suite, cette circonférence devant être tangente à la circonférence 0

GÉOMÉTRIE. 269
suite, cette circonférence devant être tangente à la circonférence 0, on
aura l'axe radical de ces deux circonférences ou leur point de contact A,
en menant par le point M une tangente MA à la circonférence 0 (62). La
question sera donc ramenée à faire passer une circonférence par trois
points donnés. Le problème aura deux solutions, puisqu'on peut mener
deux tangentes par le point M à la circonférence 0.
S'il arrivait que la corde BC fût parallèle à la corde DE, la question se
réduirait à mener une tangente au cercle 0, parallèlement à la direc-
tion BC ; il y aurait encore deux solutions.
75. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à
deux circonférences données {fîg. 77 ).
Supposons le problème résolu. Soient C et C les circonférences don-
nées, A le point donné, et 0 la circonférence cherchée. Soient M et N les
points de contact de la
r'C-
77 circonférence 0 avec
les deux circonférences
C etC Les points M et
N seront les centres de
similitude internes des
"circonférences C et C
par rapport à la circon-
férence 0 (69). Les
trois centres de simi-
litude d'un système
de trois circonférences
étant en ligne droite,
le centre de similitude externe des circonférences C et C se trouvera
à la fois sur MN et sur CC prolongées (69, 70). On peut déterminer
à priori ce centre externe S (69), et le joindre au point A. La sécante SA
coupe la circonférence 0 en un second point B, et l'on a
SB.SA = SN.SM.
D'autre part, les lignes MD, M'D', joignant des points homologues dans
les circonférences C et C, sont parallèles entre elles : l'angle DMN est
donc égal à l'angle D'M'S. Mais le quadrilatère EXM'D' étant inscrit dans
la circonférence C, l'angle D'M'S, supplément de l'angle D'M'N, est égal
à l'angle NED'. Dans le quadrilatère MDEN, les angles en M et en E sont
donc à leur tour supplémentaires, et ce quadrilatère est inscriptible.
On a, par conséquent,
SX.SM = SE.SD,
c'est-à-dire SB.SA = SE.SD.
On peut déduire SB de cette relation, et la question est ramenée à faire
passer une circonférence par deux points donnés A et B, de manière
qu'elle touche l'une ou l'autre des circonférences C et C (74).
Le problème qu'on vient de traiter admet quatre solutions, suivant que
les circonférences données sont ensemble tangentes extérieurement ou
intérieurement à la circonférence cherchée, ou bien, suivant que l'une
étant tangente extérieurement, l'autre est tangente intérieurement à la
même circonférence.