4,2
si le plan est muni d'un repère ane et que la droite des quatre points n'est pas
D∞ , elle n'est pas parallèle à l'un des axes du repère ; supposons que ce soit celui des
abscisses xi : le birapport des quatre points est celui des parallèles à cet axe issues
des points donc celui de leurs traces sur l'axe des abscisses c'est à dire le birapport
des (xi ),
e i l'étant dans la direction
et si enn les quatre points sont à l'inni sur D∞ , M
du vecteur ~ui de composantes (ai , bi ) dans le repère Ra , leur birapport est celui des
droites du faisceau d'origine O dirigées par les vecteurs ~ui , d'équation bi x − ai y = 0
soit selon l'expression de ce birapport à partir des équations des droites (ici χ1 =
x, χ2 = y
δ3,1 . δ4,1
e
e
e
e
avec δi,j = −(ai bj − bi aj )
[ M1 , M2 , M3 , M4 ] =
δ3,2 δ4,2
3.2 Repère projectif
→
− −
→
Soient quatre droites vectorielles trois à trois non coplanaires notées ( ∆ i , ∆ 0 ) où
i = 1, 2, 3. Ces trois droites sont engendrées par les vecteurs (~ui , ~u0 ) et selon les hy−
→
pothèses (~ui ) forment une base de E3 où ~u0 s'exprime selon ~u0 = k1~u1 +k2~u2 +k3~u3 ,
aucun des ki n'étant nul.
Posons ~ei = ki~ui et ~e0 = ~u0 . Vérions , les droites étant données, que les quatre
vecteurs (~ei , ~e0 ) sont dénis modulo ∼
=.
7
−
→
Pour cela considérons une forme trilinéaire alternée non nulle Φ sur E3 ; elles
sont toutes proportionnelles deux à deux. Alors (i, j, k) étant une permutation de
(1, 2, 3)
Φ(~u0 , ~uj , ~uk ) = ki Φ(~ui , ~uj , ~uk ) 6= 0 selon les hypothèses d'où
Φ(~u0 , ~uj , ~uk )
~ei =
~ui
Φ(~ui , ~uj , ~uk )
Partant des droites, les vecteurs les engendrant sont de la forme (ai~ui , a0~u0 ) et en prenant une autre forme trilinéaire alternée non nulle nécessairement de la forme λΦ, les
expressions des ~ei montrent que le système (~ei , ~e0 ) devient (~e 0i , ~e 00 ) = (a0~ei , a0~e0 ) ∼
=
(~ei , ~e0 ).
−
→
D'autre part une droite vectorielle ∆ est engendrée par un vecteur ~u s'exprimant
dans la base B(~ei ) selon ~u = X~e1 + Y~e2 + Z~e3 , le triplet (X,Y,Z) étant déni pour
−
→
∆ donnée modulo ∼
=.
−
→ −
→ −
→ →
−
Dénition 4. Étant données quatre droites ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 , ∆ 0 non trois à trois copla-
−
→
naires de E3 , il existe un triplet (déni modulo ∼
= ) de vecteurs (~e1 , ~e2 , ~e3 ) engendrant
−
→ →
− −
→
−
→
∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 tel que ∆ 0 soit engendrée par ~e0 = ~e1 + ~e2 + ~e3 . On note l'ensemble
−
→ −
→ −
→ →
−
Rp ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 , ∆ 0 ), de base associée B(~e1 , ~e2 , ~e3 ) et on l'appelle repère projectif :
−
→
il permet d'associer à toute droite ∆(~u) le triplet réel (X,Y,Z) des composantes de
−
→
~u dans la base associée à Rp , triplet des coordonnées projectives de ∆ dans le repère
projectif.
³
´
−
→
−
→
−
→
On peut noter le repère projectif Rp ∆ 1 (~e1 ), ∆ 2 (~e2 ), ∆ 3 (~e3 ) en précisant une
−
→
base associée B(~e1 , ~e2 , ~e3 ) car la droite ∆ 0 y gure implicitement puisqu'engendrée
par la somme des vecteurs de la base associée.
