GÉOMÉTRIE. 269 suite, cette circonférence devant être tangente à la circonférence 0, on aura l'axe radical de ces deux circonférences ou leur point de contact A, en menant par le point M une tangente MA à la circonférence 0 (62). La question sera donc ramenée à faire passer une circonférence par trois points donnés. Le problème aura deux solutions, puisqu'on peut mener deux tangentes par le point M à la circonférence 0. S'il arrivait que la corde BC fût parallèle à la corde DE, la question se réduirait à mener une tangente au cercle 0, parallèlement à la direction BC ; il y aurait encore deux solutions. 75. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à deux circonférences données {fîg. 77 ). Supposons le problème résolu. Soient C et C les circonférences données, A le point donné, et 0 la circonférence cherchée. Soient M et N les points de contact de la r 'C- 77 circonférence 0 avec les deux circonférences C e t C Les points M et N seront les centres de similitude internes des "circonférences C et C par rapport à la circonférence 0 (69). Les trois centres de similitude d'un système de trois circonférences étant en ligne droite, le centre de similitude externe des circonférences C et C se trouvera à la fois sur MN et sur CC prolongées (69, 70). On peut déterminer à priori ce centre externe S (69), et le joindre au point A. La sécante SA coupe la circonférence 0 en un second point B, et l'on a SB.SA = SN.SM. D'autre part, les lignes MD, M'D', joignant des points homologues dans les circonférences C et C, sont parallèles entre elles : l'angle DMN est donc égal à l'angle D'M'S. Mais le quadrilatère EXM'D' étant inscrit dans la circonférence C, l'angle D'M'S, supplément de l'angle D'M'N, est égal à l'angle NED'. Dans le quadrilatère MDEN, les angles en M et en E sont donc à leur tour supplémentaires, et ce quadrilatère est inscriptible. On a, par conséquent, SX.SM = SE.SD, c'est-à-dire SB.SA = SE.SD. On peut déduire SB de cette relation, et la question est ramenée à faire passer une circonférence par deux points donnés A et B, de manière qu'elle touche l'une ou l'autre des circonférences C et C (74). Le problème qu'on vient de traiter admet quatre solutions, suivant que les circonférences données sont ensemble tangentes extérieurement ou intérieurement à la circonférence cherchée, ou bien, suivant que l'une étant tangente extérieurement, l'autre est tangente intérieurement à la même circonférence.