Théorème

Égalité des figures
• Si une figure peut être obtenue à
partir d’une autre par opération d’un
glissement on dit que les deux figures
sont directement égales.
• Si une figure peut être obtenue à
partir d’une autre par un
retournement on dit que les deux
figures sont inversement égales.
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Symétrie par rapport à un point
(symétrie centrale)
• Deux points A et A’ sont symétriques par
rapport à un point O, si le point O se situe
au milieu du segment AA’.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetriec.html
• Si à chaque point M d’une figure F, on fait
correspondre son symétrique M’ par rapport
à O, on obtient une figure F’, lieu des points
M’, et qui est dite transformée de F par
symétrie, ou symétrique de F par rapport
à O. Le point O est appelé centre de
symétrie.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symetriecentrale2.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symetriecentrale5.html
2
Symétrie par rapport à un point
(symétrie centrale)
• Une figure admet un centre de symétrie,
quand tous ses points sont deux à deux
symétriques par rapport à ce centre.
• Deux figures symétriques par rapport à un
point sont directement égales.
• Si à une figure nous avons appliqué deux
symétries centrales consécutives, la figure
résultante est l’image de translation de la
figure originale.
http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=comp
osym.xml
3
Symétrie par rapport à un axe
(symétrie axiale)
• Deux points A et A’ sont symétriques par
rapport à un axe xy, si cet axe est
perpendiculaire au milieu du segment AA’.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetrieorthogonale.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetrieorthogonale2.html
• Si à chaque point A d’une figure F, on fait
correspondre son symétrique A’ par rapport
à l’axe xy, on obtient une figure F’, lieu des
points A’, et qui est dite figure symétrique
de F par rapport à xy. L’axe xy est appelé
axe de symétrie.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symoraxe.html
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symortdroitee.html
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Symétrie par rapport à un axe
(symétrie axiale)
• Une figure admet un axe de symétrie par
rapport à un axe xy, si cet axe est
perpendiculaire au milieu du segment AA’.
• Deux figures symétriques par rapport à un
axe sont inversement égales.
• Toute figure qui admet deux axes
rectangulaires de symétrie, a le point de
concours des axes pour centre de symétrie.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symod1d2.html
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Circonférence (1).
•
•
•
•
La circonférence est une courbe plane et fermée
dont tous les points sont équidistants d’un point
intérieur appelé centre.
La circonférence divise le plan en deux régions, l’une
intérieure qui contient le centre, l’autre extérieure. Le
cercle est la portion intérieure à la circonférence.
On appelle rayon le segment rectiligne qui joint le
centre à un point quelconque de la circonférence.
Un arc est une partie quelconque de la circonférence
limitée à deux points. Une corde est le segment de
droite qui joint deux points quelconques de la
circonférence. Un diamètre est un corde qui passe
par le centre.
6
Circonférence (2).
• Théorème. Tout diamètre d’une
circonférence est un axe de symétrie
de la courbe.
• Théorème. Le diamètre est la plus
grande corde du cercle.
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Circonférence (3).
• Soit un point mobile M qui se déplace sur
une demi-droite partant de O.
Dépendamment de sa distance du centre
par rapport au rayon le point est:
•
•
•
- à l’intérieur de la circonférence
- sur la circonférence
- à l’extérieur
• Théorème. Les distances maxima et
minima d’un point à une circonférence sont
les distances de ce point aux extrémités du
diamètre ou du diamètre prolongé sur
lequel le point est situé.
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Circonférence (4).
• Par deux points A et B on peut passer une
infinité de circonférences, et le lieu des
centres est la médiatrice de AB.
• Par trois points non alignés, on peut passer
une circonférence et une seule.