3.3 Représentation d'un repère projectif dans Pe
−
→
−
→
Les éléments de P(E3 ) (les droites de E3 ) sont représentés par les traces de ces
e, ou dans P avec éventuellement des points à l'inni. Interprétons
droites dans P
−
→
dans cette représentation les coordonnées projectives d'un élément de P(E3 ).
−
→ −
→ →
− −
→
e en (A
e 1, A
e 2, , A
e 1)
Soit le repère projectif Rp ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 , ∆ 0 ) dont les droites coupent P
−
→
e . Pour interpréter les coordonnées projectives de ∆(~u) qui coupe P
e en M
e,
et Ω
−
→ −
→
−
→ −
→
considérons les intersections des plans vectoriels [ ∆ i , ∆ 0 ] et [ ∆ i , ∆] avec la droite
ej, A
e k ) : ce sont les points Ω
e i et M
e i.
(A
e i est à l'intersection des
. De la relation ~e0 − ~ei = ~ej + ~ek on déduit que le point Ω
−
→
e A
e i ) et (A
ej, A
e j ) de P
e ; ainsi Ω
ei ∼
droites (Ω,
= ~ej + ~ek dans E3 ,
e i est à l'intersection des
. et selon la relation ~u − Xi ~ei = Xj ~ej + Xj ~ej le point M
e A
e i ) et (A
ej, A
e k ), avec M
ei ∼
droites (M,
= Xj ~ej + Xj ~ej .
e i et Ω
e i en (A
ej, A
e j ) conduisent à
Les expressions de M
ej, A
e k, Ω
e i, M
e i ] = Xj /Xk
[A
e, d'en déduire
qui permettent, connaissant les représentations de Rp et M dans P
∼
(modulo = ) les coordonnées de M ou inversement de passer de la connaissance de
ces coordonnées à celle de M.
8
e2
A
¢Q
J
¡
¡¢ JQQ
e 3, A
e 1, Ω
e 2, M
e 2 ] = X3 /X1
[A
Q
¡ ¢b
J
e
Q
¡ ¢ M
J
Q
Q
¡ ¢
J
QQ
¢
¡
J
e
e
e1
e
M2
Ω2 J
A3
A
J e
Jb Ω
e 1, A
e 3, Ω
e 2, M
e 2 ] , [A
e 2, A
e 3, Ω
e 1, M
e 1 ] , 1]
Ainsi (X,Y,Z)= [A
Dans le plan ane P
Le repère projectif peut être représenté par un repère usuel de ce plan : un repère
ane si deux des trois premières droites de Rp sont dans la direction du plan, ou
e) si les droites de Rp coupent
par un repère barycentrique (qui repère aussi dans P
P , la dernière au centre de gravité des trois autres traces.
• Premier cas
−
→
−
→
−
→
→
−
Soit Rp [ ∆ 1 (~i), ∆ 2 (~j), ∆ 3 (A3 ), ∆ 0 (Ω)] dont la première droite rencontre P en le
e 1 à l'inni dans la direction du vecteur ~i, la deuxième en A
e 2 à l'inni dans
point A
la direction du vecteur ~j , la troisième en A3 et la dernière en Ω.
−
→
Si ∆(~u) rencontre le plan ane en M, les coordonnées de M dans Rp sont les
coordonnées "homogènes" traditionnelles de M dans le repère ane Ra (~i, ~j, A3 )
puisque
~e1 = ~i, ~e2 = ~j, ~e3 = A3 , ~e0 = ~i + ~j + A3 , M = x~i + y~j + A3 ∼
= X~i + Y~j + ZA3
e2
A
¡
µ
¡
Ω par projection sur un axe
parallèlement à l'autre,
donne les points unités sur les axes
¡
¡
¡
¡
µ
~j ¡
¡
e2
A
¡
µ
¡
¡
¡
¡
-¡
~i Ω2
A3
e2
A
¡
µ
¡
¡
¡
b Ω
¡
b¡
¡ M
¡
¡
¡
¡
¡
M2
¡
¡
e1
A
−
→
Si ∆(~u) est dans la direction de P les composantes de ~u dans la base (~i, ~j de cette
direction sont ses composantes dans le repère Ra .
