Notes de cours - Éric Brunelle professeur de Mathématiques

Notes de cours
Calcul III
201-GHB-04
Éric Brunelle et Marc-André
Désautels
1D 3D
version 3

Table des matières
Introduction 1
Chapitre 1. Séries de Taylor 3
1. Quelques rappels 3
2. Obtention des séries de Taylor 6
3. Les polynômes de Taylor 8
4. Applications des séries de Taylor 10
5. Calcul du logarithme avec les opérations élémentaires 14
Chapitre 2. Équations différentielles ordinaires (EDO) 23
1. Introduction 23
2. EDO d’ordre 1 24
3. Équations différentielles à coefficients constants d’ordre 2 33
Chapitre 3. Les coordonnées polaires 53
1. Graphique d’une équation polaire r=f(θ)55
2. Tangente à une courbe polaire 58
3. Aire d’une région 60
4. Calcul de longueurs d’arcs 64
Chapitre 4. Les fonctions de plusieurs variables 69
1. Définitions, graphiques et domaine 69
2. Limite et continuité 80
3. Les dérivées 89
4. Optimisation 110
5. Maximum et minimum absolus 118
6. Les multiplicateurs de Lagrange 120
Chapitre 5. Intégration de fonction de plusieurs variables 127
1. Intégrales doubles 127
2. Intégrales doubles en coordonnées polaires 142
3. Intégrales triples 147
4. Changement de coordonnées pour les intégrales doubles 155
5. Changement de coordonnées pour les intégrales triples 161
Annexe A. Formules et autres 165
iii

Fonctions de base 166
Formes des fonctions 166
Annexe B. Réponses 169
iv

Introduction
Le calcul différentiel et intégral est un outil indispensable dans bien
des domaines, notamment en ingénierie, physique, biologie et en chi-
mie. On en retrouve même des traces en psychologie et en médecine.
Jusqu’ici, dans les cours précédents, on a discuté seulement des fonc-
tions d’une seule variable dépendante. Par contre, les phénomènes de la
vie courante dépendent souvent de plusieurs paramètres. Ces derniers
sont même parfois inconnus. Ce cours de calcul avancé permettra de
découvrir les outils mathématiques utilisés un peu partout. On mettra
l’accent sur les fonctions de plusieurs variables, mais on portera éga-
lement notre attention sur quelques notions importantes des fonctions
d’une seule variable.
Puisqu’il s’agit d’une suite dans les cours de calculs, on tiendra
pour acquis que les notions enseignées dans les cours NYA, NYB et
NYC sont bien comprises. Il y aura parfois quelques rappels, mais sans
plus.
À la fin de chaque partie importante, il y a une série d’exercices
permettant de maîtriser les différentes notions. Il y a également des
exercices récapitulatifs à la fin de chaque chapitre. Les solutions sont
fournies à la fin, mais non la démarche (qui est la partie la plus im-
portante). Certains exercices possèdent le symbole qui indique que
l’exercice est un peu plus difficile.
Dans le premier chapitre, nous ferons un bref retour sur les sé-
ries de Taylor. Nous verrons plus précisément, les polynômes de Taylor
avec le terme d’erreur ainsi que quelques applications.
Le chapitre 2 porte sur la résolution des équations différentielles
ordinaires du premier et du deuxième ordre. Nous étudierons quelques
applications notamment le fonctionnement d’un appareil radio et des
oscillateurs harmoniques.
1