• Exercices:
•
•
Trouver
Trouver
triangle
triangle
le centre d’un arc donné.
une circonférence circonscrite au
ABC (cercle circonscrit). On dit que le
est inscrit à la circonférence.
http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddthauteur2.html
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Positions relatives d’une
circonférence et d’une droite
• Si d est la distance entre le centre
d’une circonférence de rayon R et une
droite alors
• La droite est sécante si d < R (deux
points communs)
• La droite est tangente à la circonférence
si d = R (un point commun)
• La droite est extérieure si d > R (pas de
points communs)
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Tangente à la circonférence
• Théorème. Toute droite AB tangente en C
à une circonférence est perpendiculaire au
rayon OC qui aboutit au point de contact
• On appelle tangente à une courbe, en un
point donné A de cette courbe, la position
limite d’une sécante AM qui tourne autour
du point A de manière que le point commun
M se rapproche indéfiniment du point A. On
appelle normale à une courbe en un point
M, la perpendiculaire à la tangente en ce
point.
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Construction de la tangente à une
circonférence
• Exercices:
• À l’aide d’une règle et d’un compas
construire la tangente à une
circonférence donnée, parallèle à une
droite donnée
• À l’aide d’une règle et d’un compas
construire la tangente à une
circonférence donnée, passant par un
point donné
http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=g
13_tangente_2.xml
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Positions relatives de deux
circonférences
• Dépendamment de la distance de
deux centres des circonférences et
des longueurs de leurs rayons, deux
circonférences peuvent être:
•
•
•
•
•
Extérieures
Tangentes extérieurement
Sécantes
Tangentes intérieurement
Intérieures
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Arcs et cordes
•
•
Théorème. Dans des cercles égaux
1. Deux cordes égales sous-tendent deux arcs
égaux.
2. Deux cordes inégales sous-tendent des arcs
(inférieurs à une demi-circonférence) inégaux;
et la plus grande corde sous-tend le plus grand
arc.
3. De deux cordes inégales la plus grande est la
plus rapprochée du centre.
Théorème. Tout diamètre perpendiculaire
à une corde divise cette corde et chacun
des arcs sous-tendus en deux parties
égales.
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Arcs et angles
• Un angle inscrit est un angle qui a
son sommet sur la circonférence et
qui est formé par deux cordes.
• Un segment circulaire est la
portion de cercle comprise entre un
arc et la corde qui le sous-tend.
• Un angle inscrit a même mesure que
la moitié de l’arc compris entre ses
côtés.
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Arcs et angles (1)
•
•
•
Un angle inscrit est un
angle qui a son sommet
sur la circonférence et qui
est formé par deux
cordes.
Un segment circulaire
est la portion de cercle
comprise entre un arc et
la corde qui le sous-tend.
Un angle inscrit dans
un segment est un
angle qui a son sommet
sur l’arc de ce segment et
dont les côtés passent
par les extrémités de ce
même arc.
Segment
circulaire
Angle inscrit
dans un segment
Angle inscrit
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Arcs et angles (2)
• Théorème. L’angle inscrit a même
mesure que la moitié de l’arc compris
entre ses côtés.
• Conséquences.
1. Tous les angles inscrits dans un même
segment sont égaux.
2. Tout angle inscrit dans une demicirconférence est droit
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Arcs et angles (3)
•
•
•
Théorème. L’angle formé par une tangente AT et
une corde AB issue du point de contact A a même
mesure que la moitié de l’arc compris entre ses
côtés.
Théorème. L’angle qui a son sommet à l’intérieur de
la circonférence a même mesure que la demi-somme
des arcs compris antre ses côtés et entre leurs
prolongements.
Théorème. L’angle formé par deux sécantes issues
d’un même point A hors du cercle a même mesure
que la demi-différence des arcs compris entre ses
côtés.
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Arcs et angles (4). Arc capable d’un
angle donné.
•
•
Théorème. Le lieu des points M du plan
d’où l’on voit un segment de droite AB
sous un angle donné a est formé de deux
arcs de cercle sous-tendus par le segment
et symétriques par rapport à ce segment.
Ses arcs sont appelés les arcs capables
de l’angle a.
Exercice. Construire les arcs capables
d’un angle donné.
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Quadrilatère inscriptible.
• Théorème. Dans un
quadrilatère convexe inscrit, les
angles opposés sont
supplémentaires. Un quadrilatère
ayant les angles opposés
supplémentaires s’appelle un
quadrilatère inscriptible.
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