• Second cas
Lorsque les droites de Rp rencontrent P en les trois points A1 , A2 , A3 et Ω le centre
→
−
de gravité des points précédents, les coordonnées de ∆ dans le repère projectif sont
les coordonnées barycentriques homogènes de sa trace (ou de sa direction si la droite
→
−
est parallèle au plan ane) dans le repère barycentrique Rb (A1 , A2 , A3 ) puisque, ∆
étant engendrée par ~u
avec ~ei = Ai , ~e0 = 3Ω et ~u = αA1 + βA2 + γA3
A2
Dans Rb : M(α, β, γ) ⇒ M2 ∼
= (α, 0, γ)
¢Q
C Q
¡
¡¢ C Q
Q
¡ ¢b
C
Q
¡ ¢ M C
Q
Q
¡ ¢
Ω
C
QQ
¢
C
¡
A3
M2
Ω2
A1
−
→
∆ rencontre P en M
e 2 , M2 ] = γ/α
[A3 , A1 , Ω
9
3.4 Homographie du plan projectif
Comme dans le cas de la droite projective, on vérie qu'un automorphisme f de
−
→
−
→
E3 , élément du groupe linéaire GL(E3 ) conduit à partir de la linéarité de f :
−
→
−
→
• de la bijection que f dénit sur E3 on déduit la bijection h sur P(E2 ) selon
→
−
−
→
h( ∆(~u)) = ∆(f (~u)) homographie.
Les automorphismes donnant la même homographie sont équivalents modulo ∼
= et
réciproquement ; deux automorphismes inverses conduisent à des homographies in−
→
−
→
verses et l'ensemble des homographies sur P(E2 ) forment le groupe projectif GP(E3 ).
• Une homographie transforme un repère projectif en un autre, et elle conserve le
birapport de quatre droites.
−
→
e en faisant correspondre à M
e
Une homographie de P(E3 ) est représentée dans P
−
→
−
→
e la trace de la droite h( ∆(M))
e = ∆(f (M))
e sur P
e ; c'est une bijection, appede P
−
→
lée homographie et notée h comme dans P(E2 ). h transforme les droites en droites,
conserve le birapport de quatre points, et h−1 est une homographie.
La restriction d'une homographie à P sous ensemble de P n'est dénie sur P
que si h n'envoie pas à l'inni un point de P ; on peut caractériser cette propriété
en faisnt intervenir la forme ϕ de noyau la direction de P :
−
→
l'homographie h dénie par l'automorphisme f de E3 est dénie sur P
si et seulement si ϕ ◦ f est constante sur P et cette constante n'est pas nulle. .
On peut en eet dénir h|P à partir de f en considérant pour un point M de P la
−
→
−
→
droite ∆(M) d'image par h la droite ∆(f (M))
. si ϕ ◦ f (M)= 0, cette droite est dans la direction de P et h(M) est à l'inni dans
cette direction,
−
→
−
→
. si ϕ ◦ f (M)6= 0, ∆[f (M)] = ∆[f (M)/ϕ ◦ f (M )] montre que h(M ) est le point
f (M)/ϕ ◦ f (M ) de P c'est à dire h(M). Et si ϕ ◦ f prend des valeurs diérentes en
deux points, M et N par exemple soit m et n, sa valeur en λM + λ N est λm + λn,
nulle pour λ = n/(n − m) : la valeur de ϕ ◦ f est donc une constante non nulle si
h|P est dénie sur P
Dans ce cas h est une transformation ane sur P : O étant un point de P et
avec k = ϕ ◦ f (O)
−
→
−
→
∀~x ∈ E2 : h(O + ~x) = O + f (~x)/k et f /k ∈GL(E2 )
Homographie donnée par un changement de repère projectif
−
→ −
→
Connaissant le repère projectif Rp ( ∆ i , ∆ 0 ), où i = 1, 2, 3 , de base associée
−
→ →
−0
B(~ei ) et le second repère R0p ( ∆ i , ∆ 0 ), vérions qu'il existe une homographie unique
transformant terme à terme Rp en R0p .
Pour cela recherchons une base associée à R0p image par l'automorphisme conduisant
à l'homographie de B .
Les quatre droites de R0p sont engendrées par les vecteurs (~ui , ~u0 ). Il s'agit de
trouver des réels ki , k0 tels que k0~u0 = k1~u1 + k2~u2 + k3~u3 . Soient
Ui , U0 les ¢colonnes
¡
des composantes des vecteurs ~ui , ~u0 dans B , Σ1 la matrice U1 U2 U3 et K la
colonne des trois ki , tout revient à résoudre en les k1 , k2 , k3 , k0
∼ −1
Σ1 K = k0 U0 d'où K = k0 Σ−1
1 U0 = Σ1 U0
et la matrice de l'automorphisme conduisant à l'homographie transformant Rp en
R0p est, avec DK matrice diagonale des (ki ) : Σ = DK Σ1 .
10
Exemple
−
→ −
→ −
→ →
−
−
→0 →
−0 −
→0 −
→0
Rp ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 , ∆ 0 ) et R0p ( ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 , ∆ 0 ) sont deux repères tels que
−
→
−
→0
. ∆ 1 = ∆ 3 parallèle à P , engendrée par ~i,
−
→
−
→0
. ∆ 3 = ∆ 1 rencontre P en O,
−
→
−
→0
. ∆ 2 = ∆ 2 engendrée par ~j qui est aussi dans la direction de P
−
→
−
→0
. ∆ 0 = ∆ 0 dirigée par ~e0 = ~e00 = O + ~i + ~j .
Ainsi les bases associées sont formées des mêmes vecteurs mais dans des ordres différents : B(~i, ~j, O), B 0 (O, ~j,~i) et donnent le même repère ane Ra dans P .
L'automorphisme f transformant Rp en R0p transpose premier et dernier éléments
des bases associées et laisse invariant ~e0 = ~e00 : il est involutif comme l'homographie
associée.
Puisque f (~i) = O, f (~j) = ~j, f (O) = ~i, dans Ra
en posant M=x~i + y~j + O : f (M ) = f (x~i + y~j + O) = x O + y~j + ~i d'où ϕ ◦ f (M ) = x
L'homographie n'est pas dénie sur l'axe des ordonnées :
1
y
h(M ) = f (M )/x = O + ~i + ~j
x
x
Soit S=O-~i : f (S) = ~i − O d'où h(O) = −f (O) = S ainsi S est invariant.
Soit A=O+~i et t réel : f (O + ~i + t~j) = ~i + O + t~j = h(O + ~i + t~j) = A + t~j ainsi
la droite ∆(A,~j ) est formée de points invariants ; elle est parallèle à l'axe (Oy ) où h
n'est pas dénie.
En faisant intervenir la trace N de la droite (SM) sur ∆ ((x 6= −1 pour (SM) non
parallèle à ∆), d'abscisse 1
[ S, N, M, M0 ] = [xS , xN , xM , xM0 ] = [−1, 1, x, 1/x] = −1
h est l'homologie de sommet S, d'axe ∆ et de rapport −1 ; la division (S,N,M,h(M))
est harmonique , aussi dit-on que l'homologie est harmonique ; elle est involutive
comme toute homologie harmonique.
e) est déinie par ses valeurs en quatre
Il en résulte qu'une homographie sur P (ou P
points, les points et leurs images formant des repères projectifs.
Triangles de Desargues, homologie et perspective
Les triangles homologiques de Desargues se déduisent l'un de l'autre par une
homologie (la réciproque d'une homologie est une homologie). On peut les considérer projetés sur un plan comme des triangles de l'espace situés dans deux plans
diérents et vus l'un de l'autre en perspective pour un observateur.
Triangles de Desargues
Étant donnés deux triangles (ABC) et (A1 B1 C1 ) du plan ane dont les côtés (AB) et
(A1 B1 ), (BC) et (B1 C1 ), (CA) et (C1 C1 ) se coupent respectivement en A2 ,mathrmB2
et C2 , alors les points A2 ,B2 et C2 sont alignés si les droites (AA1 ),(BB1 ) et (CA1 )
sont concourantes.
Pour vérier cet énoncé prenons le triangle (ABC) pour repère barycentrique
e, le point de concours des
Rb : il sera alors vérié dans le plan ane complété P
droites pouvant être à l'inni, ou dans un autre cas la droite joignant les points de
rencontre des côtés peut être la droite de l'inni de P .
Notons (α0 , β0 , γ0 ) les coordonnées du point de concours S dans Rb , la droite (AS)
a une équation de la forme ψ : γ0 β −β0 γ = 0 et les coordonnées de A1 sur cette droite
11
peuvent s'écrire (α0 + a, β0 , γ0 ) modulo ∼
= , où a est un réel ; (α0 + a + β0 + γ0 ) =
ϕ(S) + a n'est pas nul puisque A1 n'est pas à l'inni. De manière analogue
B1 ∼
= (α0 , β0 + b, γ0 ), C1 ∼
= (α0 , β0 , γ0 + c),
les réels b et c vériant ϕ(S) + b 6= 0 , ϕ(S) + b 6= 0.
La droite (A1 B1 ) a une équation de c÷cients donnés par le produit en croix des
colonnes les coordonnées
des
A1 ×
B1

 deux
 points 

α0 + a
α0
−bγ0
 β0  ×  β0 + b  = 

−aγ0
γ0
γ0
bα0 + aβ0 + ab
d'où une équation de (A1 B1 ) : bγ0 α + aγ0 β − (bα0 + aβ0 + ab) γ = 0
A1
A3
A
S r
C2
B1
(∆)
b
B
b B2
C1
A2b
C
Triangles de Desargues
Le point C2 de cette droite situé sur (AB) ayant une troisième coordonnée nulle :
C2 ∼
= (a, −b, 0). Et de même obtient-on les deux autres points B2 , A2 d'intersection
des côtés des triangles
B2 ∼
= (−a, 0, c) , A2 ∼
= (0, b, −c)
Les c÷cients d'une équation χ = 0 de la droite (∆) = (A2 B2 ) étant ceux de la
colonne

 
 

0
−a
bc
 b  ×  0  =  ca  : χ = bc α + ca β + ab γ
−c
c
ab
et on voit que C2 appartient à (∆).
(∆) coupe (S A) en A3 de coordonnées (α0 + ta, β0 , γ0 ) telles que χ(A2 ) = 0 : t est
−
→
∼
∼
donné par χ(S) + abc t = 0.¯ Puisque
¯ dans
¯ E3 ¯A1 = S + aA, A2 = S + taA
¯ 0 1 ¯
¯ 1 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 ¯Á¯ a 0 ¯
a − ta
1 + χ(S)
¯ ¯
¯=
[ S, A3 , A, A2 ] = ¯¯
=
=k
¯
¯
¯
a
abc
¯ 0 1 ¯ ¯ 1 1 ¯
¯ 1 ta ¯ ¯ a ta ¯
Ce birapport, de valeur k , est indépendant du sommet du triangle (A B C) : (A0 B0
C0 ) est son image dans l'homologie de centre S, d'axe (∆) et de rapport k .
Cas particuliers
χ(S) n'est pas nul, sinon S appartient à (∆) et k vaut un : les deux triangles seraient
confondus.
Lorsque (∆) est la droite de l'inni les réels a, b, c sont égaux (non nuls) et réciproquement.
12
Les deux triangles sont à côtés parallèles : l'homologie est dans P l'homothétie de
centre S et de rapport k .
Lorsque le point S est à l'inni (α0 + β0 + γ0 = 0 ) les droites (AA0 ), (BB0 ) et (CC0 )
sont dans la direction e
S : l'homologie est dans P l'anité d'axe (∆), de direction e
S
et de rapport k .
Réciproquement, étant donnés deux triangles (ABC) et (A1 B1 C1 ) du plan af-
ne tels que les côtés (AB) et (A1 B1 ), (BC) et (B1 C1 ), (CA) et (C1 A1 ) se coupent
respectivement en des points alignés, alors les droites (AA1 ), BB1 ) et (CA1 ) sont
concourantes.
Notons S le point de concours des droites (AA1 ) et (BB1 ), C2 celui des droites
(AB) et (A1 B1 ). En gardant les mêmes notations des coordonnées de ces points dans
le repère Rb (A,B,C)
S = (α0 , β0 , γ0 ), A1 ∼
= (α0 + a, β0 , γ0 ), B1 ∼
= (α0 , β0 + b, γ0 ) et C2 ∼
= (−a, b, 0).
Á priori C1 peut ne pas être sur la droite (S A) ; ses coordonnées peuvent se mettre
sous la forme (modulo ∼
= ) C1 ∼
= (α0 , β0 + e, γ0 + c). En suivant la même démarche
que précédemment
A2 ∼
= (0, b − e, c) et B2 ∼
= (eα0 + aβ0 + ea, 0, −cβ0 + eγ0 )
Les points
¯ A2 , B2 , C2 sont alignés si ¯et seulement si le déterminant
¯ 0
e(α0 + a) + aβ0 −a ¯¯
¯
¯ b−e
0
b ¯¯ = −e[bcα0 + caβ0 + (ab − ea)γ0 + abc]
¯
¯ −c
−cβ0 + eγ0
0 ¯
est nul :
. ou e = 0 : le point C1 est sur la droite (S ) et la réciproque est vériée,
. ou bcα0 + caβ0 + (ab − ea)γ0 + abc = 0 : le triangle (A1 B1 C1 ) est aplati
car dans¯ ce cas
¯
¯ α0 + a
α0
α0 ¯¯
¯
¯ β0
β0 + b β0 + e ¯¯ = bcα0 + caβ0 + (ab − ea)γ0 + abc est nul
¯
¯ γ0
γ0
γ0 + c ¯
ce qui est exclu s'agissant de "vrais triangles".
Homologie sur P
Une homologie de P est donc une transformation dénie par son centre, son axe
soient (S ,(∆), k ) telle que le transformé M0 de M soit aligné avec S et que = [ S,
N, M, M0 ]=k . Une homologie est connue à partit de son centre, son axe et le transformé d'un point donné : c'est la situation des triangles de Desargues à partir de S,
(∆) et du couple (A, A1 ) puisque, avec les notations utilisées, B1 est à l'intersection
de (SB) et de (A1 C2 ) : l'homologie transforme les droites en droites et conserve le
birapport : [ S,A3 ,A,A1 ]=[ S,B3 ,B,B1 ] en considérant le faisceau des droites issues
de C2 ; de même C1 est l'image de C : d'où l'expression "triangles homologiques de
Desargues".
Puisque [ S,A3 ,A1 ,A ]=1/[ S,A3 ,A,A1 ], l'inverse d'une homologie est l'homologie de
mêmes centre et axe, et de rapport inverse, ce qui le cas des homothéties (homologies
d'axe la droite de l'inni), et montre que l'homologie harmonique (dont le rapport
est −1) est involutive. Le cas des homothéties indique, par un contre-exemple, que
le produit de deux homologies n'est pas en général une homologie : le produit de
deux homothéties de même centre et de rapports inverses est une translation qui
n'est pas une homologie mais une transformation ane dont la partie linéaire est
13
l'identité.
e, ne l'est pas dans P en les points de la droite (D)
Une homologie, dénie sur P
image réciproque de D. (D) et (∆) sont parallèles puisque le point à l'inni de (∆est
invariant. N étant un point de (∆) et M le point de (D) sur la droite (SN) puisque,
en utilisant des mesures algébriques sur cette dernière
k −→
−→
[ 0, SN, SM, ∞ ] = k ⇒ SM =
SN
k−1
(D) se déduit de (∆) dans l'homothétie de centre S et de rapport k/(k − 1).
Perspective et homologie
L'espace ane E de dimension trois dont on privilégie un point O est en bijection
−→
−
→
avec son espace directeur E3 selon M↔ SM. Les droites (anes) issues de O sont
−
→
identiables alors aux droites vectorielles de E3 .
−
→
Considérons deux plans anes P et P 0 de E , d'espace universel E3 et de directions diérentes. Ils se coupent selon une droite (∆).
(ABC) étant un triangle de P , les droites (OA), (OB) et (OC) coupent P 0 en A0 , B0
et C0 , en supposant que leurs directions ne soient pas dans celle de P 0 . Les droites
(OAA0 ) et (OBB0 ) sont coplanaires : les droites (AB) et A0 B0 ) se rencontrent en
un point commun à P (qui contient la droite (AB)) et à P 0 (qui contient la droite
(A0 B0 )) donc en un point de (∆).
De manière analogue on vérie que les droites (BC) et (B0 C0 ) d'une part, (CA) et
(C0 A0 ) d'autre part, se rencontrent en des points de (∆).
En projection horizontale dans une épure on retrouve la conguration des triangles homologiques de Desargues.
o
@
@ b'
@
@ c'
@
a
@s(δ )
@
@
c
b
@
@
@
@ a'
@
@
ligne de terre
A0
(∆)
A
O
B0
B
a
C0
C
P est horizontal, P 0 est perpendiculaire au plan frontal
14
Correspondance homologique due à la perspective
@ P0
@
@
@I
I
@
z @ M0
~u
@
~j @
S q
P
¾
J
-
@
~i
@
Ω@
M
@
e
@
RJ ∞
J∞
Re
−
→
∆(~u)
eI∞
eI∞
E est coupé par le plan issu de S perpendiculairement à (∆) de trace Ω sur le plan,
qui est donc perpendiculaire à P et P 0 . Le vecteur ~k dirige (∆) et les directions de
P et P 0 sont respectivement les plans vectoriels [~i, ~k ] et [ ~j, ~k ].
Convenons de gurer dans ce plan les projetés parallèlement à (∆) des points M
→
−
de P et M0 de P 0 traces de la droite ∆(~u) vus en perspective depuis S, et rapportons
ces points à des repères anes représentants dans ces plans de repères projectifs liés
par la perspective.
−
→
Les vecteurs ~i et ~j sont choisis de sorte que (dans E3 ) Ω +~i +~j = 0, ces trois vecteurs
étant dans le plan vectoriel de la gure :
dans le repère Ra (~i, ~k, Ω) de P : M= x~i + y~k + Ω,
dans le repère R0a (~j, ~k, Ω) de P : M0 = x0~j + y 0~k + Ω.
−
→
−
→
Les points étant sur ∆(~u) donc engendrant la droite comme vecteurs de E3 :
~u ∼
= x~i + y~k + Ω ∼
= x0~j + y 0~k + Ω
Compte tenu de ~i = −~j − Ω ou ~j = −~i − Ω
−x~j + y~k + (1 − x)Ω ∼
= x0~j + y 0~k + Ω ou x~i + y~k + Ω ∼
= −x0~i + y 0~k + (1 − x0 )Ω
Á tout point M, qui n'est pas sur la droite de P section avec le plan [ Ω, ~j, ~k ] directeur
de P 0 , correspond le point M0 de coordonnées
y
x
, y0 =
·
x0 =
x−1
1−x
La transformation M0 7→M de même forme est involutive.
Les deux repères Ra et R0a sont les représentations de deux repères projectifs
formés des quatre mêmes droites dans des ordres diérents :
−
→
−
→
−
→
−
→
Ra représente Rp ( ∆(~i), ∆(~k), ∆(Ω)) dont la quatrième est ∆(~j)
−
→
−
→
−
→
→
−
alors que R0a représente R0p ( ∆(~j), ∆(~k), ∆(Ω)) dont la quatrième est ∆(~i).
−−
·
·−·
15
−·−·
··